E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=\e^{100x}$. Alors :

a. $g$ est croissante sur $\R$.
b. $g$ est décroissante sur $\R$.
c. $g$ change de sens de variation sur $\R$.
d. $aucune des propositions a.b. et c. n’est correcte

$\quad$

Correction Question 1

$g(x)$ est de la forme $\e^{ax+b}$ avec $a=100$ et $b=0$.
Par conséquent $g$ est dérivable et pour tout réel $x$ on a $g'(x)=100\e^{100x}$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $g'(x)>0$ sur $\R$ et $g$ est strictement croissante sur $\R$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=100x^2+10x+1$. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction $f$ est une parabole dont l’axe de symétrie a pour équation :

a. $x=10$
b. $x=-10$
c. $x=0,05$
d. $x=-0,05$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de l’axe de symétrie est de la forme $x=-\dfrac{b}{2a}$.
Donc, ici, une équation est $x=-0,05$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $a$ et $b$ les fonctions définies sur $\R$ par $a(x)=3x^2+15x+1$ et $b(x)=25x^2+5x-100$. Dans le plan muni d’un repère orthonormé les courbes représentatives des fonctions $a$ et $b$ ont :

a. $0$ point d’intersection
b. $1$ point d’intersection
c. $2$ points d’intersection
d. $4$ point d’intersection

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} a(x)-b(x)&=3x^2+15x+1-\left(25x^2+5x-100\right)\\
&=-22x^2+10x+101\end{align*}$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=10^2-4\times (-22)\times 101\\
&=8~988\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

La somme $1+5+5^2+\ldots+5^{10}$ est égale à :

a. $2~441~406$
b. $271$
c. $5^{55}$
d. $12~207~031$

$\quad$

Correction Question 4

Il s’agit de la somme des termes d’une suite géométrique.
$\begin{align*} S&=1+5+5^2+\ldots+5^{10} \\
&=\dfrac{1-5^{-11}}{1-5}\\
&=12~207~031\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ dont la représentation graphique $C_f$ est donnée ci-dessous.
On sait de plus que la courbe $C_f$ admet deux tangentes horizontales : une au point d’abscisse $-1$ et l’autre au point d’abscisse $3$.

Alors le réel $f(-1) \times f'(3)$ est :

a. strictement positif
b. strictement négatif
c. égal à $0$
d. égal à $f'(-3)$

$\quad$

Correction Question 5

Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points d’abscisse $-1$ et $3$ sont horizontales.
Par conséquent $f'(-1)=0$ et $f'(3)=0$.
Ainsi $$f(-1) \times f'(3)=0$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans le plan muni d’un repère, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ la dérivée de $f$. On sait que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet exactement deux tangentes horizontales :

  • l’axe des abscisses comme tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(-1 ; 0)$ ;
  • la droite $T_B$ comme tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B\left(\dfrac{1}{3};-\dfrac{32}{27}\right)$.

  1. Par lecture graphique, donner les solutions de l’équation $f(x) = 0$.
    La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+x^2-x-1$. On note $f’$ la dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variations de $f$.
    $\quad$
  4. En utilisant ce qui précède, déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^3+x^2$ et de la droite $D$ d’équation $y=x+1$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement, il semblerait que les solutions de $f(x)=0$ soient $-1$ et $1$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2+2x-1$.
    $\quad$
  3. Le discriminant de $f'(x)$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 3\times (-1) \\
    &=16\\
    &>0\end{align*}$
    $f'(x)$ possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{6} \\
    &=-1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} g(x)>x+1 &\ssi x^3+x^2-x-1>0 \\
    &\ssi f(x)>0\end{align*}$
    Sur l’intervalle $]-\infty;1]$ $\mathcal{C}_g$ est en-dessous de la droite $D$ et sur l’intervalle $[1;+\infty[$ la courbe $\mathcal{C}_g$ est au-dessus  de la droite $D$. Ces deux courbes ont deux points d’intersection d’abscisse $-1$ et $1$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice et si cela est nécessaire, les résultats seront arrondis à $0,1$.

Le graphique ci-dessous illustre l’évolution du nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France entre 2015 et 2018.

  1. On cherche à modéliser l’évolution du nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France à compter de l’année 2015 à l’aide d’une suite. On hésite entre deux modèles :
    •  Premier modèle : on fait l’hypothèse que ce nombre augmente de $21 \%$ par an. On définit alors une suite $\left(u_n\right)$ où, selon ce modèle, $u_n$ est le nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France l’année 2015 $+ n$ avec $n\in \N$. Ainsi, on a $𝑢_0 = 17,3$.
    • Second modèle : on définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_0= 17,3$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}= 0,7v_n + 10$. D’après ce modèle et pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France l’année 2015 $+ n$.
      a. Donner les valeurs des réels $u_1$, $u_2$, $u_3$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
      $\quad$
      b. Des deux modèles, lequel apparaît le mieux adapté pour modéliser à l’aide d’une suite l’évolution du nombre de voitures électriques immatriculées en France à compter de l’année 2015 donnée dans le graphique ? Argumenter.
      $\quad$
  2. Dans ce qui suit, on choisit de modéliser le nombre de voitures immatriculées en France à compter de l’année 2015 à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie dans la question 1.
    a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. On considère l’algorithme en langage Python ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u=17.3}\\
    \text{n=0}\\
    \text{while u<50:}\\
    \hspace{1cm}\text{u=1.21*u}\\
    \hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle est la valeur de la variable $\text{n}$ à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{21}{100}\right)\times u_0\\
    &=1,21\times 17,3\\
    &= 20,933\end{align*}$
    $\begin{align*} u_2&=1,21u_1\\
    &\approx 25,3\end{align*}$
    $\begin{align*} u_3&=1,21u_2\\
    &\approx 30,6\end{align*}$
    $\begin{align*} v_1&=0,7v_0+10\\
    &=22,11\end{align*}$
    $\begin{align*} v_2&=0,7v_1+10\\
    &=25,477\end{align*}$
    $\begin{align*} v_3&=0,7v_2+10\\
    &\approx 27,8\end{align*}$
    $\quad$
    b. $u_3$ est plus proche de $31,1$ que $v_3$ et $u_2$ est plus proche de $24,9$ que $v_2$.
    Le premier modèle apparaît mieux adapté que le second.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,21u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,21$ et de premier terme $u_0=17,3$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=17,3\times 1,21^n$.
    $\quad$
    c. Voici les premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ arrondie à $0,1$
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& u_n \\ \hline
    0 &17,3\\ \hline
    1 &20,9\\ \hline
    2 &25,3\\ \hline
    3 &30,6\\ \hline
    4 &37,1\\ \hline
    5 &44,9\\ \hline
    6 &54,3\\ \hline
    \end{array}$
    La variable $\text{n}$ contiendra donc la valeur $6$.
    Il s’agit du nombre d’années nécessaires pour que le nombre de véhicules électriques immatriculés en France soit supérieur ou égal à $50~000$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un jeu est organisé à partir d’un sac contenant $6$ jetons rouges et $4$ jetons noirs. Les jetons sont indiscernables au toucher.
Un joueur prend deux jetons au hasard dans le sac selon le déroulé suivant :

  • le joueur prend un premier jeton au hasard dans le sac et il met le jeton de côté ;
  • le joueur prend un second jeton au hasard dans le sac et il met le jeton de côté.

On note :

  • $R_1$ l’événement « le premier jeton tiré est de couleur rouge » ;
  • $R_2$ l’événement « le second jeton tiré est de couleur rouge ».
  1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre ci-dessous :

    $\quad$
  2. On considère l’événement $A$ « le joueur obtient deux jetons de couleur rouge ».
    a. Déterminer la probabilité $p(A)$.
    $\quad$
    b. Décrire l’événement contraire de l’événement $A$ par une phrase de la forme : « le joueur obtient … » .
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le second jeton tiré soit de couleur rouge est égale à $0,6$.
    $\quad$
  4. Le second jeton tiré est de couleur noire. Que peut-on alors penser de l’affirmation suivante:
    « il y a plus de $50 \%$ de chance que le premier jeton tiré ait été de couleur rouge » ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} p(A)&=p\left(R_1\cap R_2\right) \\
    &=p\left(R_1\right)\times p_{R_1}\left(R_2\right) \\
    &=0,6\times \dfrac{5}{9}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’événement contraire de l’événement $A$ est « le joueur obtient au plus un jeton de couleur rouge ».
    $\quad$
  3. $R_1$ et $\conj{R_1}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(R_2\right)&=p\left(R_1\cap R_2\right)+p\left(\conj{R_1}\cap R_2\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}+0,4\times \dfrac{2}{3}\\
    &=0,6\end{align*}$
    La probabilité que le second jeton tiré soit de couleur rouge est égale à $0,6$.
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*}p_{\conj{R_2}}\left(R_1\right)&=\dfrac{p\left(R_1\cap \conj{R_2}\right)}{p\left(R_2\right)}\\
    &=\dfrac{0,6\times \dfrac{4}{9}}{1-0,6} \\
    &=\dfrac{2}{3}\\
    &>0,5\end{align*}$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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