E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question une seule réponse est exacte. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n’enlève aucun point. La bonne réponse rapporte un point. Il n’est pas demandé de justification.

Question 1

L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+2x+1>0$, où $x$ est un nombre réel, est :

a. $\left\{-\dfrac{1}{3};1\right\}$
b. $\emptyset$
c. $\left]-\dfrac{1}{3};1\right[$
d. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right[\cup]1;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 1

$-3x^2+2x+1$ est un polynôme du second degré.
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times (-3)\times 1\\
&=16\\
&>0\end{align*}$
Il possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{-6}\\
&=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{-6}\\
&=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-3<0$.
L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+2x+1>0$ est donc $\left]-\dfrac{1}{3};1\right[$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le plan est muni d’un repère $\Oij$.
Une équation cartésienne de la droite $(d)$ passant par le point $A$ de coordonnées $(-1 ; 5)$ et de vecteur directeur $\vec{v}$ de coordonnées $(3 ; -2)$ est :

a. $-2x+3y+13=0$
b. $-2x-3y-13=0$
c. $2x-3y+13=0$
d. $-2x-3y+13=0$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{v}$ de coordonnées $(3 ; -2)$.
Par conséquent une équation cartésienne de $(d)$ est de la forme $-2x-3y+c=0$
Le point $A(-1;5)$ appartient à la droite $(d)$.
Ainsi $2-15+c=0 \ssi c=13$
Une équation cartésienne de $(d)$ est $-2x-3y+13=0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}$.
La fonction dérivée de $f$ est définie sur $]-\infty;2[\cup]2;+\infty[ par :

a. $f'(x)=\dfrac{5}{(x-2)^2}$
b. $f'(x)=\dfrac{3x-6}{(x-2)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{-5}{(x-2)^2}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$.
Pour tout réel $x$ appartenant à $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(x-2)-(2x+1)\times 1}{(x-2)^2} \\
&=\dfrac{2x-4-2x-1}{(x-2)^2} \\
&=\dfrac{-5}{(x-2)^2}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Pour tout nombre réel $x$, une expression simplifiée de $\dfrac{\left(\e^x\right)^2\times \e^{-x+1}}{\e^{5x}}$ est :

a. $\e^{-4x+1}$
b. $\e^{x^2-6x+1}$
c. $\e^{x^2+4x+1}$
d. $\e^{-x^3+x^5-5x}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \dfrac{\left(\e^x\right)^2\times \e^{-x+1}}{\e^{5x}}&=\dfrac{\e^{2x}\times \e^{-x+1}}{\e^{5x}}\\
&=\e^{2x-x+1-5x} \\
&=\e^{-4x+1}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La fonction $f$ est définie pour tout $x$ réel par $f(x)=\e^x\left(3\e^x-1\right)$.
La fonction dérivée de $f$ est définie pour tout $x$ réel par :

a. $f'(x)=\e^x\left(3\e^x\right)$
b. $f'(x)=6\e^{2x}-\e^x$
c. $f'(x)=3\e^{2x}-\e^x$
d. $f'(x)=3\left(\e^x\right)^2-1$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^x\left(3\e^x-1\right)+e^x\times 3\e^x\\
&=3\e^{2x}-\e^x+3\e^{2x} \\
&=6\e^{2x}-\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un pépiniériste stocke un grand nombre d’arbustes de la famille des viburnum en vue de les vendre. Ceux-ci sont de deux espèces différentes : les viburnum tinus (nom commun : laurier tin) et les viburnum opulus (nom commun : boule de neige). Il constate que :

  • $80 \%$ de ses arbustes sont des lauriers tins, les autres sont des boules de neige.
  • Parmi les lauriers tins, $41 \%$ mesurent 1m10 ou plus.
  • Parmi les boules de neige, $32 \%$ mesurent 1m10 ou plus.
  1. Est-il vrai que moins de $15\%$ des viburnum de ce pépiniériste sont des boules de neige de moins de 1m10 ?
    $\quad$

On choisit au hasard un viburnum chez ce pépiniériste et on considère les événements suivants :
$L$ : « le viburnum choisi est un laurier tin »
$T$ : « le viburnum mesure plus de 1m10 ».

  1. Décrire par une phrase la probabilité $P_L\left(\conj{T}\right)$. Décrire également par une phrase l’événement $\conj{L}\cap T$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous traduisant les données de l’énoncé.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le viburnum mesure 1m10 ou plus est égale à $0,392$.
    $\quad$
  4. Le viburnum choisi a une taille inférieure à 1m10. Quelle est la probabilité que ce soit un boule de neige ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $20%$ des viburnum sont des boules de neige. et $68\%$ d’entre-eux mesurent moins 1m10.
    $0,2\times 0,68=0,136<0,15$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
  2. $P_L\left(\conj{T}\right)$ est la probabilité que le viburnum mesure moins de 1m10 sachant que c’est un laurier tin.
    $\quad$
    L’événement $\conj{L}\cap T$ est « le viburnum choisi est un laurier tin qui mesure moins de 1m10 »
    $\quad$
  3. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  4. $L$ et $\conj{L}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(T\cap L)+P\left(T\cap\conj{L}\right) \\
    &=0,8\times 0,41+0,2\times 0,32\\
    &=0,392\end{align*}$
    La probabilité que le viburnum mesure 1m10 ou plus est égale à $0,392$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{T}}\left(\\conj{L}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{T}\cap \conj{L}\right)}{P\left(\conj{T}\right)} \\
    &=\dfrac{0,2\times 0,68}{1-0,392} \\
    &\approx 0,224\end{align*}$
    La probabilité que le viburnum choisi soit un boule de neige sachant qu’il a une taille inférieure à 1m10 est environ égale à $0,224$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Les deux parties suivantes sont indépendantes.

Partie A. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 1$ et $v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ? En préciser les éléments caractéristiques.
    $\quad$
  2. Donner, pour tout entier naturel $n$, une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Calculer la somme $S$ des dix premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$

Partie B. On modélise une suite $\left(w_n\right)$ à l’aide de la fonction suivante écrite en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textcolor{Green}{\text{def }}\textcolor{blue}{\text{terme}}\text{(n):}\\
\hspace{1cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{4}\\
\hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{for }}\text{i }\textcolor{Green}{\text{in range}}\text{(n):}\\
\hspace{2cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{2}\textcolor{violet}{*}\text{w }\textcolor{violet}{\text{- }}\textcolor{Green}{3}\\
\hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{return }}\text{w}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Que renvoie l’exécution de $\text{terme(5) }$?
    $\quad$
  2. En s’inspirant de la fonction $\text{terme(n)}$, proposer une fonction $\text{somme_termes(n)}$, écrite en langage Python, qui renvoie la somme des $n$ premiers termes de la suite $\left(w_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0=1$.
    $\quad$
  2. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=1\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ soit $v_n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.
    $\quad$
  3. On a donc :
    $\begin{align*} S&=v_0+v_1+\ldots+v_9\\
    &=\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}}{1-\dfrac{2}{3}}\\
    &=\dfrac{58~025}{19~683}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient la valeur de $w_5$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&~0~&~1~&~2~&~3~&~4~&~5~\\
    \hline
    w_n&4&5&7&11&19&35\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi $\text{terme(5)}$ renvoie $35$.
    $\quad$
  5. On peut saisir le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textcolor{Green}{\text{def }}\textcolor{blue}{\text{somme_termes}}\text{(n):}\\
    \hspace{1cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{4}\\
    \hspace{1cm}\text{S }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{4}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{for }}\text{i }\textcolor{Green}{\text{in range}}\text{(n):}\\
    \hspace{2cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{2}\textcolor{violet}{*}\text{w }\textcolor{violet}{\text{- }}\textcolor{Green}{3}\\
    \hspace{2cm}\text{S }\textcolor{violet}{\text{= }}\text{S }\textcolor{violet}{+ }\text{w}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{return }}\text{S}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[-1;5] par : $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$

  1. Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer, pour tout nombre réel $x$ de $[-1; 5]$, l’expression de $f'(x)$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout nombre réel $x$ de $[-1; 5]$, $f’′(x) = 3(x-1)(x-3)$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur $[-1; 5]$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
    $\quad$
  4. Déterminer l’équation de la tangente $T$ à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  5. Déterminer l’autre point de la courbe de $f$ en lequel la tangente est parallèle à $T$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[-1;5]$ en tant que polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-1;5]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-6\times 2x+9 \\
    &=3x^2-12x+9\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ appartenant à $[-1;5]$ on a :
    $\begin{align*} 3(x-1)(x-3)&=(3x-3)(x-3)\\
    &=3x^2-9x-3x+9\\
    &=3x^2-12x+9\\
    &=f'(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. $f'(x)$ est donc un polynôme du second degré dont les racines sont $1$ et $3$ et dont le coefficient principal est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f(0)=1$ et $f'(0)=9$
    Ainsi, une équation de $T$ est $y=9x+1$.
    $\quad$
  5. On veut donc résoudre l’équation
    $\begin{align*} f'(x)=9 &\ssi 3x^2-12x+9=9 \\
    &\ssi 3x^2-12x=0\\
    &\ssi 3x(x-4)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $x-4=0 \ssi x=4$
    Ainsi la tangente à la courbe représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $4$ est parallèle à $T$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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