E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, on a : $\vect{AB}\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{CB}\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$. Le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{CB}$ vaut :

a. $-23$
b. $-17$
c. $19$
d. $23$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{CB}&=-4\times (-1)+3\times 5\\
&=19\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé, on a $\vect{CB}\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$. Alors la longueur $CB$ est égale à :

a. $24$
b. $\sqrt{24}$
c. $26$
d. $\sqrt{26}$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} CB&=\sqrt{(-1)^2+5^2}\\
&=\sqrt{26}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $3$.

$I$ et $H$ sont les milieux respectifs de $[CB]$ et de $[AB]$.
$D$ est le projeté orthogonal de $I$ sur $(CH)$.

On a :

a. $\vect{HB}.\vect{HC}=0$
b. $\vect{AH}.\vect{DI}=0$
c. $\vect{AH}.\vect{AI}=0$
d. $\vect{BH}.\vect{DI}=0$

$\quad$

Correction Question 3

$ABC$ est un triangle équilatéral. La médiane $(HC)$ est donc également la hauteur issue de $C$.
Par conséquent $\vect{HB}$ et $\vect{HC}$ sont orthogonaux.
Donc $\vect{HB}.\vect{HC}=0$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soit un réel $x$ tel que $\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. On a :

a. $\cos(-x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
b. $\sin(-x)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$
c. $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $\cos(-x)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a $\cos(-x)=\cos(x)$
Ainsi $\cos(-x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
On considère l’équation de cercle $x^2-2x+(y+3)^2=3$. Son centre a pour coordonnées :

a. $(-1;-3)$
b. $(1;-3)$
c. $(-2;3)$
d. $(-2;-3)$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &x^2-2x+(y+3)^2=3 \\
\ssi~&x^2-2x+1-1+\left(y-(-3)\right)^2=3\\
\ssi~&(x-1)^2+\left(y-(-3)\right)^2=4\end{align*}$
Le centre du cercle a pour coordonnées $(1;-3)$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Au sein d’un lycée, parmi les élèves de première ayant choisi la spécialité
mathématique, il y a $110$ filles dont $5$ ne poursuivent pas la spécialité en terminale et $90$ garçons dont $8$ ne poursuivent pas la spécialité.

On interroge au hasard un élève et on définit les événements suivants :

$F$ l’événement : « L’élève interrogé est une fille »,
$G$ l’événement : « L’élève interrogé est un garçon »,
$S$ l’événement : « L’élève interrogé poursuit la spécialité ».

On donnera les valeurs exactes pour chacune des questions.

Calculer $p(G)$,$p\left(G\cap \conj{S}\right)$ et $p\left(\conj{S}\right)$.
$\quad$
L’élève interrogé ne poursuit pas la spécialité. Calculer la probabilité que ce soit un garçon.
$\quad$
Les événements $G$ et $S$ sont-ils indépendants ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} p(G)&=\dfrac{90}{110+90}\\
&=0,45\end{align*}$
$\begin{align*} p\left(G\cap \conj{S}\right)&=\dfrac{8}{90+110}\\
&=0,04\end{align*}$
$F$ et $G$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p\left(\conj{S}\right)&=p\left(F\cap \conj{S}\right)+p\left(G\cap \conj{S}\right) \\
&=\dfrac{5}{90+110}+\dfrac{8}{90+110}\\
&=0,065\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_{\conj{S}}(G)&=\dfrac{p\left(G\cap \conj{S}\right) }{p\left(\conj{S}\right)} \\
&=\dfrac{0,04}{0,065}\\
&=\dfrac{8}{13}\end{align*}$
La probabilité que l’élève interrogé soit un garçon sachant qu’il ne poursuit pas la spécialité est $\dfrac{8}{13}$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} p(S)&=1-p\left(\conj{S}\right) \\
&=1-0,065\\
&=0,935\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} p(G)\times p(S)&=0,45\times 0,935\\
&=0,420~75\end{align*}$
Or $\begin{align*} p(G\cap S)&=\dfrac{90-8}{90+110}\\
&=0,41\end{align*}$
Ces deux probabilités sont différentes. Les événements $G$ et $S$ ne sont donc pas indépendants.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Partie A

Soit la suite géométrique $\left(un\right)$ de raison $0,999$ et de premier terme $u_0 = 82~695$.

Calculer $u_{19}$.
$\quad$
Calculer $S= u_0+u_1+\ldots+u_{19}$.
$\quad$

Partie B

La population d’un pays s’élevait à $82~695~000$ habitants au premier janvier 2016.
Sans tenir compte des flux migratoires, on estime que la population baisse de $0,1 \%$ chaque année.

Déterminer une estimation de l’effectif de la population de ce pays au premier janvier 2035.
$\quad$

Partie C
Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu’en 2016, le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif et s’élève à $58~700$ personnes.
De plus, on admet que la baisse de $0,1 \%$ de la population ainsi que le solde migratoire restent constants chaque année suivant 2016.

On propose la fonction suivante écrite sous Python :
$$\begin{array}{l}
\textcolor{orange}{\text{def }}\textcolor{blue}{\text{population}}\text{(N):}\\
\hspace{1cm} \text{p=82695000}\\
\hspace{1cm} \textcolor{orange}{\text{for }}\text{I }\textcolor{orange}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range }}\text{(1,N+1):}\\
\hspace{2cm} \text{p=0.999*p+58700}\\
\hspace{1cm} \textcolor{orange}{\text{return }}\text{p}\end{array}$$

Si on saisit : « $\text{population (2)}$ », quelle valeur nous retourne cette fonction ?
$\quad$
Si on saisit : « $\text{population (19)}$ », la valeur arrondie à l’entier retournée par cette fonction est $82~243~175$.
Que représente ce nombre dans le contexte de la partie C ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

On a :
$\begin{align*} u_{19}=82~695 \times 0,999^{19} \\
&\approx 81~137,856\end{align*}$
$\quad$
On obtient :
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots+u_{19}\\
&=82~695\times \dfrac{1-0,999^{20}}{1-0,999} \\
&=82~695~000\left(1-0,999^{20}\right)\\
&\approx 1~638~282\end{align*}$
$\quad$

Partie B

La population de ce pays au premier janvier 2035 serait égale, selon de modèle, à $82~695~000\times \left(1-\dfrac{1}{100}\right)^{19}\approx 81~137~856$ habitants.
$\quad$

Partie C

Voici les valeurs prises par $\text{p}$ si on saisit : « $\text{population (2)}$ »
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
p&82695000&82671005&82647034,995\\
\hline
\end{array}$
Ainsi la fonction $\text{population (2)}$ renvoie la valeur $82647034,995$.
$\quad$
Cela signifie qu’au premier janvier 2035 ce pays comptera $82~243~175$ habitants.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty;2[$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2-4x+8}{x-2}$$
On se place dans un repère orthonormé.

Résoudre $f(x)=0$.
$\quad$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
a. Démontrer que pour tout réel $x$ de $]-\infty;2[$: $$f'(x)=\dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2}$$
$\quad$
b. Déterminer les variations de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente $D$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$.
$\quad$
Tracer la droite $D$ et une esquisse de la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère donné en Annexe à rendre avec la copie.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

Sur $]-\infty;2[$, on a $f(x)=0 \ssi x^2-4x+8=0$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est
$\begin{align*} \Delta&=(-4)^2-4\times 1\times 8\\
&=-16\\
&<0\end{align*}$
Le polynôme ne possède donc pas de racines réelles.
Par conséquent l’équation $f(x)=0$ n’a pas de solution sur $]-\infty;2[$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-\infty;2[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]-\infty;2[$.
Pour tout réel $x<2$ on a :
$\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{(2x-4)(x-2)-\left(x^2-4x+8\right)\times 1}{(x-2)^2} \\
&=\dfrac{2x^2-4x-4x+8-x^2+4x-8}{(x-2)^2}\\
&=\dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2}\end{align*}$
$\quad$
b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-4x$.
Or $x^2-4x=0 \ssi x(x-4)=0 \ssi x=0$ ou $x=4$.
Le coefficient principal du polynôme du second degré $x^2-4x$ est $a=1>0$.
Donc $x^2-4x<0$ sur $]0;4[$ et $x^-4x>0$ sur $]-\infty;0[\cup]4;+\infty[$.
Ainsi $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;0]$ et strictement décroissante sur $[0;2[$.
$\quad$
Une équation de $D$ est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Or $f(1)=-5$ et $f'(1)=-3$
Une équation de $D$ est donc $y=-3(x-1)-5$ soit $y=-3x-2$.
$\quad$
On obtient le graphique suivant :

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence