E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM comportant 5 questions.

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

$\quad$

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

Question 1

La droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$ passant par $A(-1;2)$ a pour équation :

a. $-3x+y-5=0$
b. $x+3y-5=0$
c. $x-3y-5=0$
d. $3x+y+1=0$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation de la droite $D$ est de la forme $x+3y+c=0$
Le point $A(-1;2)$ appartient à la droite.
Donc :
$-1+3\times 2+c=0 \ssi c=-5$.
Une équation cartésienne de $D$ est $x+3y-5=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la droite $d$ d’équation $5x-8y+9=0$. Alors :

a. $A(6; 7)$ appartient à $D$.
b. $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\8\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $d$
c. $d$ coupe l’axe des ordonnées au point $B(0; 1)$
d. $d$ est parallèle à la droite $d’$ d’équation $2,5x-4y+ 2 = 0$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur normal à $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\-8\end{pmatrix}$.
Par conséquent, le vecteur $\vec{u}=\dfrac{1}{2}\vec{n}$ est également normal à la droite $d$.
Les coordonnées de $\vec{u}$ sont $\begin{pmatrix}2,5\\-4\end{pmatrix}$
Toutes les droites parallèles à $d$ ont une équation de la forme $2,5x-4y+c=0$.
La droite $d$ est donc parallèle à la droite $d’$ d’équation $2,5x-4y+ 2 = 0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère la fonction $f$ dont la représentation graphique $C_f$ est donnée ci-dessous.

La droite 𝐷 est la tangente à $C_f$ au point $A(1; 1)$. Le point $B(0; -1)$ appartient à la droite $D$. Le nombre dérivé $f'(1)$ est égal à :

a. $1$
b. $\dfrac{1}{2}$
c. $2$
d. $-2$

$\quad$

Correction Question 3

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} f'(1)&=\dfrac{-1-1}{0-1}\\
&=2
\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère une fonction $f$ polynôme du second degré dont le tableau de signes est donné ci-après :

Une expression de $f(x)$ peut être :

a. $2x^2+5x-2$
b. $-x^2+1$
c. $-x^2+x+2$
d. $x^2+x-2$

$\quad$

Correction Question 4

D’après le tableau de signe, le coefficient principal de ce polynôme est négatif$. On exclut donc les réponses a. et d.
De plus $f(2)=0$ : on exclut la réponse b.
Donc $f(x)=-x^2+x+2$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$.
Alors la fonction dérivée de $f$, notée $f’$, est définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(x+1)\e^x$
c. $f'(x)=\e$
d. $f'(x)=x^2\e^x$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+\e^x \times x\\
&=(1+x)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que pourraient emporter certains voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. On note :

  • $S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique ».
  • $M$ l’événement « le voyageur porte un objet métallique ».
    On considère qu’un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.

On remarque que :

  • Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$.
  • Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous illustrant cette situation :

    $\quad$
  2. Montrer que : $P(S) = 0,021~92$.
    $\quad$
  3. On suppose qu’à chaque fois qu’un voyageur franchit le portique, la probabilité que ce portique sonne est égale à $0,021~92$, et ce de façon indépendante des éventuels déclenchements de sonnerie lors des passages des autres voyageurs.
    Deux personnes passent successivement le portique de sécurité. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de fois où le portique sonne.
    a. Justifier qu’on peut modéliser la loi de $X$ par une loi binomiale $B(n;p)$ dont on précisera les paramètres $n$ et $p$.
    $\quad$
    b. Reprendre et compléter le tableau donnant la loi de $X$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    k&~~0~~&~~1~~&~~2~~\\
    \hline
    P(X=k)&&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. Calculer et interpréter l’espérance de $X$ dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a /
    $\begin{align*} P(S)&=P(M\cap S)+P\left(\conj{M}\cap S\right) \\
    &=\dfrac{1}{500}\times 0,98+\dfrac{499}{500}\times 0,02\\
    &=0,021~92\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On effectue $2$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage, il n’y a que de issues $S$ et $\conj{S}$.
    De plus $P(S)=0,021~92$.
    Ainsi la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p=0,021~92$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant (valeurs arrondies à $10^{-5}$ près) :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    k&~~0~~&~~1~~&~~2~~\\
    \hline
    P(X=k)&0,95664&0,04288&0,00048\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2)\\
    &=0,04384\end{align*}$
    En moyenne le portique sonne $4~384$ fois lorsque $100~000$ “couples” passent successivement ce portique.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2019, les déchets d’une entreprise sont évalués à $6~000$ tonnes.
Cette entreprise s’engage à réduire ses déchets de $5 \%$ chaque année.

  1. Avec cette politique, quelle quantité de déchets peut envisager l’entreprise pour l’année 2020 ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ la quantité de déchets produits en tonne par cette entreprise l’année 2019 $n$. Avec cette notation, on a alors $d_0 = 6~000$.
    a. Exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    b. Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ?
    $\quad$
    c. Déterminer la quantité totale de déchets produits par l’entreprise entre 2019 et 2023.
    On arrondira le résultat à la tonne près.
    $\quad$
  3. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien d’années d’application de cette politique de réduction des déchets la quantité annuelle produite aura diminué de $40 \%$ par rapport à la quantité produite en 2019.
    Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous sur la copie afin qu’il permette de répondre à la question posée :$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    D\leftarrow 6000\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }D\ldots\ldots\ldots\ldots \hspace{1cm}\\
    \hspace{0.5cm} D\leftarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{0.5cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $6~000\left(1-\dfrac{5}{100}\right)=5~700$.
    Avec cette politique, l’entreprise peut envisager $5~700$ tonnes de déchets pour l’année 2020.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)d_n\\
    &=0,95d_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $d_0=6~000$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} S&=d_0+d_1+d_2+d_3+d_4\\
    &=6~000\times \dfrac{1-0,95^5}{1-0,95} \\
    &\approx 27~146\end{align*}$
    L’entreprise produira environ $27~146$ tonnes de déchets entre 2019 et 2023.
    $\quad$
  3. $6~000\times \left(1-\dfrac{40}{100}\right)=3~600$
    On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    D\leftarrow 6000\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }D>3600\hspace{1cm}\\
    \hspace{0.5cm} D\leftarrow 0,95\times D\\
    \hspace{0.5cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On procède, chez un sportif, à l’injection intramusculaire d’un produit. Celui-ci se diffuse progressivement dans le sang. On admet que la concentration de ce produit dans le sang (exprimée en mg/L = milligramme par litre) peut être modélisée par la fonction 𝑓, définie sur
l’intervalle $[0; 10]$ par :
$\hspace{2cm}f(x)= \dfrac{6x}{\e^x}$ où $x$ est le temps exprimé en heure.

Sa courbe représentative $C$ est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan.

  1. Montrer que pour tout $x\in[0;10]$, la fonction dérivée de $f$, note $f’$, a pour expression : $$f'(x)=\dfrac{6-6x}{\e^x}$$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ sur $[0; 10]$ puis en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0; 10]$.
    $\quad$
  3. Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? (on donnera la valeur exacte et une valeur approchée à $10^{-1}$ près). Au bout de combien de temps est-elle atteinte ?
    $\quad$
  4. Ce produit fait l’objet d’une réglementation par la fédération sportive : un sportif est en infraction si, au moment du contrôle, la concentration dans son sang du produit est supérieure à $2$ mg/L.
    Le sportif peut-il être contrôlé à tout moment après son injection ? Expliquer votre raisonnement en vous basant sur l’étude de la fonction et/ou une lecture graphique sur la courbe $C$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;10]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{6\times \e^x-\e^x\times 6x}{\left(\e^x\right)^2} \\
    &=\dfrac{(6-6x)\e^x}{\e^{2x}}\\
    &=\dfrac{6-6x}{\e^x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $6-6x$.
    Or $6-6x=0 \ssi x=1$ et $6-6x>0 \ssi -6x>-6 \ssi x<1$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. La concentration maximale du médicament dans le sang est $\dfrac{6}{\e} \approx 2,2$ mg/L. Elle est atteinte au bout d’une heure.
    $\quad$
  4. On a $f(1)>2$. Le sportif peut donc être en infraction.
    Graphiquement, on constate que $f(x)>2$ sur l’intervalle $[0,6;1,5]$ (valeurs approchées).
    Le sportif ne peut donc pas être contrôle à tout moment.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence