E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les cinq questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Question 1

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique telle que $u_4=3$ et $u_{10}=18$. On peut affirmer que :

a. $u_0=7$
b. $u_7=20,5$
c. $u_{12}=23$
d. $u_{14}=-28$

$\quad$

Correction Question 1

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$.
On a
$\begin{align*} u_{10}=u_4+6r &\ssi 18=3+6r \\
&\ssi 6r=15\\
&\ssi r=2,5\end{align*}$
Donc
$\begin{align*} u_{12}&=u_{10}+2r\\
&=18+2\times 2,5\\
&=23\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

$2+3+4+\ldots+999+1~000$ est égal à :

a. $500~500$
b. $498~999$
c. $499~000$
d. $500~499$

$\quad$

Correction Question 2

On a
$\begin{align*} S&=2+3+4+\ldots +999+1~000 \\
&=1+2+3+\ldots + 1~000-1\\
&=\dfrac{1~000\times 1~001}{2}-1\\
&=500~499\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

$\left(v_n\right)$ est la suite géométrique de raison $0,3$ telle que $v_0=-3$. On conjecture que la suite $\left(v_n\right)$ a pour limite :

a. $0$
b. $+\infty$
c. $-\infty$
d. $-3$

$\quad$

Correction Question 3

On a $v_0=-3$, $v_1=-0,9$, $v_2=-0,27$ et $v_3=-0,081$
On peut donc conjecturer que $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

$f$ est ka fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-2(x+2)^2-3$. On peut affirmer qu’elle est :

a. décroissante sur $]-\infty;+\infty[$
b. décroissante sur $]-2;+\infty[$
c. croissante sur $]-\infty;2[$
d. décroissante sur $]-3;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 4

$f$ est une fonction du second degré dont le sommet a pour abscisse $-2$.
Le coefficient principal est $a=-2<0$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]-2;+\infty[$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

L’ensemble des solutions de l’inéquation $x^2-5x+6<0$ est

a. $]-\infty;2[\cup]3;+\infty[$
b. $]-\infty;-1[\cup]6;+\infty[$
c. $]2;3[$
c. $]-1;6[$

$\quad$

Correction Question 5

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*}\Delta&=(-5)^2-4\times \times 6\\
&=1\\
&>0\end{align*}$
Les racines du polynômes sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{5-\sqrt{1}}{2}\\
&=2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{5+\sqrt{1}}{2}\\
&=3\end{align*}$
Le coefficient principal du polynôme est $a=1>0$.
Ainsi les solutions de l’inéquation $x^2-5x+6<0$ est $]2;3[$.

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique des pièces en acier, toutes identiques, pour l’industrie aéronautique.
Ces pièces sont coulées dans des moules à la sortie du four. Elles sont stockées dans un entrepôt dont la température ambiante est maintenue à $25$°C.
Ces pièces peuvent être modelées dès que leur température devient inférieure ou égale à $600$°C et on peut les travailler tant que leur température reste supérieure ou égale à $500$°C.
La température de ces pièces varie en fonction du temps.
On admet que la température en degré Celsius de ces pièces peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par : $$f(t)=1é375\e^{-0,075t}+25~,$$ où $t$ correspond au temps, exprimé en heures, mesuré après la sortie du four.

  1. Calculer la température des pièces à la sortie du four.
    $\quad$
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$. Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$
  3. Les pièces peuvent-elles être modelées $10$ heures après la sortie du four ? Après $14$ heures ?
    $\quad$
  4. On souhaite déterminer le temps minimum d’attente en heures après la sortie du four avant de pouvoir modeler les pièces.
    a. Compléter l’algorithme donné en annexe, qui est à rendre avec la copie, pour qu’il renvoie ce temps minimum d’attente en heure (arrondi par excès à $0,1$ près).
    $\quad$
    b. Déterminer ce temps minimum d’attente. On arrondira au dixième.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{l}
\text{from math import}\\
\text{def f(t):}\\
\hspace{1cm}\text{return 1375*exp(-0,075*t)+25}\\\\
\text{def seuil():}\\
\hspace{1cm} \text{t = }\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{temperature = }\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{while température > }\ldots\ldots :\\
\hspace{2cm} \text{t=t+0.1}\\
\hspace{2cm} \text{temperature =}\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{return t}\end{array}$$

L’énoncé original contenait une erreur dans la boucle while. Elle est corrigée ici.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} f(0)&=1~375\e^0+25 \\
    &=1~375+25\\
    &=1~400\end{align*}$
    La température des pièces à la sortie du four est de $1~400$ €.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=1~375 \times (-0,075)\e^{-0,075t} \\
    &=-103,125\e^{-0,075t}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Donc $f'(t)<0$ pour tout réel $x\pg 0$.
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    Une fois sortie du four, la température de la pièce en acier baisse. Le résultat précédent était donc prévisible.
    $\quad$
  3. On a $f(10)\approx 675,5 > 600$
    Les pièces ne peuvent pas être modelées $10$h après la sortie du four.
    $f(14)\approx 506,2 \in[500;600]$
    Les pièces peuvent être modelées $14$h après la sortie du four.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \text{from math import}\\
    \text{def f(t):}\\
    \hspace{1cm}\text{return 1375*exp(-0,075*t)+25}\\\\
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm} \text{t = t+0.1 }\\
    \hspace{1cm} \text{temperature = f(t)}\\
    \hspace{1cm} \text{while température > 600 :} \\
    \hspace{2cm} \text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm} \text{temperature = f(t)}\\
    \hspace{1cm} \text{return t}\end{array}$$
    $\quad$
    b. On a $f(11,6)\approx 601,1$ et $f(11,7) \approx 596,8$
    Il faut donc attendre environ $11,7$ heures pour pouvoir modeler les pièces.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $\Oij$, on considère les points $A(4 ; -1)$, $B(3 ; 4)$ et $C(-1 ; 1)$.

  1. Calculer le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$.
    $\quad$
  2. a. Soit $D$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$, justifier que $\vect{AB}.\vect{AD}=\vect{AB}.\vect{AC}$.
    $\quad$
    b. En déduire la longueur $AD$.
    $\quad$
  3. Déterminer la hauteur du triangle $ABC$ issue de $C$.
    $\quad$
  4. Calculer l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $\vect{AB}\begin{align*}-1\\5\end{align*}$ et $\vect{AC}\begin{align*}-5\\2\end{align*}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-1\times (-5)+5\times 2 \\
    &=15\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\left(\vect{AD}+\vect{DC}\right)\\
    &=\vect{AB}.\vect{AD}+\vect{AB}.\vect{DC}\\
    &=\vect{AB}.\vect{AD}+0\\
    &=\vect{AB}.\vect{AD}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}AB&=\sqrt{(-1)^2+5^2}\\
    &=\sqrt{26}\end{align*}$
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ sont colinéaires et de même sens (puisque leur produit scalaire est positif).
    Ainsi $\vect{AB}.\vect{AD}=AB\times AD$.
    Par conséquent $\sqrt{26}AD=15 \ssi AD=\dfrac{15}{\sqrt{26}}$.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{(-5)^2+2^2}\\
    &=\sqrt{29}\end{align*}$
    Dans le triangle $ACD$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore
    $\begin{align*} &AC^2=AD^2+DC^2 \\
    \ssi~&29=\left(\dfrac{15}{\sqrt{26}}\right)^2+DC^2 \\
    \ssi~&29 \dfrac{225}{26}+DC^2 \\
    \ssi~&DC^2=\dfrac{529}{26}\\
    \ssi~&DC=\sqrt{\dfrac{529}{26}}\\
    \ssi~&DC=\dfrac{23}{\sqrt{26}}\end{align*}$
    $\quad$
  4. L’aire du triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{ABC}&=\dfrac{AB\times DC}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{26}\times \dfrac{23}{\sqrt{26}}}{2} \\
    &=\dfrac{23}{2}\\
    &=11,5\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise de $1~000$ employés est organisée en 3 services « A », « B » et « C » d’effectifs respectifs $450$, $230$ et $320$ employés. Une enquête effectuée auprès de tous les employés sur leur temps de parcours quotidien entre leur domicile et l’entreprise a montré que :

  • $40 \%$ des employés du service « A » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise ;
  • $20 \% des employés du service « B » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise ;
  • $80 \%$ des employés du service « C » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise.

On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants :

  • $A$ : l’employé fait partie du service « A » ;
  • $B$ : l’employé fait partie du service « B » ;
  • $C$ : l’employé fait partie du service « C » ;
  • $T$ : l’employé réside à moins de 30 minutes de l’entreprise.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, la probabilité d’un événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.

  1. Justifier que $P(A) = 0,45$ puis donner $P_A(T)$.
    $\quad$
  2. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe qui sera à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité que l’employé choisi soit du service « A » et qu’il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail.
    $\quad$
  4. Montrer que $P(T) = 0,482$.
    $\quad$
  5. Sachant qu’un employé de l’entreprise réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail, déterminer la probabilité qu’il fasse partie du service « C ». Arrondir à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} P(A)&=\dfrac{450}{1~000}\\
    &=0,45\end{align*}$
    D’après l’énoncé, $40 \%$ des employés du service « A » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise.
    Donc $P_A(T)=0,4$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T)\\
    &=0,45\times 0,4\\
    &=0,18\end{align*}$
    La probabilité que l’employé choisi soit du service « A » et qu’il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail est égale à $0,18$.
    $\quad$
  4. $A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P(B\cap T)+P(C \cap T)\\
    &=0,18+0,23\times 0,2+0,32\times 0,8\\
    &=0,482\end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_T(C)&=\dfrac{P(A\cap T)}{P(T)}\\
    &=\dfrac{0,32\times 0,8}{0,482}\\
    &\approx 0,531\end{align*}$
    Sachant qu’un employé de l’entreprise réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail, la probabilité qu’il fasse partie du service « C » est environ égale à $0,531$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence