E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\dfrac{13}{100}u_n$.
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?

a. géométrique de raison $1$
b. arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
c. géométrique de raison $1$ et arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
d. géométrique de raison $0,87$

Correction Question 1

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=u_n-\dfrac{13}{100}u_n\\
&=0,87u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,87$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs $x_i$ pour $i$ entier naturel allant de $1$ à $5$. La loi de probabilité incomplète de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X=x_i&-6& -3& 0& 3& x_5\\
\hline
P\left(X=x_i\right)& 0,2& 0,1& 0,2& 0,4& 0,1\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à $0,7$.
Quelle est la valeur $x_5$ prise par la variable aléatoire $X$?

a. $6$
b. $1$
c. $10$
d. $100$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} E(X)=0,7&\ssi -6\times 0,2-3\times 0,1+0+3\times 0,4+0,1x_5=0,7 \\
&\ssi-0,3+0,1x_5=0,7\\
&\ssi 0,1x_5=1 \\
&\ssi x_5=10\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $\left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x+7}$ et $f’$ sa fonction dérivée.

a. $f'(x)=\dfrac{2}{3}$
b. $f'(x)=\dfrac{23}{(3x+7)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{5}{(3x+7)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{5}{3x+7}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(3x+7)-3(2x+3)}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{6x+14-6x-9}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{5}{(3x+7)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

De 2017 à 2018, le prix d’un article a augmenté de $10 \%$. En 2019, ce même article a retrouvé son prix de 2017. Quelle a été l’évolution du prix entre 2018 et 2019 ?

a. une baisse de $10 \%$
b. une baisse de plus de $10 \%$
c. on ne peut pas savoir
d. une baisse de moins de $10 \%$

$\quad$

Correction Question 4

On appelle $x$ le pourcentage de diminution appliqué au prix entre 2018 et 2019.
On a ainsi
$\begin{align*} \left(1+\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 &\ssi 1,1\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,1}\\
&\ssi -\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,1}-1\\
&\ssi x=-100\left(\dfrac{1}{1,1}-1\right)\end{align*}$
Ainsi $x\approx 9,1$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-5$. On souhaite qu’à la fin de l’exécution de l’algorithme, la valeur contenue dans la variable $u$ soit celle de $u_5$ . Quel algorithme doit-on choisir ?

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}
&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u_n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hline\end{array}
&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{While $\pp 5$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hspace{0.7cm}n=n+1\\\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 5

Algorithme a : il faudrait avoir $u=3*u-5$
Algorithme b : $u_n$ n’a pas de sens en python
Algorithme d : dans $\text{While }\pp 5$ il manque une variable avant le $\pp$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un restaurant propose à sa carte deux desserts différents :

le premier dessert est un assortiment de macarons, et est choisi par $40 \%$ des clients,
le second dessert est une part de tarte, et est choisie par $30 \%$ des clients.

Les autres clients ne prennent pas de dessert. Aucun client ne prend plusieurs desserts.
Le restaurateur a remarqué que parmi les clients ayant pris comme dessert un assortiment de macarons, $70 \%$ prennent un café, que parmi les clients ayant pris comme dessert une part de tarte, $40 \%$ prennent un café et que parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, $90 \%$ prennent un café. On interroge au hasard un client de ce restaurant.

On note :

$M$ l’évènement : « Le client prend un assortiment de macarons. »
$T$ l’évènement : « Le client prend une part de tarte. »
$N$ l’évènement : « Le client ne prend pas de dessert. »
$C$ l’évènement : « Le client prend un café. »

Construire un arbre de probabilités décrivant la situation.
$\quad$
Définir par une phrase les probabilités $P(T\cap C)$ et $P_C(M)$ (on ne demande pas de les calculer).
$\quad$
Calculer $P(T\cap C)$ puis $P(C)$.
$\quad$
On rencontre un client ayant pris un café. Quelle est la probabilité qu’il ait pris une part de tarte ? On donnera le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$P(T\cap C)$ est la probabilité que le client prenne à la fois une part de tarte et un café.
$P_C(M)$ est la probabilité que le client prenne un macaron sachant qu’il a pris un café.
$\quad$
On a :
$\begin{align*}P(T\cap C)&=P(T)\times P_T(C)\\
&=0,3\times 0,4\\
&=0,12\end{align*}$
$\quad$
$M$, $T$ et $N$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(C)&=P(M\cap C)+P(T\cap C)+P(N\cap C)\\
&=0,4\times 0,7+0,12+0,3\times 0,9\\
&=0,67\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_C(T)&=\dfrac{P(T\cap C)}{P(C)}\\
&=\dfrac{0,12}{0,67}\\
&=\dfrac{12}{67}\end{align*}$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

On appelle orthocentre d’un triangle le point de concours de ses trois hauteurs.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points $A(-4; 10)$, $B(8; 16)$ , $C(8; -2)$, $H(2 ;10)$ et $K(5 ;7)$. (Voir figure ci-dessous)

Montrer que $\vect{AB}.\vect{HC}=0$ et $\vect{AC}.\vect{HB}=0$
$\quad$
Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$ ?
$\quad$
Montrer que $K$ est le centre du cercle passant par les sommets du triangle $ABC$.
$\quad$
On admet que $G$, le centre de gravité du triangle $ABC$, est le point qui vérifie $\vect{AG}=\dfrac{2}{3}\vect{AM}$ où $M$ est le milieu du segment $[BC]$. Déterminer les coordonnées de $G$.
$\quad$
Montrer que les points $G$, $H$ et $K$ sont alignés.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}12\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{HC}\begin{pmatrix}6\\-12\end{pmatrix}$
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{HC}&=12\times 6+6\times (-12)\\
&=0\end{align*}$
$\quad$
On a $\vect{AC}\begin{pmatrix}12\\-12\end{pmatrix}$ et $\vect{HB}\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}$
$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{HB}&=12\times 6+(-12)\times 6\\
&=0\end{align*}$
$\quad$
Ainsi $(AB)$ est perpendiculaires à $(HC)$ et $(AC)$ est perpendiculaire à $(HB)$.
Les droites $(HC)$ et $(HB)$ sont donc respectivement les hauteurs du triangles $(ABC)$ issues des sommets $C$ et $B$.
Par conséquent $H$ est l’orthocentre du triangle $ABC$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} KA&=\sqrt{(-4-5)^2+(10-7)^2}\\
&=\sqrt{(-9)^2+3^2}\\
&=\sqrt{90}\end{align*}$
$\begin{align*} KB&=\sqrt{8-5)^2+(16-7)^2} \\
&=\sqrt{3^2+9^2}\\
&=\sqrt{90}\end{align*}$
$\begin{align*} KC&=\sqrt{(8-5)^2+(-2-7)^2}\\
&=\sqrt{3^2+(-9)^2}\\
&=\sqrt{90}\end{align*}$
Le point $K$ est donc équidistant des sommets du triangle $ABC$. C’est par conséquent le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
$\quad$
Les coordonnées du point $M$ sont :
$\begin{cases}x_M=\dfrac{8+8}{2}\\y_M=\dfrac{16+(-2)}{2}\end{cases}\ssi \begin{cases}x_M=8\\y_M=7\end{cases}$.
Ainsi $M(8;7)$.
On a donc $\vect{AM}\begin{pmatrix}12\\-3\end{pmatrix}$
On a, en notant $G\left(x_G;y_G\right)$ :
$\begin{align*} \vect{AG}=\dfrac{2}{3}\vect{AM}&\ssi \begin{cases} x_G+4=\dfrac{2}{3}\times 12 \\y_G-10=\dfrac{2}{3}\times (-3)\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x_G+4=8 \\y_G-10=-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x_G=4 \\y_G=8\end{cases} \end{align*}$
$\quad$
On a $\vect{GK}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{GH}\begin{pmatrix} -2\\2\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{GH}=-2\vect{GK}$.
Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les points $G$, $H$ et $K$ sont donc alignés.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise produit du tissu.

Le coût total de production (en €) de l’entreprise est modélisé par la fonction $C(x)=15x^3-120x^2+500x+750$ où $x$ est la longueur de tissu fabriqué exprimée en kilomètre, $x$ étant compris entre $0$ et $10$.

Chaque kilomètre de tissu est vendu $680$ €.

On note $B(x)$ le résultat de l’entreprise, c’est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

Quel est le résultat de l’entreprise pour la vente de $3$ kilomètres de tissu ?
$\quad$
Montrer que : $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$.
$\quad$
Donner une expression de $B'(x)$, où $B’$ est la fonction dérivée de la fonction $B$.
$\quad$
Dresser le tableau de signes de $B'(x)$ sur $[0; 10]$ puis le tableau de variations de la fonction $B$.
$\quad$
Combien de kilomètres de tissu l’entreprise doit-elle produire afin d’obtenir un résultat maximal ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $C(3)=1~575$.
Par conséquent
$\begin{align*}R(3)&=680\times 3-C(3) \\
&=465\end{align*}$
Le résultat de l’entreprise pour la vente de $3$ kilomètres de tissu est $465$ €.
$\quad$
Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
$\begin{align*} B(x)&=680x-\left(15x^3-120x^2+500x+750\right) \\ &=-15x^3+120x^2+180x-750\end{align*}$
$\quad$
La fonction $B$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $[0;10]$.
Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
$\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180 \\&=-45x^2+240x+180\end{align*}$
$\quad$
On considère le trinôme $-45x^2+240x+180$ où $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
Le discriminant est $\Delta = 240^2-4\times (-45)\times 180=90~000>0$
Les racines sont donc :
$x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=6$ et $x_2=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=-\dfrac{2}{3}$.
$a=-45<0$
Cela signifie donc que le trinôme est strictement négatif sur $[6;10]$, nul en $6$ et strictement positif sur $[0;6]$.
On obtient le tableau de variations suivant :

$\quad$
D’après le tableau de variations précédent, l’entreprise doit produit $6$ kilomètres de tissu pour obtenir un résultat maximal.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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