E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^{2x}}{\e^{x+1}}$ est égale à :

a. $\e^{x-1}$
b. $\e^{3x+1}$
c. $\dfrac{2x}{x+1}$
d. $\e$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*}
\dfrac{\e^{2x}}{\e^{x+1}}&=\e^{2x-(x+1)} \\
&=\e^{x-1}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère, les courbes représentatives des fonctions $x\mapsto 15x^2+10x-1$ et $x\mapsto 19x^2-22x+10$ ont :

a. aucun point d’intersection
b. un seul point d’intersection
c. deux points d’intersection
d. quatre points d’intersection

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} &15x^2+10x-1-\left(19x^2-22x+10\right) \\
&=-4x^2+32x-11\end{align*}$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &= 32^2-4\times (-4)\times 11 \\
&=1~200\\
&>0\end{align*}$

Les deux courbes ont donc deux points d’intersection.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Le cercle de centre $A$ de coordonnées $( 3 ; – 1)$ et de rayon $5$ a pour équation cartésienne :

a. $(x+3)^2+(y-1)^2=25$
b. $(x-3)^2+(y+1)^2=5$
c. $(x+3)^2+(y-1)^2=5$
d. $(x-3)^2+(y+1)^2=25$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation du cercle est $(x-3)^2+\left(y-(-1)\right)^2=5^2$ soit $(x-3)^2+(y+1)^2=25$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, la droite $d$ d’équation cartésienne $3x+2y+4=0$ admet un vecteur normal de coordonnées :

a. $\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur normal à la droite d’équation $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
Ici un vecteur normal à la droite d’équation $3x+2y+4=0$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5$

Le plus petit entier naturel $n$ tel que la somme $1 + 2 + 3 + 4 +\ldots + n$ soit supérieure à $5~000$ est égal à :

a. $1~000$
b. $500$
c. $200$
d. $100$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Si $n=100$ alors $\dfrac{n(n+1)}{2}=5~050$

$100$ est le plus petit nombre proposé ici.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=8x^3-6x^2-2$. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un plan muni d’un repère orthogonal.

  1. a. Justifier que pour tout réel $x$, $f(x)=(x-1)\left(x^2+2x+2\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire que la courbe $C$ coupe l’axe des abscisses en un seul point $A$ dont on donnera les coordonnées.
    $\quad$
  2. a. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=12x(2x-1)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Le point de coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{2}\right)$ appartient-il à la tangente $T$ à la courbe $C$ au point $B$ d’abscisse $x=\dfrac{1}{2}$ ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} &(x-1)\left(x^2+2x+2\right)\\
    &=8x^3+2x^2+2x-8x^2-2x-2\\
    &=8x^3-6x^2-2\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $f(x)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x-1=0 \ssi x=1$ ou $8x^2+2x+2=0$
    Le discriminant du polynôme du second degré est :
    $\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 8\times 2\\
    &=-60\\
    &<0\end{align*}$
    Ce polynôme ne possède donc pas de racine.
    Ainsi la courbe $C$ coupe l’axe des abscisses en un seul point $A$ de coordonnées $(1;0)$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=8\times 3x^2-6\times 2x \\
    &=24x^2-12x\\
    &=12x(2x-1)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $12x=0\ssi x=0$ et $12x>0 \ssi x>0$
    $2x-1=0 \ssi x= \dfrac{1}{2}$ et $2x-1>0 \ssi x>\dfrac{1}{2}$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. On a $f’\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$ et $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{5}{2}$.
    Une équation de la tangente $T$ est donc $y=-\dfrac{5}{2}$.
    Ainsi le point de coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{2}\right)$ appartient à $T$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un parfumeur propose l’un de ses parfums, appelé « Fleur Rose », et cela uniquement avec deux contenances de flacons : un de 30 ml ou un de 50 ml. Pour l’achat d’un flacon « Fleur Rose », il propose une offre promotionnelle sur un autre parfum appelé « Bois d’ébène ». On dispose des données suivantes :

  • $58 \%$ des clients achètent un flacon de parfum « Fleur Rose » de 30 ml et, parmi ceux-là, $24 \%$ achètent également un flacon du parfum « Bois d’ébène » ;
  • $42 \%$ des clients achètent un flacon de parfum « Fleur Rose » de 50 ml et, parmi ceux-là, $13 \%$ achètent également un flacon du parfum « Bois d’ébène ».

On admet qu’un client donné n’achète qu’un seul flacon de parfum « Fleur de Rose » (soit en 30 ml soit en 50 ml), et que s’il achète un flacon du parfum « Bois d’ébène », il n’en achète
aussi qu’un seul flacon.
On choisit au hasard un client achetant un flacon du parfum « Fleur Rose ». On considère les événements suivants :

  • $F$ : « le client a acheté un flacon « Fleur Rose » de 30 ml » ;
  • $B$ : « le client a acheté un flacon « Bois d’ébène ».
  1. Construire un arbre pondéré traduisant les données de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $P(F\cap B)$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le client ait acheté un flacon « Bois d’ébène ».
    $\quad$
  4. Un flacon « Fleur Rose » de 30 ml est vendu $40$ €, un flacon « Fleur Rose » de 50 ml est vendu $60$ € et un flacon « Bois d’ébène » $25$ €. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au montant total des achats par un client du parfum « Fleur Rose ».
    a. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(F\cap B)&= P(F)\times P_F(B) \\
    &=0,58\times 0,24\\
    &=0,139~2\end{align*}$
    $\quad$
  3. $F$ et $\conj{F}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(B)&=P(F\cap B)+P\left(\conj{F}\cap B\right) \\
    &=0,139~2+0,42\times 0,13\\
    &=0,193~8\end{align*}$
    La probabilité que le client ait acheté un flacon « Bois d’ébène » est égale à $0,193~8$
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} P(X=40)&=P\left(F\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,58\times 0,76 \\
    &=0,440~8\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=65)&=P\left(F\cap B\right) \\
    &=0,139~2\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=60)&=P\left(\conj{F}\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,42\times 0,87 \\
    &=0,365~4\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=85)&=P\left(\conj{F}B\right) \\
    &=0,42\times 0,13 \\
    &=0,054~6\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{40\times P(X=40)+65\times P(X=65)+60\times P(X=60)+85\times P(X=85)}\\
    &=53,245\end{align*}$
    En moyenne, un client ayant acheté un flacon du parfum « Fleur Rose » dépense $53,245$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

D’après l’ADEME (Agence De l’Environnement et de la Maîtrise de l’Énergie), chaque français a produit une masse moyenne de $365$ kg de déchets ménagers en 2018.
Un maire, étant informé que la masse moyenne de déchets ménagers dans sa commune en 2018 était de $400$ kg par habitant, décide d’une campagne annuelle de sensibilisation au recyclage qui conduit à une réduction de cette production de $1,5 \%$ par an, et cela dès l’année 2019.
On modélise alors la masse moyenne de déchets ménagers par habitant calculée en fin d’année dans cette commune par une suite $\left(d_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $d_n$ correspond à la masse moyenne de déchets ménagers par habitant, en kg, pour l’année 2018$+n$. Ainsi, $d_0= 400$.

  1. Prouver que $d_1 = 394$. Interpréter ce résultat.
    $\quad$
  2. a. Déterminer la nature de la suite $\left(d_n\right)$. Préciser sa raison et son premier terme.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. a. D’après le tableau de valeurs suivant, en quelle année la masse moyenne de déchets ménagers par habitant deviendra-t-elle inférieure à $365$ kg ?
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 0& 1& 2& 3& 4&5& 6& 7& 8\\
    \hline
    d_n& 400& 394& 388,09& 382,27& 376,53& 370,89& 365,32& 359,84& 354,45\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Écrire une fonction Python qui retourne l’année à laquelle la masse moyenne de déchets ménagers par habitant de la commune devient inférieure à $365$ kg.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} d_1&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right) d_0\\
    &=0,985\times 400\\
    &=394\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right) d_n\\
    &=0,985\times d_n\end{align*}$
    La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,985$ et de premier terme $d_0=400$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $d_n=400\times 0,985^n$.
    $\quad$
  3. a. On a $d_6>365$ et $d_7<365$.
    C’est donc à partir de l’année 2025 que la masse moyenne de déchets ménagers par habitant deviendra inférieure à $365$ kg.
    $\quad$
    b. On peut saisir le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def dechet(m):}\\
    \hspace{0.5cm}\text{d = 400}\\
    \hspace{0.5cm}\text{n = 0}\\
    \hspace{0.5cm}\text{while d > m:}\\
    \hspace{1cm}\text{d = d*0.985}\\
    \hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
    \hspace{0.5cm}\text{return (2018+n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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