E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est attendue.

Une réponse juste rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlèvent pas de point.

Question 1

Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation : $2x-3y+1=0$.
Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est :

a. $\vec{u}(2;-3)$
b. $\vec{v}(3;2)$
c. $\vec{w}(-3;1)$
a. $\vec{r}\left(1;\dfrac{3}{2}\right)$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur directeur d’une droite dont une équation est $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $(-b;a)$.
Donc, ici, un vecteur directeur est $\vec{v}(3;2)$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation : $2x-3y+1=0$.
Un vecteur normal à la droite $(d)$ est :

a. $\vec{u}(2;-3)$
b. $\vec{v}(3;2)$
c. $\vec{w}(-3;1)$
a. $\vec{r}\left(1;\dfrac{3}{2}\right)$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur normal à une droite dont une équation est $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $(a;b)$.

Donc, ici, un vecteur normal est $\vec{u}(2;-3)$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On donne trois points distincts : $A$, $B$ et $C$.
Les points $D$ et $E$ sont tels que $\vect{EB}=\vect{BA}$ et $\vect{ED}=2\times \vect{BC}$. On a :

a. $A$ est le milieu de $[EB]$
b. $B$ est le milieu de $[ED]$
c. $C$ est le milieu de $[AD]$
d. $D$ est le milieu de $[AC]$

$\quad$

Correction Question 3

Il est préférable de faire un schéma pour se rendre compte de ce qu’il faut prouver.
$\begin{align*} \vect{AD}&=\vect{AB}+\vect{BE}+\vect{ED} \\
&=\vect{AB}+\vect{AB}+2\vect{BC} \\
&=2\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right) \\
&=2\vect{AC}\end{align*}$
Par conséquent $C$ est le milieu de $[AD]$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $x$ un nombre réel. Dans un repère orthonormé, les vecteurs $\vec{u}(-x+4;7)$ et $\vec{v} (9; 2x- 5)$ sont orthogonaux lorsque $x$ est égal à :

a. $\dfrac{1}{5}$
b. $10$
c. $-\dfrac{1}{5}$
d. $6$

$\quad$

Correction Question 4

$\phantom{\ssi} \vec{u}(-x+4;7)$ et $\vec{v} (9; 2x- 5)$ sont orthogonaux
$\ssi \vec{u}.\vec{v}=0$
$\ssi 9(-x+4)+7(2x-5)=0$
$\ssi -9x+36+14x-35=0$
$\ssi 5x=-1$
$\ssi x=-\dfrac{1}{5}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1; -2)$, $B(2; 0)$, $C(3; -1)$ et $D(-3; 4)$. Alors $\vect{AC}.\vect{BD}$ est égal à :

a. $-16$
b. $11$
c. $21$
d. $-24$

$\quad$

Correction Question 5

On a $\vect{AC}(4;1)$ et $\vect{BD}(-5;4)$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{BD}&= 4\times (-5)+1\times 4 \\
&=-16\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

À partir d’un premier segment de $2$ mm, on ajoute successivement un nouveau segment mesurant $150 \%$ de la longueur du précédent.

Pour tout entier naturel $n\pg 1$, on désigne par $u_n$ la longueur, en mm, du $n$-ième segment.
Ainsi $u_1=2$ et $u_2=3$.

  1. Déterminer $u_3$ et $u_4$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ supérieur à $1$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. On cherche à déterminer à partir de combien de segments la longueur totale dépasse $1$ mètre. On réalise pour cela un programme écrit en langage Python.
    Recopier et compléter sur la copie ce programme pour qu’il affiche le nombre attendu de segments.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{i = 1}\\
    \text{u = 2}\\
    \text{longueur = 2}\\\\
    \text{while longueur < 1000 :}\\
    \hspace{0.5cm}\text{i = $\ldots$}\\
    \hspace{0.5cm}\text{u = $\ldots$}\\
    \hspace{0.5cm}\text{longueur = $\ldots$}\\\\
    \text{print(i) }\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Ce programme affiche $14$.
    Déterminer, par le calcul, la longueur de la spirale formée des $14$ premiers segments.
    Arrondir le résultat au mm.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} u_3&=\dfrac{150}{100}u_2 \\
    &=1,5\times 3 \\
    &=4,5\end{align*}$
    $\begin{align*} u_4&=\dfrac{150}{100}u_3 \\
    &=1,5\times 4,5 \\
    &=6,75\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1}=1,5u_n$.
    $\quad$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,5$ et de premier terme $u_1=2$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $u_n=2\times 1,5^{n-1}$.
    $\quad$
  4. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{i = 1}\\
    \text{u = 2}\\
    \text{longueur = 2}\\\\
    \text{while longueur < 1000 :}\\
    \hspace{0.5cm}\text{i = i + 1}\\
    \hspace{0.5cm}\text{u = 1.5 * u}\\
    \hspace{0.5cm}\text{longueur = longueur + u}\\\\
    \text{print(i) }\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*} S&=u_1+u_2+\ldots+u_{14} \\
    &=2\times \dfrac{1-1,5^{14}}{1-1,5} \\
    &\approx 1~164\end{align*}$
    La spirale mesure donc environ $1~164$ mm.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un libraire dispose d’un stock de magazines. On sait que $40 \%$ des magazines proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.
Il constate que $91 \%$ des magazines reçus sont vendus dans la semaine.
Il constate également que $85 \%$ des magazines provenant du fournisseur A sont vendus dans la semaine.

Le responsable des achats prend au hasard un magazine dans le stock. On considère les évènements suivants :

  • $A$ : « le magazine provient du fournisseur A »
  • $B$ : « le magazine provient du fournisseur B »
  • $S$ : « le magazine est vendu dans la semaine »

Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.
Pour tout événement $E$ et $F$ où $F$ est un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.

  1. Quelle est la probabilité que le magazine provienne du fournisseur B ?
    $\quad$
  2. On note $P_B(S)=x$. Recopier et compléter sur la copie avec les trois valeurs demandées l’arbre pondéré ci-dessous traduisant la situation :

    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le magazine choisi au hasard provienne du fournisseur A et qu’il soit vendu dans la semaine.
    $\quad$
  4. Démontrer que $0,34 + 0,6x = 0,91$. En déduire que $P(B\cap S) = 0,57$.
    $\quad$
  5. Le magazine choisi est vendu dans la semaine. Calculer la probabilité qu’il provienne du fournisseur B. En donner sa valeur arrondie à $10^{-3}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P(A)=0,4$ donc $P(B)=0,6$.
    La probabilité que le magazine provienne du fournisseur B est égale à $0,6$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  3. On veut calculer
    $\begin{align*} P(A\cap S)&=P(A)\times P_A(S) \\
    &=0,4\times 0,85 \\
    &=0,34\end{align*}$
    La probabilité que le magazine choisi au hasard provienne du fournisseur A et qu’il soit vendu dans la semaine est égale à $0,34$.
    $\quad$
  4. $A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} &P(S)=P(A\cap S)+P(B\cap S)\\
    \ssi~&0,91=0,4\times 0,85+0,6x \\
    \ssi~&0,91=0,34+0,6x\end{align*}$
    $\quad$
    $0,91=0,34+0,6x \ssi 0,6x=0,57 \ssi 0,95$
    $\begin{align*} P(B\cap S)&=P(B)\times P_B(S) \\
    &=0,6\times 0,95 \\
    &=0,57\end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer
    $\begin{align*} P_S(B)&=\dfrac{P(B\cap S)}{P(S)}\\
    &=\dfrac{0,57}{0,91} \\
    &\approx 0,626\end{align*}$
    La probabilité que le magasine choisi provienne du fournisseur B sachant qu’il est vendu dans la semaine est environ égale à $0,626$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[-5;5]$ par : $$g(x)=\e^x-x+1$$

  1. . On admet que $g$ est dérivable sur l’intervalle $[-5; 5]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
    Calculer $g'(x)$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-5; 5]$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $g$ est strictement positive sur $[-5; 5]$, c’est-à-dire que :
    pour tout $x\in [-5; 5], g(x) > 0$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[-5; 5]$ par : $$f(x)=x+1+\dfrac{x}{\e^x}$$
On appelle $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-5; 5]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Démontrer que pour tout réel $x$ de $[-5; 5]$, $$f'(x)=\dfrac{1}{\e^x}\times g(x)$$
    En déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[-5; 5]$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’équation de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à $[-5;5]$ on a $g'(x)=\e^x-1$.
    $\quad$
  2. $\e^x-1=0 \ssi \e^x=1 \ssi x=0$
    $\e^x-1>0 \ssi \e^x >1 \ssi x>0$
    La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[-5;0]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[0;5]$
    $\quad$
  3. La fonction $g$ admet donc un minimum au point d’abscisse $0$.
    Or $g(0)=2$.
    Par conséquent $g$ est strictement positive sur $[-5;5]$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur $[-5;5]$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[-5;5]$.
    Pour tout $x$ de $[-5;5]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1+0+\dfrac{1\times \e^x-x\times \e^x}{\e^{2x}}\\
    &=1+\dfrac{1-x}{\e^x} \\
    &=\dfrac{\e^x-x+1}{\e^x}\\
    &=\dfrac{1}{\e^x}\times g(x)\end{align*}$
    $\quad$
    La fonction $g$ est strictement positive sur $[-5;5]$ et la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)>0$ sur $[-5;5]$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $[-5;5]$.
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f(0)=1$ et $f'(0)=2$
    Une équation de cette tangente est donc $y=2x+1$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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