E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $x$ un nombre réel. On peut affirmer que :

a. $ \cos(x) = \sin(x)$
b. $\cos(\pi-x) = \cos(\pi + x)$
c. $\sin(\pi + x) = \sin(\pi-x)$
d. $\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $\cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Les solutions dans l’intervalle $[0;2\pi[$ de l’équation $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sont :

a. $\dfrac{4\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$
b. $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$
c. $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$
d. $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Seules les réponses a. et d. vérifient $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Mais les valeurs de d. n’appartiennent pas à $[0;2\pi[$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère $ABCD$ un carré direct dans lequel on construit un triangle $ABE$ équilatéral direct.

On note $AB = a$.
On peut alors affirmer que :

a. $\vect{AB}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}a^2$
b. $\vect{AB}.\vect{AD}=a^2$
c. $\vect{AB}.\vect{AE}=\dfrac{1}{2}a^2$
d. $\vect{AD}.\vect{DC}=-a^2$

$\quad$

Correction Question 3

$B$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$ donc $\vect{AB}.\vect{AC}=a^2$.
$\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ sont orthogonaux donc $\vect{AB}.\vect{AD}=0$.
$\vect{AD}$ et $\vect{DC}$ sont orthogonaux donc $\vect{AD}.\vect{DC}=0$.
Le projeté orthogonal de $E$ sur $[AB]$ est le milieu de $[AB]$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AE}&=a\times \dfrac{1}{2}a \\
&=\dfrac{1}{2}a^2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. On peut affirmer que :

a. $\vec{u}.\vec{v}=0$
b. $\vec{u}.\vec{v}=-\vec{v}.\vec{u}$
c. $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\norme{\vec{u}}$
d. $\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2+2\vec{u}.\vec{v}$

$\quad$

Correction Question 4

On a $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2\right)$
c’est-à-dire $\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2+2\vec{u}.\vec{v}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $n$ un entier naturel.
On cherche à exprimer en fonction de $n$ la somme suivante :
$$S=1-2+4-8+16-32+\ldots+(-2)^n$$
On peut affirmer que :

a. $S=\dfrac{1+(-2)^n}{2}\times (n-1)$
b. $S$ est la somme des termes d’une suite arithmétique de raison $(-2)$
c. $S=\dfrac{1-(-2)^n}{1-2}$
d. $S=\dfrac{1}{3}\left(1-(-2)^{n+1}\right)$

$\quad$

Correction Question 5

$S$ est la somme des $(n+1)$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et raison $-2$.
Ainsi :
$\begin{align*} S&=1\times \dfrac{1-(-2)^{n+1}}{1-(-2)} \\
&=\dfrac{1}{3}\left(1-(-2)^{n+1}\right)\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un magasin effectue des promotions avant sa liquidation définitive, chaque semaine les prix des articles sont diminués de $10 \%$ par rapport à la semaine précédente.

Un manteau coûte $200$ € avant le début de la liquidation, on pose $u_0= 200$ et on note $u_n$ son prix lors de la $n$-ième semaine de liquidation.

Calculer les termes $u_1$ et $u_2$ de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 200$ dont on précisera la raison et exprimer le terme général de la suite $\left(u_n\right)$ en fonction de $n$.
$\quad$
La liquidation dure 12 semaines, déterminer le prix du manteau à la fin de la liquidation s’il est toujours en vente. On donnera le résultat arrondi au centime.
$\quad$
On considère la fonction suivante, écrite en langage Python :
$$\begin{array}{l}
\text{def seuil(x) :}\\
\hspace{1cm} \text{u = 200}\\
\hspace{1cm} \text{n = 0}\\
\hspace{1cm} \text{while $\ldots\ldots$ :}\\
\hspace{2cm} \text{u = $\ldots$}\\
\hspace{2cm} \text{n = $\ldots$}\\
\hspace{1cm} \text{return n}\end{array}$$
Recopier et compléter sur la copie la fonction afin qu’elle renvoie le nombre de semaines nécessaires pour que le terme général de la suite $\left(u_n\right)$ soit inférieur au nombre réel $x$.
$\quad$
Une personne décide d’acheter le manteau dès que son prix sera inférieur à $100$ €. Combien de semaines devra-t-elle attendre ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)u_0 \\
&=0,9\times 200\\
&=180\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_2&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)u_1 \\
&=0,9\times 180\\
&=162\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)u_n \\
&=0,9\times u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $u_0=200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=200\times 0,9^n$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} u_{12}&=200\times 0,9^{112} \\
&\approx 56,49\end{align*}$
Le manteau coûtera environ $56,49$ euros à la fin de la liquidation.
$\quad$
On obtient la fonction suivante :
$$\begin{array}{l}
\text{def seuil(x) :}\\
\hspace{1cm} \text{u = 200}\\
\hspace{1cm} \text{n = 0}\\
\hspace{1cm} \text{while u >=x :}\\
\hspace{2cm} \text{u = 0.9 * u}\\
\hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
\hspace{1cm} \text{return n}\end{array}$$
$\quad$
Voici les premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ arrondie au centième.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\
\hline
u_n& 200& 180& 162& 145,8& 131,22& 118,10& 106,29& 95,66\\
\hline
\end{array}$
Elle devra donc attendre $7$ semaines pour acheter le manteau.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Afin d’établir les liens entre le surpoids et l’alimentation, on interroge les enfants des écoles primaires d’une ville.

L’enquête révèle que $60 \%$ des enfants boivent 1 boisson sucrée ou plus par jour.
Parmi les enfants buvant 1 boisson sucrée ou plus par jour, un enfant sur 8 est en surpoids, contre seulement $8 \%$ pour les enfants buvant moins d’une boisson sucrée par jour.

On choisit un enfant au hasard parmi les enfants des écoles primaires de la ville et on considère les événements suivants :

$B$ : « l’enfant boit 1 boisson sucrée ou plus par jour »,
$S$ : « l’enfant est en surpoids ».

Les événements contraires de $B$ et de $S$ sont notés respectivement $\conj{B}$ et $\conj{S}$.
Pour tout événement $A$ et $B$, avec $B$ un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $P_B(A)$.

Justifier que $P_B(S)=0,125$.
$\quad$
Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer $P(B\cap S)$.
$\quad$
Déterminer la probabilité que l’enfant soit en surpoids.
$\quad$
On a choisi un enfant en surpoids. Quelle est la probabilité qu’il boive 1 boisson sucrée ou plus par jour ? On arrondira le résultat au millième.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On sait que parmi les enfants buvant 1 boisson sucrée ou plus par jour, un enfant sur 8 est en surpoids.
Donc $P_B(S)=0,125$
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(B\cap S)&=P_B(S)\times P(B)\\
&=0,6\times 0,125\\
&=0,075\end{align*}$
$\quad$
$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(S)&=P(B\cap S)+P\left(\conj{B}\cap S\right) \\
&=0,075+0,4\times 0,08\\
&=0,107\end{align*}$
La probabilité que l’enfant soit en surpoids est égale à $0,107$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_S(B)&=\dfrac{P(B\cap S)}{P(S)}\\
&=\dfrac{0,075}{0,107} \\
&\approx 0,701\end{align*}$
La probabilité que l’enfant boive 1 boisson sucrée ou plus par jour sachant qu’il est en surpoids est environ égale à $0,701$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-4; 4]$ par $f(x) = x^3+3x^2-9x-20$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-4; 4]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

La courbe représentative de la fonction $f$, notée $C$, est tracée dans le repère ci-dessous.
La droite $T$ tracée dans le repère est la tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $0$.

Déterminer graphiquement les extrema de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer l’expression de $f'(x)$ sur $[-4; 4]$.
$\quad$
Étudier le signe de $3x^2+6x-9$ en fonction de $x$ sur $[-4; 4]$.
$\quad$
En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-4; 4]$ et retrouver les résultats de la question 1.
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la droite $T$, tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

1. Graphiquement, il semblerait que le minimum soit égal à $-25$ et le maximum soit égal à $7$.
  $\quad$
2. Pour tout réel $x$ appartenant à $[-4;4]$ on a :
  $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x-9 \\
  &=3x^2+6x-9\end{align*}$
  $\quad$
3. $3x^2+6x-9$ est un polynôme du second degré.
  Son discriminant est :
  $\begin{align*}
  \Delta&=6^2-4\times 3\times (-9) \\
  &=144\\
  &>0\end{align*}$
  Il possède donc deux racines réelles:
  $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{6}\\
  &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{6}\\
  &=1\end{align*}$
  Le coefficient principal est $a=3>0$.
  Par conséquent :
  – $f'(x)<0$ sur $]-3;1[$
  – $f'(-3)=f(1)=0$
  – $f'(x)>0$ sur $[-4;-3[\cup]1;4]$
  $\quad$
4. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
  
  D’après le tableau de variations, le maximum est $56$ et le minimum est $-25$.
  On retrouve bien le minimum mais, comme le graphique ne fait pas apparaître, le tracé de la courbe sur l’intervalle $[3;4]$ on ne retrouve pas la valeur du maximum obtenue à la question 1.
  $\quad$
5. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
  Or $f'(0)=-9$ et $f(0)=-20$
  Une équation de $T$ est donc $y=-9x-20$.
  $\quad$

[collapse]

$\quad$

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