Sujet 02616 – 20

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$, $AC=3$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$.

a. $\vect{AB}.\vect{AC}=9$
b. $\vect{AB}.\vect{AC}=18$
c. $\vect{AB}.\vect{AC}=9\sqrt{3}$
d. les données sont insuffisantes pour calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$

$\quad$

Correction Question 1

On a :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=6\times 3 \times \cos \dfrac{\pi}{3} \\
&=18\times \dfrac{1}{2} \\
&=9\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ une fonction telle que, pour tout nombre réel $h$ non nul, $$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=h^2+3h-1$$
Alors $f'(1)$ est égal à :

a. $h^2+3h-1$
b. $-1$
c. $3$
d. les données sont insuffisantes pour calculer $f'(1)$

$\quad$

Correction Question 2

$f'(1)$ est égale à, si elle existe, $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
Or
$\begin{align*} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&=\lim\limits_{h\to 0} h^2+3h-1\\&=-1\end{align*}$

Donc $f'(1)=-1$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\e^x$.
Alors, la fonction $f’$ dérivée de $f$ est donnée sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(x+3)\e^x$
c. $f'(x)=(-x-1)\e^x$
d. $f'(x)=\dfrac{(-x-1)\e^x}{\e^{2x}}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(x+2)\times \e^x \\
&=(1+x+2)\e^x\\
&=(x+3)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $f$ une fonction telle que $f(2)=5$ et $f'(2)=-1$
Dans un repère, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $2$ a pour équation :

a. $y=-x-3$
b. $y=-x+3$
c. $y=-x+7$
d. $y=5x-11$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$
soit $y=-(x-2)+5$ ou encore $y=-x+7$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $C_f$ dans un repère est la courbe ci-dessous.

La tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(1;\dfrac{4}{3}\right)$ passe par le point $B\left(0;-\dfrac{5}{3}\right)$.
Alors :

a. $f'(1)=\dfrac{1}{3}$
b. $f'(1)=\dfrac{4}{3}$
c. $f'(1)=-\dfrac{5}{3}$
d. $f'(1)=3$

$\quad$

Correction Question 5

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$.
Ainsi :
$\begin{align*} f'(1)&=\dfrac{-\dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{3}}{0-1} \\
&=\dfrac{-3}{-1} \\
&=3\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique $q$ milliers d’objets, $q\in [1; 20]$. Le coût total de fabrication, exprimé en euros en fonction de $q$, est donné par l’expression : $$C(q)=q^3-18q^2+750q+200$$

  1. a. Calculer le coût total de fabrication de $5~000$ objets.
    $\quad$
    b. Déterminer le coût moyen de fabrication d’un millier d’objets lorsqu’on fabrique $5~000$ objets.
    $\quad$
  2. Le coût moyen $C_M(q)$ de fabrication de $q$ milliers d’objets, exprimé en euros, est donné par l’expression : $$C_M(q)=\dfrac{C(q)}{q}=q^2-18q+750+\dfrac{200}{q}$$
    a. On note $C_M’$ la fonction dérivée, sur l’intervalle $[1; 20]$, de la fonction $C_M$.
    Montrer que, pour tout $q\in [1; 20]$, $$C_M'(q)=\dfrac{2(q-10)\left(q^2+q+10\right)}{q^2}$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $C_M’$ et dresser le tableau de variation de la fonction $C_M$ sur l’intervalle $[1; 20]$.
    $\quad$
    c. Quel est le coût moyen minimal et pour quelle quantité d’objets est-il obtenu ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} C(5)&=5^3-18\times 5^2+750\times 5+200\\
    &=3~625\end{align*}$
    Le coût total de fabrication de $5~000$ objets est de $3~625$ euris.
    $\quad$
    b. $\dfrac{C(5)}{5}=725$.
    Le coût moyen de fabrication d’un millier d’objets lorsqu’on fabrique $5~000$ objets est de $725$ euros.
    $\quad$
  2. a. La fonction $C_M$ est dérivable sur l’intervalle $[1;20]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $q\in[1;20]$ on a :
    $\begin{align*} C_M'(q)&=2q-18+200\times \left(-\dfrac{1}{q^2}\right) \\
    &=\dfrac{2q^3-18q^2-200}{q^2}\end{align*}$
    Or :
    $\begin{align*} &2(q-10)\left(q^2+q+10\right)\\
    =~&(2q-20)\left(q^2+q+10\right)\\
    =~&2q^3+2q^2+20q-20q^2-20q-200\\
    =~&2q^3-18q^2-200\end{align*}$
    Ainsi $C_M'(q)=\dfrac{2(q-10)\left(q^2+q+10\right)}{q^2}$.
    $\quad$
    b. Un carré étant positif, le signe de $C_M'(q)$ ne dépend que de celui de $(q-10)\left(q^2+q+10\right)$.
    $q-10=0 \ssi q=10$ et $q-10>0 \ssi q>10$
    Sur $[1;20]$ on a $q^2+q+10>0$, par conséquent, $C_M'(q)$ est du signe de $q-10$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. Le coût moyen est minimal lorsque l’entreprise fabrique $10~000$ objets et vaut alors $690$ euros.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La famille A décide de diminuer de $2 \%$ par mois sa quantité de déchets produite par mois à partir du 1$\ier$ janvier 2020.

Au mois de décembre 2019, elle a produit $120$ kg de déchets.

  1. Justifier qu’au bout de $2$ mois, la famille A aura produit environ $115$ kg de déchets.

On admet que la quantité de déchets produits chaque mois conserve la même évolution toute l’année.
On modélise l’évolution de la production de déchets de la famille A par la suite de terme général $a_n$, où $a_n$ représente la quantité, en kg, de déchets produits par la famille A $n$ mois après décembre 2019.
Ainsi, $a_0$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de décembre 2019, $a_1$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de janvier 2020, etc.

  1. a. Déterminer la nature de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer 𝑎𝑛 en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la quantité totale de déchets que produira la famille A durant l’année 2020.
    On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$
    On rappelle que :
    Soit $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ une suite géométrique de raison $q$, $q\neq 1$. La somme $S$ de termes consécutifs est égale à $S=u_1+u_2+\ldots+u_n=u_1\times \dfrac{1-q^n}{1-q}$.
    $\quad$
    d. On donne le programme ci-dessous.
    $$\begin{array}{ll}
    \textcolor{Emerald}{1}&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{S(n):}\\
    \textcolor{Emerald}{2}& \hspace{0.5cm}\text{U=}\textcolor{Green}{120}\\
    \textcolor{Emerald}{3}& \hspace{0.5cm}\text{S=}\textcolor{Green}{0}\\
    \textcolor{Emerald}{4}& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range }}\text{(n):}\\
    \textcolor{Emerald}{5}& \hspace{1cm}\text{U=}\textcolor{Green}{0.98}\text{*U}\\
    \textcolor{Emerald}{6}& \hspace{1cm}\text{S=S+U}\\
    \textcolor{Emerald}{7}& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{(S)}\\
    \textcolor{Emerald}{8}&\end{array}$$
    Que représente le résultat renvoyé par la fonction si on entre l’instruction $\text{S(6)}$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le premier mois elle a produit $120\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=117,6$ kg de déchets.
    Le deuxième mois elle a produit $117,6\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=115,248$ kg de déchets.
    Au bout de 2 mois, la famille A aura produit environ $115$ kg de déchets.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)an\\
    &=0,98a_n\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $a_0=120$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n=120\times 0,98^n$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} S&=a_1+a_2+\ldots+a_{12} \\
    &=a_1\times \dfrac{1-0,98^{12}}{1-0,98}\\
    &=117,6\times \dfrac{1-0,98^{12}}{0,02}\\
    &\approx 1~266\end{align*}$
    La famille produira donc environ $1~266$ kg de déchets durant l’année 2020.
    $\quad$
    d. Cette instruction fournit la quantité totale de déchets produits par la famille sur les $6$ premiers mois de l’année 2020.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Pierre joue à un jeu dont une partie est constituée d’un lancer d’une fléchette sur une cible suivi d’un tirage au sort dans deux urnes contenant des tickets marqués « gagnant » ou « perdant » indiscernables.

  •  S’il tire un ticket marqué « gagnant », il pourra recommencer une partie.
  • S’il atteint le centre de la cible, Pierre tire un ticket dans l’urne $U_1$ contenant
    exactement neufs tickets marqués « gagnant » et un ticket marqué « perdant ».
  • S’il n’atteint pas le centre de la cible (donc même s’il n’atteint pas la cible), Pierre tire un ticket dans l’urne $U_2$ contenant exactement quatre tickets marqués « gagnant » et six tickets marqués « perdant ».

Pierre atteint le centre de la cible avec une probabilité de $0,3$.

On note les événements suivants :
$\hspace{1cm} C$ : « Pierre atteint le centre de la cible » ;
$\hspace{1cm} G$ : « Pierre tire un ticket lui offrant une autre partie ».

  1. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et justifier la valeur $0,9$.

    $\quad$
  2. Compléter sur la copie l’arbre pondéré en traduisant les données de l’exercice.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement $\conj{C}\cap G$.
    $\quad$
  4. Montrer que la probabilité qu’à l’issue d’une partie Pierre en gagne une nouvelle est égale à $0,55$.
    $\quad$
  5. Sachant que Pierre a gagné une nouvelle partie, quelle est la probabilité qu’il ait atteint le centre de la cible ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré :

    On sait que s’il atteint le centre de la cible, Pierre tire un ticket dans l’urne $U_1$ contenant exactement neufs tickets marqués « gagnant » et un ticket marqué « perdant ». La probabilité qu’il tire un ticket gagnant sachant qu’il a atteint le centre est $\dfrac{9}{9+1}=0,9$.
    $\quad$
  2. voir arbre de la question précédente.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{C}\cap G\right)&=P_{\conj{C}}(G)\times P\left(\conj{C}\right) \\
    &=0,7\times 0,4\\
    &=0,28\end{align*}$
    $\quad$
  4. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(G)&=P(C\cap G)+P\left(\conj{C}\cap G\right) \\
    &=0,3\times 0,9+0,28\\
    &=0,55\end{align*}$
    La probabilité qu’à l’issue d’une partie Pierre en gagne une nouvelle est égale à $0,55$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_G(C)&=\dfrac{P(G\cap C)}{P(G)}\\
    &=\dfrac{0,3\times 0,9}{0,55} \\
    &=\dfrac{27}{55}\\
    &\approx 0,491\end{align*}$
    Sachant que Pierre a gagné une nouvelle partie, la probabilité qu’il ait atteint le centre de la cible est environ égale à $0,491$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence