E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

Question 1

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $D$ d’équation cartésienne $4x+5y-7=0$.
Un vecteur normal à $D$ a pour coordonnées :

a. $(5 ; 4)$
b. $(-5 ; 4)$
c. $(4 ; 5)$
d. $(4 ; -5)$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la droite $D$ d’équation $4x+5y-7=0$ est $\vec{u}(4;5)$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, l’ensemble $E$ des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ vérifiant : $x^2-2x+y^2=3$ est un cercle :

a. de centre $A(1 ; 0)$ et de rayon $2$.
b. de centre $A(1 ; 0)$ et de rayon $4$.
c. de centre $A(-1 ; 0)$ et de rayon $2$.
d. de centre $A(-1 ; 0)$ et de rayon $4$.

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} x^2-2x+y^2=3&\ssi x^2-2x+1-1+y^2=3 \\
&\ssi (x-1)^2+(y-0)^2=4 \\
&\ssi (x-1)^2+(y-0)^2=2^2 \end{align*}$
Il s’agit donc du cercle de centre $A(1;0)$ et de rayon $2$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

La somme $15 + 16 + 17 + \ldots + 243$ est égale à :

a. $29~403$
b. $29~412$
c. $29~541$
d. $29~646$

$\quad$

Correction Question 3

On note $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=15$ et de raison $1$.
On a ainsi $u_n=15+n$ pour tout entier naturel $n$.
$15+n=243 \ssi n=228$
Ainsi :
$\begin{align*} S&=15 + 16 + 17 + \ldots + 243\\
&=15+(15+1)+(15+2)+\ldots+(15+228)\\
&=15\times 229+(1+2+\ldots+228)\\
&=3~435+\dfrac{228\times 229}{2}\\
&=29~541\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ dérivable définie sur $\R$ par $f(x)=(x+1)\e^x$.
La fonction dérivée $f’$ de $f$ est définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=(x+2)\e^x$
b. $f'(x)=(x+1)\e^x$
c. $f'(x)=x\e^x$
d. $f'(x)=\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(x+1)\times \e^x\\
&=(1+x+1)\e^x\\
&=(x+2)\e^x\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

En utilisant l’arbre de probabilité pondéré ci-dessous, on obtient :

a. $P(B)=\dfrac{1}{4}$
b. $P(B)=\dfrac{2}{5}$
c. $P(B)=\dfrac{13}{20}$
d. $P(B)=\dfrac{3}{10}$

$\quad$

Correction Question 5

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{3}{10}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé $\Oij$ du plan, on considère les points $A(2;-1)$, $B(0;3)$ et $C(3;1)$.

  1. a. Vérifier que$\vect{AB}.\vect{AC}=6$
    $\quad$
    b. Calculer $\norme{\vect{AB}}$ et $\norme{AC}$, on donnera les valeurs exactes.
    $\quad$
    c. Vérifier que $\cos\left(\widehat{BAC}\right)=0,6$ et en déduire la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ au degré près.
    $\quad$
  2. a. Vérifier qu’une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $2x+y-3=0$.
    $\quad$
    b. On note $H$ le pied la hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $C$.
    Déterminer les coordonnées du point $H$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-2;4\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-2\times 1+4\times 2\\
    &=6\end{align*}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \norme{\vect{AB}}&=\sqrt{(-2)^2+4^2}\\
    &=\sqrt{20}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} \norme{\vect{AC}}&=\sqrt{1^2+2^2}\\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a d’une part $\vect{AB}.\vect{AC}=6$ et d’autre part $\vect{AB}.\vect{AC}=\norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}\times \cos \widehat{BAC}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}\times \cos \widehat{BAC} =6 &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{6}{\norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}} \\
    &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{6}{\sqrt{20}\times \sqrt{5}} \\
    &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{6}{10}\\
    &\ssi \cos \widehat{BAC}=0,6\end{align*}$
    $\quad$
    Ainsi $\widehat{BAC} \approx 53$°
  2. a. $2\times 2-1-3=0$ donc les coordonnées du point $A$ vérifient l’équation donnée.
    $0+3-3=0$ donc les coordonnées du point $B$ vérifient l’équation donnée.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $2x+y-3=0$.
    $\quad$
    b. On appelle $d$ la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$.
    Le vecteur $\vect{AB}$ est donc un vecteur normal à la droite $d$.
    Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $-2x+4y+c=0$.
    Le point $C(3;1)$ appartient à $d$ donc $-6+4+c=0 \ssi c=2$.
    Une équation de $d$ est donc $-2x+4y+2=0$ ou encore $-x+2y+1=0$.
    Les coordonnées du point $H$ sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 2x+y-3=0\\-x+2y+1=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\-x+2(3-2x)+1=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\-5x+6+1=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\x=\dfrac{7}{5}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{7}{5}\\y=3-2\times \dfrac{7}{5}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{7}{5}\\y=\dfrac{1}{5}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{5};\dfrac{1}{5}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 1995, le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans atteignait $84,8 \%$, du fait d’une forte progression de la poursuite d’études dans le second cycle général et technologique jusqu’au baccalauréat.
Une étude de l’INSEE montre que ce taux de scolarisation a régulièrement diminué au cours des dix années suivantes.

On considère que la diminution du taux de scolarisation à 18 ans est chaque année de $1 \% à partir de 1995.

Pour tout entier naturel $n$, on modélise le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans en 1995$+n$, par une suite $\left(u_n\right)$ ; ainsi $u_0 = 84,8$

  1. Quel est le taux de scolarisation des jeunes âgés de 18 ans en 1996 ?
    $\quad$
  2. Déterminer, en justifiant, la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. On donne le programme suivant en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{U=84.8}\\
    \text{n=0}\\
    \text{while U > 80:}\\
    \hspace{1cm}\text{U=0.99*U}\\
    \hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Déterminer la valeur numérique que contient la variable $\text{n}$ à l’issue de l’exécution du programme. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$
  4. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  5. Quel est le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans en 2005 ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} \left(1-\dfrac{1}{100}\right)\times 84,8 &=0,99\times 84,8\\
    &=83,952\end{align*}$
    Le taux de scolarisation des jeunes âgés de 18 ans en 1996 était de $93,952\%$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{1}{100}\right)\times  u_n\\
    &=0,99u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,99$ et de premier terme $u_0=84,8$.
    $\quad$
  3. Voici les premières valeurs, arrondies à $10^{-2}$ près, de la suite $\left(u_n\right)$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    ~n~ &~0~&~1~& ~2~& ~3~& ~4~& ~5~& ~6~\\
    \hline
    U& 84,8& 83,95& 83,11& 82,28& 81,46& 80,64 &79,84\\
    \hline\end{array}$$
    Ainsi, à l’issue de l’exécution du programme, la variable $\text{n}$ contient la valeur $6$.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,99$ et de premier terme $u_0=84,8$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=84,8\times 0,99^n$.
    $\quad$
  5. En 2005, on a $n=10$.
    Or
    $\begin{align*} u_{10}&=84,8\times 0,99^{10} \\
    &\approx 76,69\end{align*}$
    Le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans en 2005 était d’environ $76,69\%$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $[-3 ; 3]$ par $f(x)=2x^3+2x^2-2x+1$. On note $C$ sa courbe représentative dans un repère donné.

  1. . Déterminer $f'(x)$, où $f’$ est la fonction dérivée de $f$ sur $[-3 ; 3]$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-3 ; 3]$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3 ; 3]$. Les valeurs aux bornes pourront être données en valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. a. Vérifier qu’une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point $A$ d’abscisse $0$, est $y=-2x+1$.
    $\quad$
    b. Montrer que cette tangente $T$ passe par un point $B$ de la courbe $C$, avec $B$ distinct du point $A$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à $[-3;3]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2+2\times 2x-2 \\
    &=6x^2+4x-2\end{align*}$
    $\quad$
  2. $f'(x)$ est donc un polynôme du second degré.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} Delta&=4^2-4\times 6\times (-2) \\
    &=64\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède donc deux racines réelles:
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{64}}{12} \\
    &=-1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{64}}{12} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=6>0$.
    Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $\left]-1;\dfrac{1}{3}\right[$
    $\bullet$ $f(-1)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$
    $\bullet$ $f(x)>0$ sur $[-3;-1[\cup\left]-\dfrac{1}{3};3\right]$
    $\quad$
  3. On obtient le tableau de variations suivant :
    Avec $f\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx 0,63$.
    $\quad$
  4. a. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f(0)=1$ et $f'(0)=-2$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-2x+1$.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=-2x+1&\ssi 2x^3+2x^2-2x+1=-2x+1\\
    &\ssi 2x^3+2x^2=0\\
    &\ssi 2x^2(x+1)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $2x^2=0 \ssi x=0$ ou $x+1=0\ssi x=-1$
    $f(-1)=3$.
    Le point $B(-1;3)$ appartient donc à la fois à $T$ et à $C$.
    $\quad$

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$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence