Sujet 02612 – 16

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

$EFG$ est un triangle tel que $EF = 8$, $FG = 5$ et $\widehat{EFG}=\dfrac{3\pi}{4}$. Alors $\vect{FE}.\vect{FG}$ est égal à :

a. $20\sqrt{2}$
b. $-20\sqrt{2}$
c. $20\sqrt{3}$
d. $20\sqrt{3}$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{FE}.\vect{FG}&=FE\times FG\times \cos \widehat{EFG}\\
&=8\times 5\times \cos \dfrac{3\pi}{4}\\
&=-20\sqrt{2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe représentative d’une fonction $f$ et
sa tangente au point $A$ d’abscisse $0$.

On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$. On a :

a. $f'(0)=2$
b. $f'(0)=-1$
c. $f'(2)=-1$
d. $f'(-2)=0$

$\quad$

Correction Question 2

Graphiquement le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$ est $-1$.
Donc $f'(0)=-1$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On se place dans un repère orthonormé. Une équation du cercle de centre $B( 2 ; 3)$
et de rayon $4$ est :

a. $(x+2)^2+(y+3)^2=4$
b. $(x-2)^2+(y-3)^2=4$
c. $(x-2)^2+(y-3)^2=16$
d. $(x+2)^2+(y+3)^2=16$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation cartésienne de ce cercle est $(x-2)^2+(y-3)^2=4^2$ soit $(x-2)^2+(y-3)^2=16$.

Réponse c

$\quad$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

On se place dans un repère orthonormé du plan. On a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$.

L’équation $f(x) = -3$ a pour solution(s) :

a. $3$
b. $0$
c. $-3$
d. $0$ et $1$

$\quad$

Correction Question 4

Graphiquement la droite d’équation $y=-3$ semble couper la courbe en deux points d’abscisse $0$ et $1$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Un vecteur normal à la droite d’équation cartésienne $-3x-2y+5=0$ est :

a. $\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur normal a une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+x=0$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
Donc ici, un vecteur normal à cette droite est $\vec{n}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}$.
$-\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ est par conséquent un vecteur normal à cette droite.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Partie A

On considère la fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par : $$P(x)=x^2-7x+6$$

  1. Résoudre l’équation $P(x)=0$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $P$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie B
On considère la fonction polynôme du troisième degré $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=2x^3-21x^2+36x$$

  1. Calculer la dérivée $f’$ de $f$ et vérifier que $f'(x)=6P(x)$
    $\quad$
  2. Etudier les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. On se place dans un repère du plan. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point $B$ d’abscisse $3$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. Il s’agit d’une équation du second degré.
    $\begin{align*} \Delta&=(-7)^2-4\times 1\times 6 \\
    &=25\\
    &>0\end{align*}$
    L’équation possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{7-\sqrt{25}}{2}\\
    &=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{7+\sqrt{25}}{2}\\
    &=6\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le coefficient principal du polynôme du second degré $P$ est $a=1>0$.
    Par conséquent :
    – $P(x)<0$ sur $]1;6[$;
    – $P(1)=P(6)=0$
    – $P(x)>0$ sur $]-\infty;1[\cup]6;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2-21\times 2x+36\\
    &=6x^2-42x+36\\
    &=6\left(x^2-7x+6\right)\\
    &=6P(x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. Ainsi, pour tout réel $x$, $f'(x)$ est du signe de $P(x)$.
    – la fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$ et strictement croissante sur $]-\infty;1]\cup[6;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(3)(x-3)+f(3)$
    Or $f'(3)=-36$ et $f(3)=-27$
    Une équation de $T$ est donc $y=-36(x-3)-27$ soit $y=-36x+81$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une chaîne de salons de coiffure propose à ses $5~000$ clients qui viennent pour une
coupe deux prestations supplémentaires cumulables :

  • une coloration naturelle à base de plantes appelée « couleur-soin »,
  • des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, appelées « effet coup de soleil ».

Il apparaît que $2~000$ clients demandent une « couleur-soin ». Parmi ceux qui ne veulent pas de « couleur soin », $900$ demandent un « effet coup de soleil ». Par ailleurs, $650$ clients demandent une « couleur soin » et un « effet coup de soleil ».
On notera $C$ l’évènement « le client souhaite une « couleur-soin ».
On notera $E$ l’évènement « le client souhaite un « effet coup de soleil ».

