E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la
lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des
recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question
sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnée par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&-5&0&10&20&50\\
\hline
P(X=k)&0,71&0,03&0,01&0,05&0,2\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de $X$ est :

a. $15$
b. $0,2$
c. $7,55$
d. $17$

$\quad$

Correction Question 1

L’espérance de $X$ est :

$\begin{align*} E(X)&=\small{-5\times 0,71+0\times 0,03+10\times 0,01+20\times 0,05+50\times 0,2} \\
&=7,55\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On se place dans un repère orthonormé.
Le cercle de centre A( -2 ; 4) et de rayon 9 a pour équation :

a. $(x+2)^2+(y-4)^2=81$
b. $(x-2)^2+(y+4)^2=81$
c. $(x+2)^2+(y-4)^2=9$
d. $(x-2)^2+(y+4)^2=9$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation du cercle est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-4)^2=9^2$ soit $(x+2)^2+(y-4)^2=81$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

On considère dans un repère la courbe représentative de $f$ tracée ci-dessous.

On appelle $\Delta$ son discriminant.

On peut affirmer que :

a. $a>0$ ou $c<0$
b. $c$ et $\Delta$ sont du même signe
c. $a<0$ et $c<0$
d. $a<0$ et $\Delta<0$

$\quad$

Correction Question 3

D’après le graphique $a<0$ (la fonction $f$ admet un maximum) et $\Delta>0$ (il y a deux racines)
Les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont de signes différents.
Or $ax_1x_2=c$ donc $c>0$
Remarque : On pouvait également lire sur le graphique le fait que $c>0$ puis $f(0)=c$ et graphiquement $f(0)>0$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$.
Un algorithme permettant de calculer la somme $S=U_0+U_1+\ldots+U_{36}$ est :

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 4

Si la variable $\text{U}$ est transformée avant la variable $\text{S}$ alors $\text{S}$ doit être initialisée à $-2$.
Dans l’algorithme c., quand $\text{i}=1$, la variable $S$, du fait de l’initialisation $S=u_0$, prend la valeur $u_0+u_0$ au lieu de $u_0+u_1$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$ est :

a. arithmétique mais pas géométrique
b. géométrique mais pas arithmétique
c. ni arithmétique, ni géométrique
d. à la fois arithmétique et géométrique

$\quad$

Correction Question 5

On $U_0=-2$
$\begin{align*} U_1&=2U_0-5\\
&=2\times (-2)-5 \\
&=-9\end{align*}$
$\begin{align*} U_2&=2U_1-5\\
&=2\times (-9)-5\\
&=-23\end{align*}$

Ainsi :

$U_1-U_0=-7$ et $U_2-U_1=-14$
Ces différences ne sont pas égales : la suite n’est pas arithmétique
$\dfrac{U_1}{U_0}=\dfrac{9}{2}$ et $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{23}{9}$
Ces quotients ne sont pas égaux : la suite n’est pas géométrique

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

La fonction f est définie sur $]-1; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}$$
On se place dans un repère orthonormé du plan.

Démontrer que pour tout 𝑥 appartenant à l’intervalle $]-1; +\infty[$: $$f'(x)=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}$$
$\quad$
Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]-1; +\infty[$.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$
Etudier la position relative de la courbe représentative de $f$ et de la droite d’équation $y=x$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La fonction $f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ en tant que que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]-1;+\infty[$.
Pour tout réel $x>-1$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x(x+1)-\left(x^2+1\right)\times 1}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\end{align*}$
$\quad$
Un carré étant toujours positif, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+2x-1$.
Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times (-1) \\
&=8\\
&>0\end{align*}$
Il possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2} \\
&=-1-\sqrt{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2} \\
&=-1+\sqrt{2}\end{align*}$
Son coefficient principal est $a=1>0$.
Ainsi $x^2+2x-1$ est :
– positif sur $\left]-\infty;-1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-1+\sqrt{2};+\infty\right[$;
– nul si $x\in \lbrace -1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\rbrace$
– négatif sur $\left]-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right[$
Or $-1-\sqrt{2}<-1$.
Ainsi $f$ est strictement décroissante sur $\left]-1;-1+\sqrt{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[-1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
$\quad$
Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
Or $f'(0)=-1$ et $f(0)=1$.
Une équation de $T$ est donc $y=-x+1$.
$\quad$
On doit étudier le signe de
$\begin{align*} f(x)-x&=\dfrac{x^2+1}{x+1}-x\\
&=\dfrac{x^2+1-\left(x^2+x\right)}{x+1}\\
&=\dfrac{1-x}{x+1}\end{align*}$
Sur $]-1;+\infty[$ on a $x+1>0$
Donc $f(x)-x$ est du signe de $1-x$.
Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
Ainsi la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus de la droite d’équation $y=x$ sur l’intervalle $]-1;1[$ et au-dessous sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
Si $x=1$ alors la courbe et la droite sont confondues.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un jeu consiste à combattre en duel soit un monstre A, soit un monstre B.
On a une probabilité de $\dfrac{4}{5}$ d’affronter le monstre A.
Le joueur gagne contre le monstre A dans $30\%$ des cas, et gagne contre le monstre B dans $25\%$ des cas.

Le joueur lance une partie. On considère les événements :

$A$ :« Le joueur affronte le monstre A. »
$B$ :« Le joueur affronte le monstre B. »
$V$ :« Le joueur est victorieux. »

Déterminer $P_B\left(\conj{V}\right)$ et interpréter le résultat.
$\quad$
Montrer que $P(B\cap V)=\dfrac{1}{20}$.
$\quad$
Calculer $P(V)$.
$\quad$
Calculer la probabilité d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est
victorieux.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

D’après l’énoncé on a $P_B(V)=0,25$ donc $P_B\left(\conj{V}\right)=0,75$.
La probabilité que le joueur perde contre le monstre B est égale à $0,75$.
$\quad$
On a $P(B)=\dfrac{1}{5}$ et $P_B(V)=0,25$
$\begin{align*} P(B\cap V)&=P(B)\times P_B(V)\\
&=\dfrac{1}{5}\times 0,25 \\
&=\dfrac{1}{20}\end{align*}$
$\quad$
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(V)&=P(A\cap V)+P(B\cap V)\\
&=\dfrac{4}{5}\times 0,3+\dfrac{1}{20} \\
&=0,29\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_V(B)&=\dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\
&=\dfrac{~\dfrac{1}{20}~}{0,29} \\
&=\dfrac{5}{29}\end{align*}$
La probabilité d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est victorieux est égale à $\dfrac{5}{29}$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

$OABC$ et $ODEF$ sont des carrés de côtés respectifs $3$ et $2$. $OAMF$ est un rectangle.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $(DC)$.
Dans cet exercice, on pourra, si on le souhaite, se placer dans le repère $\left(O;\dfrac{1}{3}\vect{OA},\dfrac{1}{3}\vect{OC}\right)$.

La droite $(OM)$ est-elle perpendiculaire à la droite $(DC)$ ?
$\quad$
Calculer $\vect{CD}.\vect{CM}$
$\quad$
Déterminer la longueur $CH$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Dans le repère $\left(O;\dfrac{1}{3}\vect{OA},\dfrac{1}{3}\vect{OC}\right)$ on a $O(0;0)$, $M(3;-2)$, $D(-2;0)$ et $C(0;3)$.
Ainsi $\vect{OM}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{DC}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{OM}.\vect{DC}&=3\times 2+(-2)\times 3
&=0\end{align*}$
Ces vecteurs sont donc orthogonaux.
Par conséquent les droites $(OM)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
$\quad$
On a $\vect{CD}\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{CM}\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{CD}.\vect{CM}&=-2\times 3+(-3)\times (-5)\\
&=9\end{align*}$
$\quad$
$H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(CD)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{CD}.\vect{CM}&=\vect{CD}.\vect{CH} \\
&=CD \times CH\end{align*}$
Dans le triangle $OCD$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} CD^2&=OD^2+OC^2 \\
&=9+4\\
&=13\end{align*}$
Ainsi $CD=\sqrt{13}$.
Donc $\vect{CD}.\vect{CM}=CH\sqrt{13}$
Or $\vect{CD}.\vect{CM}=9$
Par conséquent $CH=\dfrac{9}{\sqrt{13}}$
$\quad$

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$\quad$

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