E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Sur la figure ci-dessous, nous avons tracé dans un repère orthonormé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$ et la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $4$.
Cette tangente est représentée par la droite $\mathcal{D}$ . On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Le réel $f'(4)$ est égal à :

a. $-1$
b. $-2$
c. $7$
d. $1$

$\quad$

Correction Question 1

Le réel $f'(4)$ est le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$. Cette droite passe par les points $A(4;-1)$ et $B(3;1)$
Donc :
$\begin{align*} f'(4)&=\dfrac{1-(-1)}{3-4} \\
&=-2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-2x^2+1$. On admet que $f$ est une fonction dérivable sur $\R$. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=-1$
b. $y=-x$
c. $y=-x+1$
d. $y=x$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2-2\times 2x \\
&=3x^2-4x\end{align*}$
Ainsi $f(1)=0$ et $f'(1)=-1$
Une équation de la tangente est donc $y=-(x-1)$ soit $y=-x+1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}$ est égal à :

a. $\e^{-x}$
b. $\e^{3x}$
c. $\e^{-3x}$
d. $\e^x$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} \dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}&=\dfrac{\e^{x-3x}}{\e^{-x}} \\
&=\dfrac{\e^{-2x}}{\e^{-x}} \\
&=\e^{-2x-(-x)}\\
&=\e^{-2x+x}\\
&=\e^{-x}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Pour tout réel $x$, une expression de $f(x)$ est :

a. $f(x)=x^2+x-2$
b. $f(x)=-x^2-4$
c. $f(x)=2x^2+2x-4$
d. $f(x)=-3x^2-3x+6$

$\quad$

Correction Question 4

$\quad$

Question 5

La fonction est donc d’abord décroissante. Son coefficient principal est donc positif. On élimine donc les propositions b. et d. .
On lit que $f(0)=-4$
Par conséquent $f(x)=2x^2+2x-4$

Réponse c

$\quad$

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L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation d’inconnue $x\in \R$ : $-x^2-2x+8>0$ est :

a. $S=[-4;2]$
b. $S=]-4;2[$
c. $S=]-\infty;-4[\cup]2;+\infty[$
d. $\lbrace -4;2\rbrace $

$\quad$

Correction Question 5

Les racines du polynômes $-x^2-2x+8$ sont $-4$ et $2$.
Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=-1<0$.
L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation $-x^2-2x+8>0$ est donc $]-4;2[$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Les résultats seront arrondis à l’unité.
La quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant d’une ville de taille moyenne a été de $537$ kg en 2019 et la municipalité espère réduire ensuite cette production de $1,5 \%$ par an.
Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produit par habitant de cette ville durant l’année 2019$+n$, on a donc $d_0 = 537$.

  1. Montrer par un calcul que $d_1= 0,985 \times d_0$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$ .
    $\quad$
  3. En déduire la nature de la suite $\left(d_n\right)$ puis une expression de $d_n$ en fonction de $n$ .
    $\quad$
  4. On souhaite savoir à partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national, à savoir $513$ kg. Pour cela, on considère l’algorithme suivant rédigé en langage Python.
    $$\begin{array}{ll}
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\textbf{année}}\textcolor{Maroon}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{0}}\\
    3&\hspace{1cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d}\textcolor{Maroon}{>\ldots:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\text{n}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\\
    6&\hspace{2cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=\ldots}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme afin de répondre au problème posé.
    $\quad$
    b. À partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera-t-elle inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} d_1&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right)\times d_0 \\
    &=0,985\times d_0\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right)\times d_n \\
    &=0,985\times d_n\end{align*}$
    $\quad$
  3. La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,985$ et de premier terme $d_0=537$.
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $d_n=537\times 0,985^n$.
    $\quad$
  4. a. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{ll}
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\textbf{année}}\textcolor{Maroon}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{0}}\\
    3&\hspace{1cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d}\textcolor{Maroon}{>}\textcolor{Emerald}{\text{513}}\textcolor{Maroon}{:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\text{n}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\\
    6&\hspace{2cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=} \text{d}\textcolor{Maroon}{*}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les premiers termes de la suite $\left(d_n\right)$ arrondis au dixième.
    $d_0=537$, $d_1\approx 528,9$, $d_2\approx 521,0$, $d_3\approx 513,2$ et $d_4\approx 505,5$.
    C’est donc à partir de l’année 2023 que la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé on considère le point $A(-3; 5)$ et la droite $(d)$ dont une équation cartésienne est $-x+3y+2=0$.

  1. Tracer la droite $(d)$ dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal à la droite $(d)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $(d)$ et passant par $A$.
    $\quad$
  4. En déduire que le point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(d)$, a pour coordonnées $(-1; -1)$.
    $\quad$
  5. En déduire la distance entre le point $A$ et la droite $(d)$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Si $y=0$ alors $x=2$. La droite passe par le point $B(2;5)$.
    Si $x=-1$ alors $y=-1$. La droite passe par le point $C(-1;-1)$.
    On obtient donc le graphique suivant :

    $\quad$
  2. Un vecteur normal à la droite $(d)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. On appelle $(d’)$ la droite perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par le point $A$.
    $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de cette droite.
    Ainsi une équation cartésienne de la droite $(d’)$ est de la forme $3x+y+c=0$.
    Le point $A(-3;5)$ appartient à cette droite.
    Donc $-9+5+c=0 \ssi c=4$.
    Une équation de la droite $(d’)$ est donc $3x+y+4=0$.
    $\quad$
  4. Vérifions que le point $H(-1;-1)$ appartient au deux droites.
    D’après la réponse apportée à la question 1. le point $H$ et le point $C$ sont confondus. Donc $H$ appartient à la droite $(d)$.
    $3\times (-1)+(-1)+4=-3-1+4=0 \checkmark$.
    Le point $H$ appartient également à la droite $(d’)$.
    Ainsi $H(-1;-1)$ est bien le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$.
    $\quad$
  5. Ainsi la distance entre le point $A$ et la droite $(d)$ est :
    $\begin{align*} AH&=\sqrt{\left(-1-(-3)\right)^2+(-1-5)^2} \\
    &=\sqrt{2^2+(-6)^2} \\
    &=\sqrt{40}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
Une enquête a été menée auprès de lycéens pour estimer la proportion de ceux qui ont déjà consommé du cannabis. Pour encourager les réponses sincères, on met en place le protocole
suivant :
Chaque adolescent lance d’abord un dé équilibré à 6 faces et l’enquêteur qui va l’interroger ne connaît pas le résultat du lancer. À la question « Avez-vous déjà consommé du cannabis ? », l’adolescent doit répondre :

  • « non » si le résultat du lancer est 5, qu’il ait ou non déjà consommé du cannabis ;
  • « oui » si le résultat du lancer est 6, qu’il ait ou non déjà consommé du cannabis ;
  • « oui » ou « non » dans les autres cas, mais de façon sincère.

On note :

  • $N$ : l’évènement l’adolescent a répondu « non » ;
  • $O$ : l’évènement l’adolescent a répondu « oui » ;
  • $C$ : l’évènement l’adolescent a déjà consommé effectivement du cannabis ;
  • $\conj{C}$ : l’évènement l’adolescent n’a jamais consommé du cannabis.

Sur les lycéens qui ont participé à cette enquête on constate que la probabilité qu’un adolescent ait répondu « oui » est de $\dfrac{3}{5}$, soit $p(O) =\dfrac{3}{5}$.
On veut déterminer la probabilité, notée $p$, qu’un adolescent ait déjà consommé du cannabis.
On a donc $p(C) = p$ .

  1. Justifier que la probabilité qu’un adolescent ait répondu « oui » sachant qu’il n’a jamais consommé de cannabis est $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. On a représenté en annexe l’arbre de probabilités représentant la situation. Compléter l’arbre sur l’annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que la probabilité 𝑝 qu’un adolescent ait déjà consommé du cannabis vérifie l’équation : $$\dfrac{2}{3}p+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{5}$$
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $p$.
    $\quad$
  4. Sachant qu’un adolescent a répondu « non » pendant l’enquête, quelle est la probabilité qu’il n’ait jamais consommé de cannabis ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On considère donc un adolescent qui n’a jamais consommé de cannabis.
    Il ne répond « oui » que s’il obtient 6 lors du lancer de dé.
    Donc $p_{\conj{C}}(O)=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  3. a. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(O)=p(C\cap O)+p\left(\conj{C}\cap O\right) \\
    \ssi~&\dfrac{3}{5}=p\times \dfrac{5}{6}+(1-p)\times \dfrac{1}{6} \\
    \ssi~&\dfrac{3}{5}=\dfrac{5}{6}p+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6}p \\
    \ssi~&\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{3}p+\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{3}p+\dfrac{1}{6}&\ssi \dfrac{2}{3}p=\dfrac{13}{30} \\
    &\ssi p=0,65\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} p_N\left(\conj{C}\right)&=\dfrac{p\left(N\cap \conj{C}\right)}{p(N)}\\
    &=\dfrac{(1-0,65)\times \dfrac{5}{6}}{1-\dfrac{3}{5}} \\
    &=\dfrac{35}{48}\end{align*}$
    Sachant qu’un adolescent a répondu « non » pendant l’enquête, la probabilité qu’il n’ait jamais consommé de cannabis est égale à $\dfrac{35}{48}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence