E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

On considère une fonction $f$ définie sur $R$ par : $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. $\Delta$ désigne la quantité $b^2-4ac$.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est cohérente avec la représentation graphique, ci-dessous, de cette fonction ?

a. $a>0$ et $\Delta>0$
b. $a<0$ et $\Delta<0$
c. $a>0$ et $\Delta<0$
d. $a<0$ et $\Delta>0$

$\quad$

Correction Question 1

La fonction $f$ admet un minimum donc $a>0$.
La courbe $\mathcal{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points donc $\Delta >0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Lors d’un jeu, on mise $1$ euro et on tire une carte au hasard parmi $30$ cartes numérotées de $1$ à $30$. On gagne $3$ euros si le nombre porté sur la carte est premier, sinon, on ne gagne rien. On détermine le gain algébrique en déduisant le montant de la mise de celui du gain.
On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique. Que vaut l’espérance $E(X)$de la variable aléatoire $X$ ?

a. $\dfrac{1}{3}$
b. $\dfrac{1}{10}$
c. $0$
d. $\dfrac{2}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Les nombres premiers compris entre $1$ et $30$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ $23$, $29$.
Ainsi :
$\begin{align*}P(X=2)&=\dfrac{10}{30} \\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=-1)&=1-\dfrac{1}{3}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} E(X)&=-1\times P(X=-1)+2P(X=2)\\
&=-\dfrac{2}{3}+2\times \dfrac{1}{3}\\
&=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Quelle est la valeur exacte de $\dfrac{\e^6\times \e^3}{\e^2}$?

a. $\e^{11}$
b. $\e^{9}$
c. $\e^{7}$
d. $\e^{-7}$

$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} \dfrac{\e^6\times \e^3}{\e^2}&=\dfrac{\e^{6+3}}{\e^2}\\
&=\dfrac{\e^9}{\e^2}\\
&=\e^{9-2}\\
&=\e^7\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $-5$ et telle que $u_1=2$. Quelle est, pour tout entier naturel $n$, l’expression du terme général $u_n$ de cette suite ?

a. $u_n=2-5n$
b. $u_n=-5+2n$
c. $u_n=7-5n$
d. $u_n=2\times (-5)^n$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} u_0&=u_1-(-5) \\
&=2+5\\
&=7\end{align*}$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=7-5n$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Les équations cartésiennes ci-dessous sont celles de droites données du plan. Le vecteur $\vec{u}\begin{align*} -1\\2\end{align*}$) est un vecteur normal à l’une de ces droites. Quelle est l’équation de cette droite ?

a. $2x+y+5=0$
b. $x+2y+3=0$
c. $-x+0,5y+2=0$
d. $-4x+8y=0$

$\quad$

Correction Question 5

Une équation cartésienne dont $\vec{u}$ est un vecteur normal est de la forme $-x+2y+c=0$.
Donc $-4x+8y+d=0$ est également un équation cartésienne pour ce type de droite.

En prenant $d=0$ on obtient l’équation $-4x+8y=0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit 𝑓 la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=(5-2x)\e^x$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$. Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal où les unités ont été effacées.
$A$ est le point d’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées et $B$ le point d’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses.
$D$ est le point de $\mathcal{C}$ dont l’ordonnée est le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.

  1. Calculer les coordonnées des points $A$ et $B$.
    $\quad$
  2. Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. Montrer que, pour tout réel $x$, $$f'(x)=(3-2x)\e^x$$
    $\quad$
  3. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. En déduire que le point $D$ admet comme coordonnées $\left(1,5;2\e^{1,5}\right)$.
    $\quad$
  5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$, puis vérifier, à l’aide de l’équation obtenue, que le point $D$ n’appartient pas à cette tangente.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*}f(0)&=5\e^0 \\
    &=5\end{align*}$
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(0;5)$.
    $\quad$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi (5-2x)\e^x =0\\
    &\ssi 5-2x=0\\
    &\ssi -2x=-5\\
    &\ssi x=2,5\end{align*}$
    Le point $B$ a donc pour coordonnées $(2,5;0)$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2\times \e^x+(5-2x)\times \e^x\\
    &=(-2+5-2x)\e^x\\
    &=(3-2x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $3-2x$.
    $3-2x=0\ssi -2x=-3 \ssi x=1,5$
    $3-2x>0\ssi -2x>-3 \ssi x<1,5$
    La fonction $f$ est donc :
    – croissante sur l’intervalle $]-\infty;1;5]$
    – décroissante sur l’intervalle $[1,5;+\infty[$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ admet donc un maximum pour $x=1,5$.
    Or $f(1,5)=2\e^{1,5}$.
    Ainsi le point $D$ admet pour coordonnées $\left(1,5;2\e^{1,5}\right)$.
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f'(0)=3$ et $f(0)=5$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=3x+5$
    $\quad$
    $3\times 1,5+5=9,5\neq 2\e^{1,5}$ : le point $D$ n’appartient donc pas à cette droite.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On injecte dans le sang d’un malade $2$ cm3 d’un médicament. On admet que le processus d’élimination du médicament peut être modélisé par une suite $\left(U_n\right)$, dont le terme général $U_n$ représente le volume en cm$^3$ de médicament présent dans le sang au bout de $n$ heures, $n$ étant un entier naturel. Dans ce modèle, on considère que le volume de médicament contenu dans le sang diminue de $8 \%$ chaque heure.

  1. Vérifier que $U_1 = 1,84$ et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$.
    $\quad$
    b. En déduire la nature de la suite $\left(U_n\right)$. Préciser sa raison et son premier terme.
    $\quad$
  3. Pour que le médicament soit actif, le volume de médicament présent dans le sang du malade doit rester supérieur à un certain seuil $S$ ; ce seuil dépend du malade.
    a. À l’aide d’une fonction écrite en langage Python, on se propose de déterminer, en fonction de $S$, le nombre maximal d’heures durant lesquelles le médicament reste actif.
    Compléter le programme écrit en Python sur l’annexe qui est à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. On s’intéresse au cas d’un malade pour qui ce seuil est estimé à $S = 1,5$ cm$^3$. Que doit-on saisir pour exécuter la fonction $\text{volMedicament}$ afin qu’elle renvoie le nombre maximal d’heures durant lesquelles le médicament reste actif chez ce malade ? Quel est alors ce nombre d’heures ?
    $\quad$

Annexe 

$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def volMedicament(S) :}\\
\hspace{1cm} \text{u=2} \\
\hspace{1cm} \text{n=0}\\
\hspace{1cm} \text{while u> $\ldots$ :}\\
\hspace{2cm} \text{u=u*$\ldots$}\\
\hspace{2cm} \text{n=n+1}\\
\hspace{1cm} \text{return n }\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} U_1&=\left(1-\dfrac{8}{100}\right)U_0\\
    &=0,92\times 2\\
    &=1,84\end{align*}$
    Au bout d’une heure le volume de médicament dans le sang est de $1,84$ cm$^3$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} U_{n+1}&=\left(1-\dfrac{8}{100}\right)U_n\\
    &=0,92U_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(U_n\right)$ est donc  géométrique de raison $0,92$ et de premier terme $U_0=2$.
    $\quad$
  3. a. On obtient le code suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def volMedicament(S) :}\\
    \hspace{1cm} \text{u=2} \\
    \hspace{1cm} \text{n=0}\\
    \hspace{1cm} \text{while u> S :}\\
    \hspace{2cm} \text{u=u*0.92}\\
    \hspace{2cm} \text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return n }\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On doit saisir $\text{volMedicament(1.5)}$ afin qu’elle renvoie le nombre maximal d’heures durant lesquelles le médicament reste actif chez ce malade.
    $\quad$
    La raison de la suite géométrique est $0,92$. Or $0<0,92<1$.
    Cette suite géométrique est donc décroissante.
    On a $U_3\approx 1,56$ et $U_4\approx 1,43$.
    Le programme renvoie donc la valeur $4$.
    Le nombre maximal d’heures durant lesquelles le médicament reste actif chez ce malade est donc de $4$ heures.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une culture de pois comporte des pois de couleur « jaune » ou « vert » et de forme « lisse » ou « ridé ».
Le tableau ci-dessous est partiellement renseigné à partir des observations effectuées sur un grand nombre de pois de cette culture.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Nombre de pois jaunes}&\textbf{Nombre de pois verts}&\textbf{Total}\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{ridés}\end{array}&100&?&600\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{lisses}\end{array}&?&?&?\\
\hline
\textbf{Total}&300&?&10~000\\
\hline
\end{array}$$

  1. Compléter le tableau donné en annexe qui est à rendre avec la copie.
    On choisit au hasard un pois de la culture et on s’intéresse aux évènements suivants :
    $\qquad$ $J$ : « le pois est jaune » ;
    $\qquad$ $R$ : « le pois est ridé ».
    L’échantillon étudié est suffisamment important pour être considéré comme représentatif de l’ensemble de la culture de pois.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que le pois soit vert et lisse ?
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le pois soit vert.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité qu’un pois soit jaune sachant qu’il est ridé, et en déduire la probabilité qu’un pois soit vert sachant qu’il est ridé.
    $\quad$
  5. Calculer $P_J(R)$ et en donner une interprétation dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$

Annexe 

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Nombre de pois jaunes}&\textbf{Nombre de pois verts}&\textbf{Total}\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{ridés}\end{array}&100&&600\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{lisses}\end{array}&&&\\
\hline
\textbf{Total}&300&&10~000\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    &\textbf{Nombre de pois jaunes}&\textbf{Nombre de pois verts}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{ridés}\end{array}&100&500&600\\
    \hline
    \begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{lisses}\end{array}&200&9~200&9~400\\
    \hline
    \textbf{Total}&300&9~700&10~000\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(\conj{J}\cap \conj{R}\right)&=\dfrac{9~200}{10~000} \\
    &=0,92\end{align*}$
    La probabilité que le pois soit vert et lisse est égale à $0,92$
    $\quad$
  3. La probabilité que le pois soit vert est :
    $\begin{align*} P\left(\conj{J}\right)&=\dfrac{9~700}{10~000}\\
    &=0,97\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(J)&=\dfrac{100}{600}\\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    La probabilité qu’un pois soit jaune sachant qu’il est ridé est égale à $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
    On a :
    $\begin{align*} P_R(V)&=1-P_R(J)\\
    &=\dfrac{5}{6}\end{align*}$
    La probabilité qu’un pois soit vert sachant qu’il est ridé est égale à $\dfrac{5}{6}$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P_J(R)&=\dfrac{100}{300}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    La probabilité qu’un pois soit ridé sachant qu’il est jaune est égale à $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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