  1. Recopier sur votre copie et compléter le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &C&\conj{C}&\text{Total}\\
    \hline
    E&&900&\\
    \hline
    \conj{E}&&&\\
    \hline
    \text{Total}&\phantom{\text{Total}}&\phantom{\text{Total}}&5~000\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. On interroge un client au hasard parmi les $5~000$ clients.
    a. Quelle est la probabilité qu’il ait choisi les deux prestations : « couleur soin » et « effet coup de soleil » ?
    $\quad$
    b. Calculer $P_E\left(\conj{C}\right)$.
    $\quad$
  3. On a des prix différents suivant la prestation fournie. On appelle $X$ le prix payé en euros par chaque client.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Coupe seule}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\\\text{et « effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}\\
    \hline
    \text{Valeurs de $k$ en €}&20&50&65&80\\
    \hline
    P(X=k)&&&0,18&0,13\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après avoir recopié et complété le tableau, calculer l’espérance de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &C&\conj{C}&\text{Total}\\
    \hline
    E&650&900&1~550\\
    \hline
    \conj{E}&1~350&2~100&3~450\\
    \hline
    \text{Total}&2~000&3~000&5~000\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(C\cap E)&=\dfrac{650}{5000}~\\
    &=0,13\end{align*}$
    La probabilité qu’il ait choisi les deux prestations : « couleur soin » et « effet coup de soleil » est $0,13$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P_E\left(\conj{C}\right)&=\dfrac{900}{1~550}\\
    &=\dfrac{18}{31}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
  4. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Coupe seule}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\\\text{et « effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}\\
    \hline
    \text{Valeurs de $k$ en €}&20&50&65&80\\
    \hline
    P(X=k)&0,42&0.27&0,18&0,13\\
    \hline
    \end{array}$$
    En effet :
    $\begin{align*} P(X=20)&=P\left(\conj{C}\cap \conj{E}\right) \\
    &=\dfrac{2~100}{5~000}\\
    &=0,42\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} P(X=50)&=P\left(C\cap \conj{E}\right) \\
    &=\dfrac{1~350}{5~000}\\
    &=0,27\end{align*}$
    $\quad$
    L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=20\times 0,42+50\times 0,27+65\times 0,18+80\times 0,13\\
    &=44\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.
Au printemps 2019, il achète $300$ colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.
Il consulte les services spécialisés de la région et s’attend à perdre $8\%$ des colonies chaque hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il prévoit d’installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps, à partir de l’année suivante.

  1. On donne le programme suivant écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo( ) :}\\
    \hspace{1cm} \text{C = 300}\\
    \hspace{1cm} \text{N = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{while C < 400 :}\\
    \hspace{1.5cm} \text{C = C*0.92+50}\\
    \hspace{1.5cm} \text{N = N+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return (N)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter en ajoutant des colonnes, le tableau ci-dessous qui
    reproduit l’avancement du programme pas à pas :
    Les valeurs seront arrondies à l’entier le plus proche.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c}
    \hline
    \text{C}&300&326&\ldots\ldots&\phantom{\ldots\ldots}\\
    \hline
    \text{« C < 400 » ?}&\text{oui}&\text{oui}&\ldots\ldots&\phantom{\ldots\ldots}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de $\text{N}$ renvoyée par le programme ?
    Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Le nombre de colonies est modélisée par une suite. On note $C_n$ une estimation du nombre de colonies au printemps de l’année 2019 $+ 𝑛$ .

Ainsi $C_0= 300$ est le nombre de colonies au printemps 2019.

On admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $$C_{n+1}=0,92C_n+50$$

  1. La suite $\left(C_n\right)$ est-elle arithmétique? La suite $\left(C_n\right)$ est-elle géométrique?
    $\quad$
  2. On admet que $C_n=625-325\times 0,92^n$ pour tout entier naturel $n$.
    L’apiculteur pourra-t-il atteindre les $700$ colonies?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{C}&300&326&350&372&392&411\\
    \hline
    \text{« C < 400 » ?}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{non}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Le programme renvoie la valeur $5$.
    Cela signifie que l’apiculteur doit attendre $5$ ans pour avoir au moins $400$ colonies d’abeilles.
    $\quad$
  2. On a $C_0=300$
    $\begin{align*} C_1&=0,92C_0+50\\
    &=0,92\times 300+50\\
    &=326\end{align*}$
    $\begin{align*} C_2&=0,92C_1+50\\
    &=0,92\times 326+50\\
    &=349,92\end{align*}$
    Ainsi $C_1-C_0=26$ et $C_2-C_1=23,92$.
    Ces différences ne sont pas égales : la suite $\left(C_n\right)$ n’est pas arithmétique.
    $\dfrac{C_1}{C_0}\approx 1,087$ et $\dfrac{C_2}{C_1}\approx 1,073$.
    Ces quotients ne sont pas égaux : la suite $\left(C_n\right)$ n’est pas géométrique.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $325\times 0,92^n>0$.
    Donc $C_n<625$.
    L’apiculteur ne pourra pas atteindre $700$ colonies.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence