E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre
réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans
réponse n’apporte, ni ne retire aucun point.

Question 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2+6x-8$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $f(x)=2(x-4)(x+1)$
b. $f(x)=(2x+8)(2x-2)$
c. $f(x)=2(x+4)(x-1)$
d. $f(x)=2(x+3)(x-2)$

$\quad$

Correction Question 1

On a $f(x)=2\left(x^2+3x-4\right)$.
La somme des racines du polynômes du second degré vaut $-3$ et leur produit vaut $-4$.
On peut donc exclure les propositions a. et d.
Or :
$\begin{align*} 2(x+4)(x-1)&=2\left(x^2-x+4x-4\right)\\
&=2\left(x^2+3x-4\right) \\
&=f(x)\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\left(\e^x\right)^2}{\e^{-x}}$ est égal à :

a. $\e^{x^2+x}$
b. $\e^{3x}$
c. $\e^2$
d. $\e^{-2}$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \dfrac{\left(\e^x\right)^2}{\e^{-x}}&=\dfrac{\e^{2x}}{\e^{-x}} \\
&=\e^{2x-(-x)}\\
&=\e^{3x}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère, soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\e^x$. L’équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ est :

a. $y=-x-1$
b. $y=-x+1$
c. $y=x+1$
d. $y=x$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $g'(x)=\e^x$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(0)(x-0)+g(0)$.
$g'(0)=1$ et $g(0)=1$
Ainsi une équation de la tangente est $y=x+1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)\e^x$
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?

a. $f'(x)=-x\e^x$
b. $f'(x)=(x-2)\e^x$
c. $f'(x)=(-x+2)\e^x$
d. $f'(x)=x\e^{-x}$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(-x+1)\times \e^x \\
&=(-1-x+1)\e^x\\
&=-x\e^x
\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle n’est pas juste ?

a. $f'(-2)=0$
b. $f'(3)=-2$
c. $f(0)=3$
d. $f'(0)=-2$

$\quad$

Correction Question 5

La tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ est parallèle à l’axe des abscisses. Donc $f'(-2)=0$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $-2$ donc $f'(0)=-2$.
On lit sur la courbe que $f(0)=3$.
Donc, par élimination, $f'(3)\neq -2$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse.
La première injection est de $10$ ml, puis toutes les heures on lui en injecte $1$ ml.
On étudie l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang en prenant le
modèle suivant :

  • on estime que $20 \%$ de la quantité de médicament présente dans le sang est éliminée chaque heure ;
  • pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la quantité de médicament en ml présente dans le sang au bout de $n$ heures.

Ainsi, $U_0=10$.

  1. Justifier que $U_1=9$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=0,8U_n+1$.
    $\quad$

On donne ci-dessous la représentation graphique de la suite $\left(U_n\right)$ :

  1. Conjecturer la limite de la suite $\left(U_n\right)$.
    $\quad$
    On considère l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1cm}\text{U}\leftarrow 10\\
    \hspace{1cm}\text{N}\leftarrow 0\\
    \hspace{1cm}\text{Tant que U>5,1 faire} \hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm}\text{U$\leftarrow 0,8$*U+1}\\
    \hspace{2cm}\text{N$\leftarrow$ N+1}\\
    \hspace{2cm}\text{Fin du tant que}\\
    \hspace{2cm}\text{Afficher N}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. À quoi cet algorithme sert-il ?
    $\quad$
  3. À l’aide de l’extrait du tableau de valeurs de la suite $\left(U_n\right)$ donné ci-dessous, donner la valeur de $\text{N}$ à l’issue de l’exécution de cet algorithme.
    $\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}
    \hline
    n& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14\\
    \hline
    U_n& 5,838861& 5,671089& 5,536871& 5,429497& 5,343597& 5,274878& 5,219902\\
    \hline
    \end{array}$
    $\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}
    \hline
    n& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21\\
    \hline
    U_n& 5,175922& 5,140737& 5,11259\phantom{0}& 5,090072& 5,072058& 5,057646& 5,046117\\
    \hline
    \end{array}$
    $\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}
    \hline
    n& 22& 23& 24& 25& 26& 27& 28\\
    \hline
    U_n& 5,036893& 5,029515& 5,023612& 5,018889& 5,015112& 5,012089& 5,009671\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} U_1&=\left(1-\dfrac{20}{100}\right)U_0+1\\
    &=0,8\times 10+1\\
    &=9\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} U_{n+1}&=\left(1-\dfrac{20}{100}\right)U_n+1\\
    &=0,8\times U_n+1\end{align*}$
    $\quad$
  3. Il semblerait que la limite de la suite $\left(U_n\right)$ soit $5$.
    $\quad$
  4. Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_n\pp 5,1$.
    $\quad$
  5. D’après le tableau de valeurs, la variable $\text{N}$ contiendra, à l’issue de l’exécution de l’algorithme, la valeur $18$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2 ; 2]$ par $f(x)=2x^3+2x^2-2x+3$ et $C$ sa représentation graphique dans le repère suivant.

  1. On considère la droite $d$ d’équation $y=2x+3$.
    a. Montrer que déterminer les abscisses des points d’intersection entre la droite $d$ et la courbe $C$ revient à résoudre l’équation $2x\left(x^2+x-2\right)$ sur l’intervalle $[-2 ; 2]$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre $d$ et $C$.
    $\quad$
  2. On considère la droite $d’$ d’équation $y=2x+a$ où $a$ est un nombre réel.
    À l’aide du graphique, donner une valeur de $a$ pour laquelle la droite $d’$ et la courbe $C$ ont un seul point d’intersection.
    $\quad$
  3. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-2 ; 2]$ , $f'(x)=6(x+1)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[-2 ; 2]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=2x+3&\ssi 2x^3+2x^2-2x+3=2x+3 \\
    &\ssi 2x^3+2x^2-4x=0 \\
    &\ssi 2x\left(x^2+x-2\right)=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $2x\left(x^2+x-2\right)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $2x=0$ ou $x^2+x-2=0$
    $2x=0 \ssi x=0$
    $\quad$
    Résolution de $x^2+x-2=0$
    $\begin{align*} \Delta &=1^2-4\times 1\times (-2) \\
    &=9\\
    &>0\end{align*}$
    L’équation possède alors deux solutions réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2}\\
    &=-2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2}\\
    &=1\end{align*}$
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $2x\left(x^2+x-2\right)=0$ possède trois solutions : $-2$, $0$ et $1$.
    Si $x=-2$ alors $y=2\times (-2)+3=-1$
    Si $x=0$ alors $y=3$
    Si $x=1$ alors $y=2\times 1+3=5$
    Ainsi les points d’intersection entre $d$ et $C$ ont pour coordonnées $(-2;-1)$, $(0;3)$ et $(1;5)$.
    $\quad$
  2. On peut par exemple prendre $a=8$.
    La droite d’équation $y=2x+8$ passe par les points de coordonnées $(-2;6)$ et $(0;8)$ et ne coupe la courbe $C$ qu’en un seul point (d’abscisse strictement positive).
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[-2;2]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[-2;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2+2\times 2x-2\\
    &=6x^2+4x-2\end{align*}$
    On a également :
    $\begin{align*} 6(x+1)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)&=(x+1)(6x-2) \\
    &=6x^2-2x+6x-2\\
    &=6x^2+4x-2\\
    &=f'(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x)$ est un polynôme du second degré possédant donc deux racines $-1$ et $\dfrac{1}{3}$ et dont le coefficient principal est $a=6$.
    Ainsi :
    $f'(x)>0$ sur $[-2;-1[\cup\left]\dfrac{1}{3};2\right]$
    $f'(x)<0$ sur $\left]-1;\dfrac{1}{3}\right[$
    $f(-1)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$
    Par conséquent $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[-2;-1]$ et sur $\left[\dfrac{1}{3};2\right]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[-1;\dfrac{1}{3}\right]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une résidence de vacances propose uniquement deux formules :

  • la formule « pension complète » dans laquelle 3 repas par jour sont fournis ;
  • la formule « demi-pension » dans laquelle sont fournis uniquement le petit
    déjeuner et le dîner.

Pour l’année 2018, $65 \%$ des clients ont choisi la pension complète ; les autres ont choisi la formule « demi-pension ».
Parmi les clients qui ont choisi la demi-pension, $30 \%$ ont réservé l’option « ménage » en fin de semaine. De plus, $70 \%$ des clients qui ont choisi la pension complète ont réservé l’option ménage.
On choisit un client au hasard parmi ceux de l’année 2018 et l’on considère les évènements suivants :
$C$ : le client a choisi la formule « pension complète » ;
$M$: le client a choisi l’option « ménage ».

  1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    $\quad$
  2. Calculer $P(C\cap M)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait réservé l’option ménage est égale à $0,56$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que le client ait choisi la formule « pension complète » sachant qu’il a réservé l’option ménage.
    $\quad$
  5. Voici la grille de tarifs de la résidence de vacances pour l’année 2018:
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \text{Une semaine de pension complète}&800\text{€}\\
    \text{Une semaine de demi-pension}&650\text{€}\\
    \text{Option ménage}&50\text{€}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On note $X$ la variable aléatoire égale au montant payé par un client de 2018.
    Calculer $P(X=850)$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. On a :
    $\begin{align*} P(C\cap M)&=P(C)\times P_C(M)\\
    &=0,65\times 0,7\\
    &=0,455\end{align*}$
    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)&=P(C\cap M)+P\left(\conj{C}\cap M\right) \\
    &=0,455+0,35\times 0,3\\
    &=0,56\end{align*}$
    La probabilité que le client ait réservé l’option ménage est égale à $0,56$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M(C)&=\dfrac{P(M\cap C)}{P(M)}\\
    &=\dfrac{0,455}{0,56}\\
    &=0,812~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait choisi la formule « pension complète » sachant qu’il a réservé l’option ménage est égale à $0,812~5$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P(X=850)&=P(C\cap M) \\
    &=0,455\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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