E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

Question 1

Soit la fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=\left(x^2+x+1\right)(x-1)$.
L’équation $P(x)=0$ :

a. n’a pas de solution sur $\R$
b. a une unique solution sur $\R$
c. a exactement deux solutions sur $\R$
d. a exactement trois solutions sur $\R$

$\quad$

Correction Question 1

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $P(x)=0 \ssi x^2+x+1=0$ ou $x-1=0$

$x-1=0 \ssi x=1$
Le discriminant de $x^2+x+1$ est :
$\begin{align*}
\Delta&=1^2-4\times 1\times 1\\
&=-3\\
&<0\end{align*}$
Ce polynôme ne possède donc pas de racine.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(7x-23)\left(\e^x+1\right)$.
L’équation $f(x)=0$ :

a. admet $x=1$ comme solution
b. admet deux solutions sur $\R$
c. admet $x=\dfrac{23}{7}$ comme solution
d. admet $x=0$ comme solution

$\quad$

Correction Question 2

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.

Donc $f(x)=0 \ssi 7x-23=0$ ou $\e^x+1=0$
$7x-23=0 \ssi 7x=23\ssi x=\dfrac{23}{7}$
La fonction exponentielle est strictement positive donc $\e^x+1>1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, le cercle de centre $A(-4;2)$ et de rayon $r=\sqrt{2}$ a pour équation :

a. $(x+4)^2+(y-2)^2=\sqrt{2}$
b. $(x-4)^2+(y-2)^2=4$
c. $(x+4)^2+(y-2)^2=2$
d. $(x-4)^2+(y+2)^2=2$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de ce cercle est $\left(x-(-4)\right)^2+(y-2)^2=\sqrt{2}^2$ soit $(x+4)^2+(y-2)^2=2$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}(m+1;-1)$ et $\vec{v}(m ; 2)$ où $m$ est un réel.
Une valeur de $m$ pour laquelle les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux est :

a. $m=-\dfrac{2}{3}$
b. $m=-2$
c. $m=2$
d. $m=-1$

$\quad$

Correction Question 4

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
$\ssi \vec{u}.\vec{v}=0$
$\ssi (m+1)m-2=0$
$\ssi m^2+m-2=0$

Le discriminant du polynôme du second degré $x^2+x-2$ est :
$\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times (-2)\\
&=9\\
&>0\end{align*}$

Les racines de ce polynômes sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2}\\
&=-2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2}\\
&=1\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, une équation cartésienne de la droite $D$ passant par le point $A(-2 ; 5)$ et admettant pour vecteur normal $\vec{v}(-1 ; 3)$ est :

a. $-x+3y+7=0$
b. $x-3y+17=0$
c. $-3x-y-1=0$
d. $-x-3y+13=0$

$\quad$

Correction Question 5

Une équation cartésienne de la droite $D$ est de la forme $-x+3y+c=0$.
Le point $A(-2;5)$ appartient à $D$ donc $2+15+c=0 \ssi c=-17$
Une équation cartésienne de $D$ est donc $-x+3y-17=0$.
En multipliant les deux membres de cette équation par $-1$ on obtient $x-3y+17=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise vend des téléviseurs. Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L’étude indique que :

  • $3\%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et que parmi ceux-ci, $2\%$ ont également un défaut sur le condensateur.
  • $5\%$ des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.

On choisit un téléviseur au hasard et on considère les événements suivants :

  • $D$ : « le téléviseur a un défaut sur la dalle » ;
  • $C$ : « le téléviseur a un défaut sur le condensateur ».

Pour tout événement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité et $E$ l’événement contraire de $E$.
Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

Les résultats seront approchés si nécessaire à $\boldsymbol{10^{-4}}$ près.

  1. Justifier que $p(D)=0,03$ puis donner $p_D(C)$.
    $\quad$
  2. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les
    probabilités associées :
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité $p(D\cap C)$ de l’événement $D\cap C$.
    $\quad$
  4. Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle ?
    $\quad$
  5. Montrer que la probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur et n’ait pas de défaut sur la dalle est égale à $0,049~4$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $3\%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle. Donc $P(D)=0,03$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} p(D\cap C)&=p(D)\times p_D(C)\\
    &=0,03\times 0,02\\
    &=0,000~6\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_C(D)&=\dfrac{p(C\cap D)}{p(C)}\\
    &=\dfrac{0,000~6}{0,05}\\
    &=0,012\end{align*}$
    La probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle sachant qu’il a un défaut sur le condensateur est égale à $0,012$.
    $\quad$
  5. On a donc :
    $\begin{align*} p_C\left(\conj{D}\right)&=1-p_C(D)\\
    &=0,988\end{align*}$
    $\begin{align*} p\left(C\cap \conj{D}\right)&=p(C)\times p_C\left(\conj{D}\right)\\
    &=0,05\times 0,988\\
    &=0,049~4\end{align*}$
    La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur et n’ait pas de défaut sur la dalle est égale à $0,049~4$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans le repère ci-dessous, on note $C_f$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
On a placé dans ce repère les points $A(0 ; 2)$, $B(2 ; 0)$ et $C(-2 ; 0)$.
On dispose des renseignements suivants :

  • Le point $B$ appartient à la courbe $C_f$.
  • La droite $(AC)$ est tangente en $A$ à la courbe $C_f$.
  • La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

  1. Déterminer la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  2. Donner une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$.
    $\quad$

On admet que cette fonction $𝑓$ est définie sur $[-10 ; 2]$ par $f(x) =(2-x)\e^x$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10 ; 2]$,
    $$f'(x)=(-x+1)\e^x$$
    $\quad$
  2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses donc $f'(1)=0$
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AC)$.
    Donc
    $\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{0-2}{-2-0}\\
    &=1\end{align*}$
    $f(0)=2$
    Ainsi une équation de cette tangente est $y=x+2$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-10;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[-10;2]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(2-x)\times \e^x\\
    &=(-1+2-x)\e^x\\
    &=(1-x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    $1-x=0 \ssi x=1$
    $1-x>0 \ssi -x>-1 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
    Or $f'(2)=-\e^2$ et $f(2)=0$
    Une équation de cette tangente est $y=-\e^2(x-2)$ soit $y=-\e^2x+2\e^2$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes début janvier 2013 et a enregistré $2~500$ inscriptions pour l’année 2013.
Elle estime que, chaque année, $80\%$ des anciens inscrits renouvellent leur inscription l’année suivante et qu’il y aura également $400$ nouveaux adhérents.

Pour tout entier naturel $n$, on peut donc modéliser le nombre d’inscrits à la médiathèque $n$ années après 2013 par une suite numérique $\left(a_n\right)$ définie par :
$a_0=2~500$ et $a_{n+1}=0,8a_n+400$.

  1. Calculer $a_1$ et $a_2$.
    $\quad$
  2. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=a_n-2~000$.
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$. Préciser son premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n=500\times 0,8^n+2~000$.
    $\quad$
    d. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n\pp 2010$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} a_1&=0,8a_0+400\\
    &=0,8\times 2~500+400\\
    &=2~400\end{align*}$
    $\begin{align*} a_2&=0,8a_1+400\\
    &=0,8\times 2~400+400\\
    &=2~320\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$, on a : $v_n=a_n-2~000 \ssi a_n=v_n+2~000$
    $\begin{align*} v_{n+1}=a_{n+1}-2~000 \\
    &=0,8a_n+400-2~000\\
    &=0,8a_n-1~600\\
    &=0,8\left(v_n+2~000\right)-1~600\\
    &=0,8v_n+1~600-1~600\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=a_0-2~000=500$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=500\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, on a :
    $\begin{align*} a_n&=v_n+2~000 \\
    &=500\times 0,8^n+2~000\end{align*}$
    $\quad$
    d. Montrons que la suite $\left(a_n\right)$ est décroissante.
    Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}-a_n&=500\times 0,8^{n+1}+2~000-\left(500\times 0,8^n+2~000\right)\\
    &=500\times 0,8^{n+1}-500\times 0,8^n\\
    &=500\times 0,8^n\times (0,8-1)\\
    &=50\times 0,8^n\times (-0,2)\\
    &<0\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante.
    On a $a_{17}\approx 2~011,3$ et $a_{18}\approx 2~009,0$.
    Le plus petit entier naturel $n$ tel q ue $a_n\pp 2~010$ est donc $18$.
    Il faut attendre $18$ ans avant que le nombre inscrits soit inférieurs à $2~010$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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