E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=2x^2+5x-4$.
La tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $2$ a pour équation :

a. $y=14x+14$
b. $y=14x-14$
c. $y=13x-15$
d. $y=13x-12$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(2)(x-2)+g(2)$.
$g(2)=14$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=4x+5$.
$g'(2)=13$.
Une équation de la tangente est donc $y=13(x-2)+14$ soit $y=13x-12$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On se place dans un repère orthonormé du plan. On considère les points $A(4; 8)$, $B(9; 6)$ et $D(2; 11)$. Alors $\vect{AD}.\vect{BD}$ est égal à :

a. $-1$
b. $11$
c. $-31$
d. $29$

$\quad$

Correction Question 2

$\vect{AD}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{BD}\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{BD}&=-2\times (-7)+3\times 5\\
&=29\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite $D$ d’équation $3x-4y+5 = 0$. La droite parallèle à $D$ et passant par $A(4; 8)$ a pour équation :

a. $4x+3y-40=0$
b. $3x-4y-5=0$
c. $3x-4y+20=0$
d. $4x+3y+6=0$

$\quad$

Correction Question 3

La droite parallèle à $D$ passant par le point $A$ a une équation de la forme $3x-4y+c=0$
Elle passe par le point $A(4;8)$.
Donc $12-32+c=0\ssi c=20$
Une équation de cette droite est donc $3x-4y+20=0$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=-1,2$ et de terme initial $u_0=10$. Alors :

a. $0<u_{3~000}<1~000$
b. $u_{3~000}=-3~590$
c. $u_{3~000}>1~000$
d. $u_{3~000}=-36~000$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=10\times (-1,2)^n$
Ainsi :
$\begin{align*} u_{3~000}&=10\times (-1,2)^{3~000} \\
&\approx 3,5 \times 10^{238}\\
&>1~000\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

Remarque : Si ta calculatrice ne te permet pas d’afficher un nombre aussi grand, il faut fonctionner par élimination.
$3~000$ est pair donc $u_{3~000}>0$.
$1,2>1$ la suite des rangs pairs est donc croissante.
On calcule par exemple $u_{100}>1~000$.

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par : $v_0=1$ et $v_{n+1}=4v_n+2$ pour tout entier $n$.

On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n$ est supérieur ou égal à $100~000$. On réalise pour cela le programme incomplet ci-dessous écrit en langage Python : $$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo( ) :}\\
\hspace{1cm}\text{V = 1}\\
\hspace{1cm}\text{n = 0}\\
\hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots\ldots$ :}\\
\hspace{2cm}\text{n = n+1}\\
\hspace{2cm}\text{V = 4 * V + 2}\\
\hspace{1cm}\text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
Pour que le programme retourne la valeur demandée, il faut compléter la partie en pointillé par :

a. $\text{V == 100000}$
b. $\text{V != 100000}$
c. $\text{V > 100000}$
d. $\text{V < 100000}$

$\quad$

Correction Question 5

Il faut saisir la condition contraire à la condition de sortie.
Donc ici $\text{V < 100000}$.

Réponse d

$\quad

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$\quad

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un fromager fait l’inventaire des produits qu’il a en cave.
Le graphique ci-dessous indique la répartition de ses $3$ types de fromages : au lait de chèvre, au lait de vache ou au lait de brebis.

Chacun de ses $3$ types de fromages se partage en deux catégories : frais ou affiné.
Le tableau suivant donne la répartition des fromages de chaque catégorie suivant leur affinage :

$$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
&\text{frais}& \text{affiné}\\
\hline
\text{Lait de vache}& 20 \%& 80 \%\\
\hline
\text{Lait de chèvre}& 40 \%& 60 \%\\
\hline
\text{Lait de brebis}& 70 \% &30 \%\\
\hline
\end{array}$$

Le fromager prend un fromage au hasard. On note les événements suivants :

  • $V$ : « le fromage est fait avec du lait de vache » ;
  • $C$ : « le fromage est fait avec du lait de chèvre » ;
  • $B$ : « le fromage est fait avec du lait de brebis » ;
  • $F$ : « le fromage est frais » ;
  • $A$ : « le fromage est affiné ».
  1. Donner les probabilités $P_C(A)$ et $P(B)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(A) = 0,675$.
    $\quad$
  3. Le fromager prend au hasard un fromage affiné. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un fromage au lait de vache ? On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P_C(A)=0,6$ et $P(B)=0,15$
    $\quad$
  2. $V$, $C$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(A)&=P(A\cap V)+P(A\cap C)+P(A\cap B)\\
    &=0,6\times 0,8+0,25\times 0,6+0,15\times 0,3\\
    &=0,675\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_A(V)&=\dfrac{P(A\cap V)}{P(A)}\\
    &=\dfrac{0,6\times 0,8}{0,675} \\
    &\approx 0,711\end{align*}$
    La probabilité que le fromage pris au hasard soit au lait de vache sachant qu’il est affiné est environ égale à $0,711$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Partie A

Étudier sur $\R$ le signe de $P(x)=-10x^2-40x+120$.
$\quad$

Partie B

On se place dans un repère orthonormé. La courbe $H$ représentée sur le graphique ci -dessous est l’ensemble des points de l’hyperbole d’équation : $$y=\dfrac{10x+4}{x+2}$$
avec $x$ appartenant à l’intervalle $[0;8]$.

Pour toute abscisse 𝑥 dans l’intervalle $[0; 8]$, on construit le rectangle $ABDE$ comme indiqué sur la figure. On donne les informations suivantes :

  • $A$ et $B$ sont sur l’axe des abscisses ;
  • $A$ est d’abscisse $x$ ;
  • $B$ et $D$ ont pour abscisse $8$ ;
  • $E$ appartient à la courbe $H$ ;
  • $D$ et $E$ ont la même ordonnée.

L’objectif de ce problème est de déterminer la ou les valeurs éventuelles $x$ de l’intervalle $[0; 8]$ correspondant à un rectangle $ABDE$ d’aire maximale.

  1. Déterminer l’aire du rectangle $ABDE$ lorsque $x = 0$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’aire du rectangle $ABDE$ lorsque $x = 4$.
    $\quad$

On définit la fonction $f$ qui à tout réel $x$ de $[0; 8]$, associe l’aire du rectangle $ABDE$.
On admet que : $$f(x)=\dfrac{-10x^2+76x+32}{x+2}$$

  1. Répondre au problème posé.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

$P(x)$ est un polynôme du second degré.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-40)^2-4\times (-10)\times 120\\
&=6~400\\
&>0\end{align*}$
Il possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{40-\sqrt{6~400}}{-20} \\
&=2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{40+\sqrt{6~400}}{-20} \\
&=-6\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-10<0$.
Par conséquent :

  • $P(2)=P(-6)=0$;
  • $P(x)<0$ sur $]-\infty;-6[\cup]2;+\infty[$;
  • $P(x)>0$ sur $]-6;2[$.
    $\quad$

Partie B

  1. Si $x=0$ alors l’ordonnée du point $E$ est $\dfrac{4}{2}=2$.
    L’aire du rectangle $ABDE$ est donc égale à $8\times 2=16$.
    $\quad$
  2. Si $x=4$ alors l’ordonnée du point $E$ est $\dfrac{10\times 4+4}{4+2}=\dfrac{22}{3}$.
    L’aire du rectangle $ABDE$ est donc égale à $(8-4)\times \dfrac{22}{3}=\dfrac{88}{3}$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;8]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;8]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;8]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(-10\times 2x+76)(x+2)-\left(-10x^2+76x+32\right)\times 1}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{-20x^2-40x+76x+152+10x^2-76x-32}{(x+2)^2}\\
    &=\dfrac{-10x^2-40x+120}{(x+2)^2}\\
    &=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}\end{align*}$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $P(x)$.
    Par conséquent, la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;2]$ et décroissante sur l’intervalle $[2;8]$.
    L’aire du rectangle $ABDE$ est donc maximale quand $x=2$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On applique une tension sinusoïdale $u$ aux bornes d’un circuit électrique comportant en série une résistance et une diode idéale.

Le temps $t$ est exprimé en seconde.

La tension est donnée par la fonction $u$ définie pour tout réel $t\pg 0$ par : $$u(t)=\sqrt{3}\sin\left(100\pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)$$
La diode est non passante si $u(t) \pp \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et elle est passante si $u(t)>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

  1. La diode est-elle passante à l’instant $t = 0$ ?
    $\quad$
  2. Calculer $u\left(\dfrac{1}{100}\right)$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. On admet que $u\left(t+\dfrac{2}{100}\right)=u(t)$ pour tout $t\pg 0$. En déduire une propriété de la fonction $u$.
    $\quad$
  4. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $u$ sur l’intervalle $[0; 0,02]$ :

    On cherche à savoir au bout de combien de temps la diode devient non passante pour la première fois.
    a. Conjecturer la solution du problème à l’aide du graphique.
    $\quad$
    b. Calculer $u(0,005)$ et conclure.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} u(0)&=\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\
    &=\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
    &=\dfrac{3}{2}\\
    &>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
    La diode est donc passante à l’instant $t=0$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} u\left(\dfrac{1}{100}\right)&=\sqrt{3}\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right) \\
    &=\sqrt{3}\times \left(-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) \\
    &=-d\frac{3}{2}\end{align*}$
    La diode n’est pas passante à l’instant $t=\dfrac{1}{100}$.
    $\quad$
  3. La fonction $u$ est donc périodique de période $T=\dfrac{2}{100}$.
    $\quad$
  4. a. $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87$.
    D’après le graphique, la diode devient non passant pour la première fois au bout de $0,05$ seconde.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} u(0,005)&=\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right) \\
    &=\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
    C’est bien à partir de $0,05$ seconde que la diode devient non passante.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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