E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\cos(25\pi+x)$ est égal à :

a. $\cos(x)$
b. $-\cos(x)$
c. $\cos(-x)$
a. $-1$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :

$\begin{align*} \cos(25\pi+x)&=\cos(2\times 12\pi+\pi+x) \\
&=\cos(x+\pi)\\
&=-\cos(x)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-10 ; 10]$.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ :

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d’un repère $\Oij$
La tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $3$ a pour coefficient directeur :

a. $0$
b. $3$
c. $4$
d. $10$

$\quad$

Correction Question 2

D’après le tableau de variations on a $f'(3)=0$.
Ainsi le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $3$ est $0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

$E$ et $F$ sont deux événements indépendants d’un même univers.
On sait que $p(E) = 0,4$ et $p(F) = 0,3$ alors :

a. $p(E\cup F)=0,7$
b. $p(E\cap F)=1,2$
c. $p(E\cap F)=0$
d. $p(E\cap F)=0,12$

$\quad$

Correction Question 3

$E$ et $F$ sont indépendants.
Par conséquent :
$\begin{align*} p(E\cap F)&=p(E)\times p(F)\\
&=0,4\times 0,3\\
&=0,12\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 4

L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+11x+1\pp -3$ est :

a. $\left\{-\dfrac{1}{3};4\right\}$
b. $\left[-\dfrac{1}{3};4\right]$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[4;+\infty[$
d. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right[\cup]4;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 4

$-3x^2+11x+1\pp -3 \ssi -3x^2+11x+4\pp 0$
Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=11^2-4\times (-3)\times 4\\
&=169\end{align*}$
Les deux racines réelles sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-11-\sqrt{169}}{-6} \\
&=4\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-11+\sqrt{169}}{-6} \\
&=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-3<0$.
Ainsi l’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+11x+4\pp 0$ est $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[4;+\infty[$.

Réponse c

$\quad$

Remarque : On pouvait également chercher à exclure les mauvaises réponses.

$a<0$ : on exclut donc les réponses a et b
L’inéquation n’est pas stricte : on exclut donc la réponse d

Il ne reste plus que la réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par ce tableau :$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-3&2&5&10\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,3&0,21&0,13&0,36\\
\hline
\end{array}$$
On peut en déduire que :

a. $P(X>2)=0,49$
b. $P(X>2)=0,51$
c. $P(X\pg 2)=0,49$
d. $P(X \pg 2)=0,51$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} P(X>2)&=P(X=5)+P(X=10)\\
&=0,13+0,36\\
&=0,49\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2-3x+4$.
Etudier les variations de $f$ sur $[0; +\infty[$.
$\quad$
Dans un repère orthonormé, on considère la courbe $C$ représentant la fonction racine carrée et le point $A(2 ; 0)$.
a. Soit $M(x ; y)$ un point de $C$. Exprimer $y$ en fonction de $x$.
$\quad$
b. En déduire que $AM^2=x^2-3x+4$.
$\quad$
c. Déterminer les coordonnées du point de $C$ le plus proche de $A$.
Ce point est noté $B$ pour la suite.
$\quad$
d. Un élève affirme que la tangente en $B$ à $C$ est perpendiculaire au segment $[AB]$.
A-t-il raison ? Justifier.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
La fonction $f$ admet donc un minimum dont l’abscisse est :
$\begin{align*} x_0&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-3}{2}\\
&=1,5\end{align*}$
Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;1,5]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[1,5;+\infty[$.
$\quad$
a. Pour tout point $M(x;y)$ de $C$ on a $y=\sqrt{x}$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} AM^2&=(x-2)^2+(y-0)^2 \\
&=x^2-4x+4+y^2 \\
&=x^2-4x+4+x\\
&=x^2-3x+4\end{align*}$
$\quad$
c. $AM$ est minimal quand $AM^2$ est minimal, c’est-à-dire quand $f(x)$ est minimal.
Ainsi $AM$ est minimal quand $x=1,5$.
Le point $B$ a donc pour coordonnées $\left(1,5;\sqrt{1,5}\right)$.
$\quad$
d. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout réel $x$ le nombre dérivée associé est $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
Ainsi, un vecteur directeur de la tangente en $B$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{2\sqrt{1,5}}\end{pmatrix}$.
De plus $\vect{AB}\begin{pmatrix}-0,5\\\sqrt{1,5}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} \vec{u}.\vect{AB}&=-0,5\times 1+\dfrac{1}{2\sqrt{1,5}}\times \sqrt{1,5}\\
&=-0,5+\dfrac{1}{2}\\
&=0\end{align*}$
Les deux vecteurs sont orthogonaux.
L’élève a donc raison.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une balle est lâchée d’une hauteur de $3$ mètres au-dessus du sol. Elle touche le sol et rebondit. À chaque rebond, la balle perd $25 \%$ de sa hauteur précédente.

On modélise la hauteur de la balle par une suite $\left(h_n\right)$ où $h_n$ désigne la hauteur maximale de la balle, en mètres, après le $n$-ième rebond. On a donc $h_0= 3$.

Calculer $h_1$ et $h_2$.
$\quad$
La suite $\left(h_n\right)$ est-elle arithmétique ? Justifier.
$\quad$
Donner la nature de la suite $\left(h_n\right)$ en précisant ses éléments caractéristiques.
$\quad$
Déterminer la hauteur, arrondie au cm, de la balle après $6$ rebonds.
$\quad$
La fonction « $\text{seuil}$ » est définie ci-dessous en langage Python.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
2&\hspace{1cm}\text{h}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\textcolor{brown}{\ldots\ldots\ldots\ldots :}\\
5&\hspace{2cm}\text{h}\textcolor{brown}{=\ldots\ldots\ldots\ldots }\\
6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emeral}{1}\\
7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
Recopier et compléter les lignes $4$ et $5$ pour que cette fonction renvoie le nombre de rebonds à partir duquel la hauteur maximale de la balle sera inférieure ou égale à $10$ centimètres.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a
$\begin{align*} h_1&=\left(1-\dfrac{25}{100}\right)h_0 \\
&=0,75\times 3\\
&=2,25\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} h_2&=\left(1-\dfrac{25}{100}\right)h_1 \\
&=0,75\times 2,25\\
&=1,687~5\end{align*}$
$\quad$
On a $h_1-h_0=-0,75$ et $h_2-h_1=-0,562~5$
Ces valeurs sont différentes. La suite $\left(h_n\right)$ n’est donc pas arithmétique.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} h_{n+1}&=\left(1-\dfrac{25}{100}\right)h_n \\
&=0,75\times h_n\end{align*}$
La suite $\left(h_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $h_0=3$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $h_n=3\times 0,75^n$.
Ainsi :
$\begin{align*} h_6&=3\times 0,75^6 \\
&\approx 0,53\end{align*}$
Après $6$ rebonds la hauteur de la balle est environ égale à $0,53$m.
$\quad$
On a la fonction suivante :
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
2&\hspace{1cm}\text{h}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{h}\textcolor{brown}{>}\textcolor{Emerald}{0.1}\text{ :}\\
5&\hspace{2cm}\text{h}\textcolor{brown}{=}\text{h}\textcolor{brown}{*}\textcolor{Emerald}{0.75}\\
6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{1}\\
7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une enquête réalisée dans un camping a donné les résultats suivants :

$60 \%$ des campeurs viennent en famille, les autres viennent entre amis ;
parmi ceux venant en famille, $35 \%$ profitent des activités du camping ;
parmi ceux venant entre amis, $70 \%$ ne profitent pas des activités du camping.

On choisit au hasard un client de ce camping et on considère les événements suivants :
$F$ : « le campeur choisi est venu en famille »,
$A$ : « le campeur choisi profite des activités du camping ».

. Recopier et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :$\quad$
a. Calculer $p\left(F\cap \conj{A}\right)$.
$\quad$
b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Montrer que $p(A)=0,33$.
$\quad$
Sachant que le campeur choisi a profité des activités du camping, calculer la probabilité qu’il soit venu en famille. Arrondir le résultat au centième.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} p\left(F\cap \conj{A}\right)&=p(F)\times p_F\left(\conj{A}\right) \\
&=0,6\times 0,65\\
&=0,39\end{align*}$
$\quad$
b. Cela signifie donc que $39\%$ des clients sont venus en famille et ne profitent pas des activités du camping.
$\quad$
$F$ et $\conj{F}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(A)&=p(F\cap A)+p\left(\conj{F}\cap A\right) \\
&=0,6\times 0,35+0,4\times 0,3 \\
&=0,33\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_A(F)&=\dfrac{p(A\cap F)}{p(A)}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,35}{0,33}\\
&\approx 0,64\end{align*}$
La probabilité que le campeur soit venu en famille sachant qu’il a profité des activités du camping est environ égale à $0,64$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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