E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’arbre pondéré ci-dessous représente une situation où $A$, $B$, $C$ et $D$ sont des évènements d’une expérience aléatoire :

La probabilité de l’événement $D$ est égale à :

a. $0,06$
b. $0,8$
c. $0,5$
d. $0,172$

$\quad$

Correction Question

On a
$\begin{align*} P(C)&=1-(0,12+0,24)\\
&=0,64\end{align*}$
$P_A(D)=0,5$
$\begin{align*} P_B(D)&=1-0,8\\
&=0,2\end{align*}$
$\begin{align*} P_C(D)&=1-0,9\\
&=0,1\end{align*}$
$A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D)+P(C \cap D)\\
&=0,12\times 0,5+0,24\times 0,2+0,64\times 0,1\\
&=0,172\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

L’ensemble des solutions réelles de l’inéquation $-2x^2+5x+3<0$ est :

a. $\left]-3;\dfrac{1}{2}\right[$
b. $]-\infty;-3[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup ]3;+\infty[$
d. $\left]-\dfrac{1}{2};3\right[$

$\quad$

Correction Question 2

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=(-5)^2-4\times (-2)\times 3 \\
&=49\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{5-\sqrt{49}}{-4}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{5+\sqrt{49}}{-4}\\
&=-3\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-2<0$.
Par conséquent l’ensemble solution de l’inéquation $-2x^2+5x+3<0$ est $]-\infty;-3[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On considère la droite $\mathcal{D}$ d’équation $2x-8y+1=0$
Les coordonnées d’un vecteur normal à $\mathcal{D}$ sont :

a. $\begin{pmatrix} 1\\-4\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 8\\-2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} -8\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} -4\\1\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur normal à la droite $\mathcal{D}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-8\end{pmatrix}$.
Par conséquent le vecteur $\dfrac{1}{2}\vec{n}\begin{pmatrix} 1\\-4\end{pmatrix}$ est également un vecteur normal à la droite $\mathcal{D}$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, l’équation du cercle de centre $A(-2 ; -4)$ et de rayon $2$ est :

a. $x^2-4x+y^2-8y+16=0$
b. $x^2+4x+y^2+8y+16=0$
c. $x^2-4x+y^2-8y+18=0$
d. $x^2+4x+y^2+8y+18=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cercle est
$\begin{align*} &\left(x-(-2)\right)^2+\left(y-(-4)\right)^2=2^2\\
\ssi~& (x+2)^2+(y+4)^2-4=0 \\
\ssi~& x^2+4x+4+y^2+8y+16-4=0\\
\ssi~& x^2+4x+y^2+8y+16=0\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
$u_0=1$ et pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{n+1}=u_n+2n-3$.

a. $u_1=0$
b. $\left(u_n\right)$ est arithmétique
c. $u_3=-2$
d. $\left(u_n\right)$ est décroissante

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} u_1&=u_0+2\times 0-3 \\
&=1-3\\
&=-2\end{align*}$

$\begin{align*} u_2&=u_1+2\times 1-3 \\
&=-2+2-3\\
&=-3\end{align*}$

$\begin{align*} u_3&=u_2+2\times 2-3 \\
&=-3+4-3\\
&=-2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans tout l’exercice, on notera $P(E)$ la probabilité d’un évènement $E$.

La répartition des $150$ adhérents d’un club de sport est donnée dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Âge}&15\text{ ans}&16\text{ ans}&17\text{ ans}&18\text{ ans}\\
\hline
\text{Nombre de filles}&17&39&22&10\\
\hline
\text{Nombre de garçons}&13&36&8&5\\
\hline
\text{Total}&30&75&30&15\\
\hline
\end{array}$$

On choisit un adhérent au hasard.

  1. Quelle est la probabilité que l’adhérent choisi ait $17$ ans ?
    $\quad$
  2. L’adhérent choisi a $18$ ans. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
    $\quad$

On note 𝑋 la variable aléatoire donnant l’âge de l’adhérent choisi.

  1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
  2. Calculer $P(X\pg 16)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La probabilité que l’adhérent choisi ait $17$ ans est :
    $\begin{align*} p&=\dfrac{30}{150} \\
    &=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. L’adhérent choisi a $18$ ans. La probabilité que ce soit une fille est
    $\begin{align*} p’&=\dfrac{10}{15}\\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La loi de probabilité de $X$ est :
    $\begin{align*} P(X=15)&=\dfrac{30}{150} \\
    &=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=16)&=\dfrac{75}{150} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=17)&=\dfrac{30}{150} \\
    &=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=18)&=\dfrac{15}{150} \\
    &=\dfrac{1}{10}\end{align*}$
  4. On a :
    $\begin{align*} P(X\pg 16)&=1-P(X=15) \\
    &=1-\dfrac{1}{5}\\
    &=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
    $\dfrac{4}{5}$ des adhérents ont au moins $16$ ans.
    $\quad$
  5. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{15\times P(X=15)+16\times P(X=16)+17\times P(X=17)+18\times P(X=18)} \\
    &=16,2\end{align*}$
    L’âge moyen des adhérents est de $16,2$ ans.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

La concentration d’un médicament dans le sang en mg.L$^{-1}$ au cours du temps $t$, exprimé en heure, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par : $f(t)=t^{-0,5t}$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

  1. Calculer la valeur exacte de $f(4)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    Montrer que pour tout $t\in[0;+\infty[$, $f'(t) = (1-0,5t)\e^{-0,5t}$
    $\quad$
  3. Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  4. Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  5. Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f(4)&=4\e^{-0,5\times 4} \\
    &=4\e^{-2}\end{align*}$
    La concentration du médicament dans le sang au bout de $4$ heures est égale à $4\e^{-2}$ mg.L$^{-1}$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=1\times \e^{-0,5t}+t\times (-0,5)\e^{-0,5t} \\
    &=(1-0,5t)\e^{-0,5t}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-0,5t$.
    Or $1-0,5t=0 \ssi -0,5t=-1 \ssi t=2$
    $1-0,5t>0 \ssi -0,5t>-1 \ssi t<2$
    Ainsi :
    – $f'(t)>0$ sur $[0;2[$
    – $f(2)=0$
    – $f'(t)<0$ sur $]2;+\infty[$
    $\quad$
  4. On obtient par conséquent le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  5. La concentration maximale est atteinte au bout de $2$ heures et vaut $2\e^{-1} \approx 0,74$ mg.L$^{-1}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un téléphone coûte $600$ euros lors de son lancement. Tous les ans, le fabricant sort une nouvelle version de ce téléphone. Le prix de ce téléphone augmente de $3 \%$ chaque année.

On note $u_n$ le prix du téléphone en euros 𝑛 années après son lancement. On a donc
$u_0 = 600$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$. Interpréter les résultats.
    $\quad$
  2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$ et en déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$. Préciser sa raison et son premier terme.
    $\quad$
  3. Exprimer, pour tout entier $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Recopier et compléter sur la copie la fonction Python ci-dessous pour qu’elle détermine le nombre minimum d’années nécessaires afin que le prix du téléphone dépasse $1~000$ euros.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nombreAnnees():}\\
    \hspace{1cm}\text{n = 0}\\
    \hspace{1cm}\text{u = 600}\\
    \hspace{1cm}\text{while $\ldots$ :}\\
    \hspace{2cm}\text{n = $\ldots$}\\
    \hspace{2cm}\text{u = $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Quelle est la valeur de 𝑛 renvoyée par cette fonction Python ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*}u_1&=u_0\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)\\
    &=600\times 1,03 \\
    &=618\end{align*}$
    $\begin{align*}u_2&=u_1\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)\\
    &=618\times 1,03 \\
    &=636,54\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}&=u_n\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)\\
    &=1,03u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_0=600$.
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=600\times 1,03^n$.
    $\quad$
  4. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nombreAnnees():}\\
    \hspace{1cm}\text{n = 0}\\
    \hspace{1cm}\text{u = 600}\\
    \hspace{1cm}\text{while u <=1000 :}\\
    \hspace{2cm}\text{n = n+1}\\
    \hspace{2cm}\text{u = 1.03*u}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. La raison de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ est $1,03>1$. Cette suite est donc strictement croissante.
    On a $u_{17}\approx 992$ et $u_{18}\approx 1~021$.
    La fonction Python renvoie donc la valeur $18$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence