E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\sin(7\pi-x)$ est égal à :

a. $\sin x$
b. $-\sin x$
c. $\cos x$
d. $-\cos x$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \sin(7\pi-x)&=\sin(2\times 3\pi+\pi-x)\\
&=\sin(\pi-x)\\
&=\sin(x)\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans laquelle des quatre situations proposées ci-dessous le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$ es-til égal à $6$ ?

a. $ABC$ est un triangle tel que : $AB= 6$, $AC = 4$ et $BC = 8$.
b. Dans un repère orthonormé du plan : $A(-3;5)$, $B(2; -2)$ et $C(1; 7)$.
c. $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que : $AB=3$ et $BC= 2$ .
d. $ABC$ est un triangle tel que : $AB = 6$, $AC=4$ et $\widehat{BAC}=30$°.

$\quad$

Correction Question 2

Si $A(-3;5)$, $B(2; -2)$ et $C(1; 7)$ alors $\vect{AB}\begin{pmatrix}-5\\-7\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}$
Ainsi
$\begin{align*}\vect{AB}.\vect{AC}&=-5\times (-4)+(-7)\times 2\\
&=6\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{3x+4}{x^2+1}$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)$ est égal à :

a. $\dfrac{3}{2x}$
b. $\dfrac{9x^2+8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}$
c. $\dfrac{-3x^2-8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}$
d. $9x^2+8x+3$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3\left(x^2+1\right)-(3x+4)\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{3x^2+3-6x^2-8x}{\left(x^2+1\right)^2}\\
&=\dfrac{-3x^2-8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
L’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2-10x+6y+30=0$ est :

a. une droite
b. une parabole
c. un cercle
d. ni une droite, ni une parabole, ni un cercle.

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*}&x^2+y^2-10x+6y+30=0 \\
\ssi~&x^2-2\times 5x+5^2-5^2+y^2+2\times 3y+3^2-3^2+30=0\\
\ssi~&(x-5)^2+(y+3)^2=4\end{align*}$
Il s’agit donc d’un cercle de centre $A(5;-3)$ et de rayon $2$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La somme $1+5+5^2+5^3+\ldots+5^{30}$ est égale à :

a. $\dfrac{1-5^{30}}{4}$
b. $\dfrac{5^{30}-1}{4}$
c. $\dfrac{1-5^{31}}{4}$
d. $\dfrac{5^{31}-1}{4}$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} S&=1+5+5^2+5^3+\ldots+5^{30} \\
&=\dfrac{1-5^{31}}{1-5} \\
&=\dfrac{5^{31}-1}{4}\end{align*}$

Réponde d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause méridienne et sur les rythmes scolaires.

L’enquête révèle que $55 \%$ des élèves sont favorables à une pause méridienne plus longue.

Parmi ceux qui sont favorables à une pause méridienne plus longue, $95 \%$ souhaitent une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

Parmi ceux qui ne sont pas favorables à une pause méridienne plus longue, seulement $10 \%$ souhaitent une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

On tire au hasard le nom d’un élève du lycée.
On considère les événements suivants :

$L$ : « L’élève concerné est favorable à une pause méridienne plus longue. »
$C$ : « L’élève concerné souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. ».

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

$\quad$
Calculer la probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue et souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
$\quad$
Montrer que $P(C)=0,567~5$
$\quad$
Calculer la probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue sachant qu’il souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$.
$\quad$
Les événements $L$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(L\cap C)&=P(L)\times P_L(C)\\
&=0,55\times 0,95\\
&=0,522~5\end{align*}$
La probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue et souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est égale à $0,522~5$.
$\quad$
$L$ et $\conj{L}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(C)&=P(L\cap C)+P\left(\conj{L}\cap C\right) \\
&=0,522~5+0,45\times 0,1\\
&=0,567~5\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_C(L)&=\dfrac{P(L\cap C)}{P(C)}\\
&=\dfrac{0,522~5}{0,567~5}\\
&\approx 0,920~7\end{align*}$
la probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue sachant qu’il souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est environ égale à $0,920~7$.
$\quad$
On a $P(L)=0,55$ et $P(C)=0,567~5$
Par conséquent $P(L)\times P(C)=0,312~125$ or $P(C\cap L)=0,522~5$
Ces deux valeurs sont différentes. Les événements $L$ et $C$ ne sont donc pas indépendants.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

À l’issue d’une étude conduite pendant plusieurs années, on modélise l’évolution du prix du m$^2$ d’un appartement neuf dans une ville française de la manière suivante :
À partir d’un prix de $4~200$ € le m$^2$ en 2019, on applique chaque année une augmentation annuelle de $3 \%$ .

Avec ce modèle, montrer que le prix du m² d’un appartement neuf dans cette ville en 2021 serait de $4~455,78$ €.
$\quad$
On considère la suite de terme général $\left(u_n\right)$ qui permet d’estimer, avec ce modèle, le prix en euro du m$^2$ d’un appartement neuf l’année 2019$+n$. On a donc $u_0=4~200$.
a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? En préciser la raison.
$\quad$
b. En déduire l’expression du terme général $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
c. Selon ce modèle, pourra-t-on acheter en 2024, un appartement de $40$ m$^2$ si l’on dispose d’une somme de $200~000$ € ?
$\quad$
On définit, en langage Python, la fonction seuil ci-dessous.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def } }\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
2&\hspace{1cm}\text{u}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{4200}\\
3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{u}\textcolor{brown}{<=}\textcolor{Emerald}{8000}\textcolor{brown}{:}\\
5&\hspace{2cm}\text{u}\textcolor{brown}{=\ldots}\\
6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{1}\\
7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{brown}{\ldots}\\
\hline
\end{array}$$
Recopier et compléter les lignes $5$ et $7$ de sorte que cette fonction renvoie le nombre d’années nécessaires pour que, selon ce modèle, le prix du m$^2$ d’un appartement neuf dépasse $8~000$ €.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En 2020, le prix du m$^2$ d’un appartement neuf dans cette ville sera de :
$\begin{align*} 4~200\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right) &=1,03\times 4~200 \\
&=4~326\end{align*}$
En 2021, le prix du m$^2$ d’un appartement neuf dans cette ville sera de :
$\begin{align*} 4~326\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right) &=1,03\times 4~326 \\
&=4~455,78\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_n\\
&=1,03u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_0=4~200$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=4~200\times 1,03^n$.
$\quad$
c. En 2024 on a $n=5$.
Le prix du m$^2$ sera $u_5=4~200\times 1,03^5$
Ainsi l’appartement de $40$ m$^2$ coûtera :
$\begin{align*} P&=40u_5 \\
&=40\times 4~200\times 1,03^5 \\
&\approx 194~758\\
&<200~000\end{align*}$
Selon ce modèle on pourra acheter en 2024 un appartement de $40$ m$^2$ si l’on dispose d’une somme de $200~000$ €.
$\quad$
On obtient la fonction :
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def } }\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
2&\hspace{1cm}\text{u}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{4200}\\
3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{u}\textcolor{brown}{<=}\textcolor{Emerald}{8000}\textcolor{brown}{:}\\
5&\hspace{2cm}\text{u}\textcolor{brown}{=}\text{u}\textcolor{brown}{*}\textcolor{Emerald}{1.03}\\
6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{1}\\
7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=4x^3-48x^2+144x$.
a. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=12\left(x^2-8x+12\right)$.
$\quad$
b. En déduire le tableau variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
Dans une plaque de carton carrée de $12$ cm de côté, on découpe, aux quatre coins, des carrés identiques afin de construire une boîte sans couvercle, comme indiqué sur les figures ci-dessous.
On note $x$ la longueur (en cm) du côté de chacun des carrés découpés.
On admet que $x\in]0;6[$.

L’objectif est de déterminer la longueur $x$ permettant d’obtenir une boîte de volume maximal.
a. Montrer que le volume de la boîte est égal à $100$ cm$^3$ pour $x=1$. Détailler le calcul.
$\quad$
b. Montrer que, pour $x\in]0;6[$, le volume de la boîte est égal à $f(x)$, $f$ étant la fonction étudiée à la question 1.
$\quad$
c. Quelle est la valeur de $x$ permettant d’obtenir une boîte de volume maximal ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=4\times 3x^2-48\times 2x+144\\
&=12x^2-96x+144\\
&=12\left(x^2-8x+12\right)\end{align*}$
$\quad$
b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-8x+12$.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-8)^2-4\times 1\times 12\\
&=16\\
&>0\end{align*}$
Les deux racines réelles sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{8-\sqrt{16}}{2}\\
&=2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{8+\sqrt{16}}{2}\\
&=6\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=1>0$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
a. Si $x=1$ alors le volume de la boîte est :
$\begin{align*} V(1)&=1\times (12-2)^2 \\
&=100\text{ cm}^3\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ appartenant à $]0;6[$ le volume de la boîte est :
$\begin{align*} V(x)&=x\times (12-2x)^2 \\
&=x\left(144-48x+4x^2\right) \\
&=4x^3-48x^2+144x\\
&=f(x)\end{align*}$
$\quad$
c. D’après le tableau de variations de la fonction $f$, le volume est maximal quand $x=2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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