E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question une seule réponse est exacte. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n’enlève aucun point. La bonne réponse rapporte un point. Il n’est pas demandé de justification.

Question 1

L’ensemble des solutions de l’inéquation $3x^2-4x+1\pg 0$ est :

a. $]-\infty;-1[\cup\left[-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$
b. $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$
d. $\left[\dfrac{1}{3};1\right]$

$\quad$

Correction Question 1

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=(-4)^2-4\times 3\times 1 \\
&=4\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{4-\sqrt{4}}{6} \\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{4+\sqrt{4}}{6} \\
&=1\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=3>0$ donc L’ensemble des solutions de l’inéquation $3x^2-4x+1\pg 0$ est $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}a+2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\a\end{pmatrix}$, où $a$ est un nombre réel. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si :

a. $a(a+2)-3=0$
b. $a(a+2)+3=0$
c. $3(a+2)-a=0$
d. $3(a+2)+a=0$

$\quad$

Correction Question 2

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
$\ssi 3(a+2)+(-1)\times a=0$
$\ssi 3(a+2)-a=0$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le point $A (-2; 3)$ et le vecteur $\vec{u}(1; 2)$. Une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A$ et de vecteur normal $\vec{u}$ est :

a. $-2x+y-7=0$
b. $x+2y-4=0$
c. $x-2y+8=0$
d. $2x+y+1=0$

$\quad$

Correction Question 3

$\vec{u}(1; 2)$ est un vecteur normal à la droite $d$.
Une équation cartésienne de cette droite est donc de la forme $x+2y+c=0$
Le point $A(-2;3)$ appartient à cette droite. Donc $-2+6+c=0\ssi c=-4$
Une équation cartésienne de $d$ est donc $x+2y-4=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(u_n\right)$, géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0 = 3$.
La somme $u_0 + u_1 + \ldots + u_{10}$ est égale à :

a. $3\left(2^{11}-1\right)$
b. $3\left(1-2^{11}\right)$
c. $3\left(2^{10}-1\right)$
d. $3\left(1-2^{10}\right)$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} S&=u_0 + u_1 + \ldots + u_{10} \\
&=3\times \dfrac{1-2^{11}}{1-2} \\
&=-3\left(1-2^{11}\right)\\
&=3\left(2^{11}-1\right)\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.
La fonction dérivée de $f$ sur $]1;+\infty[$ a pour expression :

a. $f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$
b. $f'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{4x-1}{(x-1)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x>1$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\times (x-1)-1\times (2x+1)}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un organisme de vacances propose des séjours en France et à l’étranger pour des jeunes.
Ces derniers sont répartis en deux catégories suivant leur âge : adolescents ou jeunes enfants. $40 \%$ des participants sont des adolescents et parmi eux, $70 \%$ choisissent un séjour à l’étranger. Parmi les jeunes enfants, $90 \%$ choisissent un séjour en France.
On interroge au hasard un participant à un séjour de cet organisme.
On note $A$ l’événement “le participant est un adolescent”, et $F$ l’événement “le participant choisit un séjour en France”.

Recopier et compléter sur la copie les branches de l’arbre de probabilité ci-dessous pour qu’il représente la situation.
$\quad$
Calculer la probabilité que le participant soit un adolescent et qu’il choisisse un séjour à l’étranger.
$\quad$
Montrer que la probabilité qu’un participant choisisse un séjour à l’étranger est $0,34$.
$\quad$
Calculer la probabilité que le participant ne soit pas un adolescent, sachant qu’il part à l’étranger. Donner la valeur arrondie au centième de cette probabilité.
$\quad$
On interroge au hasard, et de manière indépendante, deux participants à des séjours de cet organisme pour connaitre s’ils ont choisi un séjour en France ou non. L’organisation de ce sondage est telle qu’une même personne peut être interrogée deux fois.
Calculer la probabilité qu’au moins un des deux participants ait choisi un séjour en France.
Donner cette probabilité arrondie au centième.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice 2

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P\left(A\cap \conj{F}\right)&=P(A)\times P_A\left(\conj{F}\right) \\
&=0,4\times 0,7\\
&=0,28\end{align*}$
$\quad$
$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(\conj{F}\right)&=P\left(A\cap \conj{F}\right)+P\left(\conj{A}\cap \conj{F}\right) \\
&=0,4\times 0,7+0,6\times 0,1\\
&=0,34\end{align*}$
La probabilité qu’un participant choisisse un séjour à l’étranger est 0,34.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{F}}\left(\conj{A}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap \conj{F}\right)}{P\left(\conj{F}\right)} \\
&=\dfrac{0,6\times 0,1}{0,34}\\
&\approx 0,18\end{align*}$
La probabilité que le participant ne soit pas un adolescent, sachant qu’il part à l’étranger est environ égale à $0,18$.
$\quad$
La probabilité qu’aucun participant ait choisi un séjour en France est égale à $0,34^2$.
Par conséquent, la probabilité qu’au moins un des deux participants ait choisi un séjour en France est égale à $1-0,34^2 \approx 0,88$.
$\quad$
Remarque : On pouvait également utiliser le fait que la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de participants ayant choisi un séjour en France suit (à justifier proprement) la loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p=0,66$.
On veut alors calculer $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,34^2$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une commune compte $800$ habitants au début de l’année 2019. Le maire prévoit une baisse de $2 \%$ par an du nombre d’habitants à partir de 2019.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants $n$ années après 2019. Ainsi, $u_0 = 800$ et pour tout entier naturel, $u_{n+1} = 0,98u_n$.

Calculer $u_1$ et préciser ce que cette valeur représente dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ainsi que sa raison.
$\quad$
Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Calculer une valeur approchée, à l’entier près, du nombre d’habitants dans cette commune en 2025.
$\quad$
Recopier et compléter sur la copie la fonction écrite en langage Python ci-dessous, afin qu’elle permette de calculer, pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def u(n):}\\
\hspace{1cm}\text{u = $\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{for i in range(1, $\ldots$):}\hspace{1cm}\\
\hspace{2cm}\text{u = $\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{return $\ldots$}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} u_1&=0,98\times 800\\
&=784\end{align*}$
La commune comptait $784$ habitants au début de l’année 2020.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,98u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $u_0=800$.
$\quad$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=800\times 0,98^n$.
$\quad$
En 2025, on a $n=6$.
Or
$\begin{align*}u_{6} &=800\times 0,98^{6} \\
&\approx 709\end{align*}$
En 2025, il y aura environ $709$ habitants dans la commune.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def u(n):}\\
\hspace{1cm}\text{u = 800}\\
\hspace{1cm}\text{for i in range(1, n+1):}\hspace{1cm}\\
\hspace{2cm}\text{u = 0.98 * n}\\
\hspace{1cm}\text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Partie A : lecture graphique

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, $C_f$ est la courbe représentative d’une fonction $f$, définie et dérivable sur l’ensemble $\R$ des nombres réels.
Dans la figure ci-dessus, on a tracé la courbe $\C_f$.
Les points $A$ et $B$ sont les points de $C_f$ d’abscisses respectives $-2$ et $0$, et on a tracé les tangentes à $C_f$ en ces points.
On suppose que la tangente en $A$ est parallèle à l’axe des abscisses et que la tangente en $B$ passe par le point $C(1; 6)$.
$\quad$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
Lire graphiquement les valeurs de $f'(-2)$ et $f'(0)$. Justifier brièvement.

$\quad$

Partie B : Calcul algébrique

La fonction représentée sur le graphique précédent est la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par : $$f(x)=\e^x(2x+2)$$
On admet que $f$ est dérivable sur $\R$.

Montrer que pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\e^x(2x+4)$.
$\quad$
Étudier le signe de $f’$ sur $\R$, puis en déduire le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
$\quad$
Déterminer par le calcul, l’équation réduite de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$
Justifier par le calcul les deux résultats suivants admis au début de l’exercice :
– La tangente en $A$ est parallèle à l’axe des abscisses.
– La tangente en $B$ passe par le point $C(1;6)$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La tangente en $A$, d’abscisse $-2$, à $C_f$ est parallèle à l’axe des abscisses. Donc $f'(-2)=0$.
$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point $B$ d’abscisse $0$, c’est-à-dire celui de la droite $(BC)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{6-2}{1-0}\\
&=4\end{align*}$
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^x\times (2x+2)+\e^x\times 2 \\
&=(2x+2+2)\e^x\\
&=(2x+4)\e^x\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x+4$.
$2x+4=0 \ssi 2x=-4 \ssi x=-2$
$2x+4>0 \ssi 2x>-4 \ssi x>-2$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
$f'(0)=4$ et $f(0)=2$
Une équation de cette tangente est donc $y=4x+2$.
$\quad$
Pour tout réel $a$ $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $a$.
$f'(-2)=0$ donc la tangente en $A$ est parallèle à l’axe des abscisses.
$f'(0)=4$ et le coefficient directeur de la droite $(BC)$ est $4$.
La tangente à $C_f$ en $B$ et la droite $(BC)$ ont le même coefficient directeur. Elles sont donc confondues et le point $C$ appartient à cette tangente.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence