E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On définit la fonction $f$ sur $]2,5 ; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{3x+1}{-2x+5}$$
Alors pour tout $x\in ]2,5;+\infty[$, $f'(x)$ est donné par l’expression :

a. $-\dfrac{3}{2}$
b. $\dfrac{17}{(-2x+5)^2}$
c. $\dfrac{13}{(-2x+5)^2}$
d. $-\dfrac{13}{(-2x+5)^2}$

$\quad$

Correction Question 1

La fonction $f$ est dérivable sur $]2,5;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]2,5;+\infty[$.

Pour tout réel $x>2,5$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3(-2x+5)-(-2)(3x+1)}{(-2x+5)^2} \\
&=\dfrac{-6x+15+6x+2}{(-2x+5)^2} \\
&=\dfrac{17}{(-2x+5)^2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère une fonction $f$ polynôme de degré $2$ dont une représentation graphique est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.

Par lecture graphique, on peut affirmer qu’une forme factorisée de $f$ est :

a. $-2(x+1)(x+3)$
b. $-2(x-1)(x-3)$
c. $2(x-1)(x-3)$
d. $2(x+1)(x+3)$

$\quad$

Correction Question 2

La fonction polynôme du second degré est croissante puis décroissante. Son coefficient principal est donc négatif.
Graphiquement ses racines sont $1$ et $3$.
Ainsi $f(x)=-2(x-1)(x-3)$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On se place dans un repère orthogonal. On a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que sa tangente au point $A$.

On a alors :

a. $f'(0)=0$
b. $f'(0)=2$
c. $f'(0)=1$
d. $f'(0)=0,5$

$\quad$

Correction Question 3

$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$.
Graphiquement, cette droite passe par les points $A(0;2)$ et $B(1;3)$
Par conséquent :
$\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{3-2}{0-1} \\
&=1\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
On considère les points $G(1 ; -2)$ et $H(6 ; 4)$.
La droite $(GH)$ passe par le point :

a. $A(-3 ; 2)$
b. $B(2,5 ; 0)$
c. $C(10 ; 12)$
d. $D(-14 ; -20)$

$\quad$

Correction Question 4

On a $\vect{GH}\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$
$\vect{GA}\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$ n’est clairement pas colinéaire à $\vect{GH}$
$\vect{GB}\begin{pmatrix}1,5\\2\end{pmatrix}$ n’est clairement pas colinéaire à $\vect{GH}$
$\vect{GC}\begin{pmatrix}9\\14\end{pmatrix}$ n’est clairement pas colinéaire à $\vect{GH}$
$\vect{GD}\begin{pmatrix}-15\\-18\end{pmatrix}$. $\vect{GD}=-3\vect{GH}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires.
Donc $(GH)$ passe par le point $D$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère un nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]$ tel que $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Alors $\sin(x)$ est égal à :

a. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
b. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
c. $-\dfrac{1}{2}$
d. $\dfrac{1}{2}$

$\quad$

Correction Question 5

$x\in \left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]$ donc $\sin(x)<0$.

$\begin{align*} &\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\\
\ssi~& \dfrac{3}{4}+\sin^2(x)=1 \\
\ssi~& \sin^2(x)=\dfrac{1}{4} \\
\ssi~& \sin(x)=\dfrac{1}{2} \text{ ou } \sin(x)=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Ainsi $\sin(x)=-\dfrac{1}{2}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Camille et Dominique ont été embauchés au même moment dans une entreprise et ont négocié leur contrat à des conditions différentes :

  • Camille a commencé en 2010 avec un salaire annuel de $14~400$ €, alors que le salaire de Dominique était, cette même année, de $13~200$ €.
  • Le salaire de Camille augmente de $600$ € par an alors que celui de Dominique augmente de $4 \%$ par an.
  1. Quels étaient les salaires annuels de Camille et de Dominique en 2012 ?
    $\quad$
  2. On modélise les salaires de Camille et de Dominique à l’aide de suites.
    a. On note $u_n$ le salaire de Camille en l’année 2010 $+𝑛$. On a donc $u_0 = 14~400$.
    Quelle est la nature de la suite $(\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer en quelle année le salaire de Camille dépassera $20~000$ €.
    $\quad$
    c. On note $v_n$ le salaire de Dominique en l’année 2010$+n$.
    Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
    $\quad$
    d. Calculer le salaire de Dominique en 2020. On arrondira le résultat à l’euro.
    $\quad$
  3. On veut déterminer à partir de quelle année le salaire de Dominique dépassera celui de Camille. Pour cela, on dispose du programme incomplet ci-dessous écrit en langage Python.
    Recopier et compléter les quatre parties en pointillé du programme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo( ) :}\\
    \hspace{1cm}\text{A=14400}\\
    \hspace{1cm}\text{B=13200}\\
    \hspace{1cm}\text{n=0}\\
    \hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots\ldots$:}\\
    \hspace{2cm}\text{A=$\ldots\ldots\ldots$}\\
    \hspace{2cm}\text{B=$\ldots\ldots\ldots$}\\
    \hspace{2cm}\text{n=$\ldots\ldots\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Salaires en 2011
    Camille : $14~400+600=15~000$ €
    Dominique : $13~200\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)=13~728$ €
    Salaires en 2012
    Camille : $15~000+600=15~600$ €
    Dominique : $13~728\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)=14~277,12$ €
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n+1}=u_n+600$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $600$ et de premier terme $u_0=14~400$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=14~400+600n$.
    On veut donc résoudre dans $\N$:
    $\begin{align*} u_n>20~000 &\ssi 14~400+600n>20~000 \\
    &\ssi 600n>5~600 \\
    &\ssi n>\dfrac{28}{3}\end{align*}$
    Or $\dfrac{28}{3}\approx 9,3$.
    Par conséquent $n\pg 10$.
    C’est donc à partir de l’année $2020$ que le salaire de Camille dépassera $20~000$ €.
    $\quad$
    c.  Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=v_n\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)\\
    &=1,04v_n\end{align*}$
    $\quad$
    d. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=13~200$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=13~200\times 1,04^n$.
    On a :
    $\begin{align*} v_{10}&=13~200\times 1,04^{10} \\
    &\approx 19~539\end{align*}$
    Le salaire annuel de Dominique en 2020 sera environ égal à $19~539$ €.
    $\quad$
  3. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo( ) :}\\
    \hspace{1cm}\text{A=14400}\\
    \hspace{1cm}\text{B=13200}\\
    \hspace{1cm}\text{n=0}\\
    \hspace{1cm}\text{while A>=B:}\\
    \hspace{2cm}\text{A= A+600}\\
    \hspace{2cm}\text{B= B*1.04}\\
    \hspace{2cm}\text{n= n+1}\\
    \hspace{1cm}\text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1 ; 3)$, $B(5 ; 0)$ et $C(9 ; 3)$.

  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $D$ passant par le point $C$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Démontrer que les droites $D$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    On admet que le point $E(3 ; 1)$ est le point d’intersection de ces deux droites.
  4. Les droites $D$ et $(AB)$ sont-elles perpendiculaires ?
    $\quad$
  5. On donne $AE = 2\sqrt{5}$ et $EC = 2\sqrt{10}$.
    Calculer la mesure en degrés de l’angle $\widehat{AEC}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}$.
    Ainsi une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est de la forme $-3x-6y+c=0$.
    $A(-1;3)$ appartient à cette droite.
    Donc $3-18+c=0\ssi c=15$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $-3x-6y+15=0$ ou encore $x+2y-5=0$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne de la droite $D$ est de la forme $-x+3y+c$.
    $C(9;3)$ appartient à la droite $D$.
    Donc $-9+9+c=0\ssi c=0$.
    Une équation cartésienne de la droite $D$ est donc $-x+3y=0$.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de la droite $D$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}$.
    Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}$.
    det$\left(\vec{u};\vect{AB}\right)=-3\times -3-(-1)\times 6=15\neq 0$.
    Ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
    Par conséquent, les droites $D$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  4. $\vect{AE}\begin{pmatrix}4;-2\end{pmatrix}$ et $\vect{CE}\begin{pmatrix}-6;-2\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{AE}.\vect{CE}&=4\times (-6)+(-2)\times (-2) \\
    &=-24+4\\
    &=-20\\
    &\neq 0\end{align*}$
    Les droites $(D)$ et $(AB)$ ne sont donc pas perpendiculaires.
    Remarque : On pouvait calculer également $\vect{AB}.\vec{u}$ ou det$\left(\vec{n};\vect{AB}\right)$ mais on besoin du produit scalaire $\vect{AE}.\vect{CE}$ à la question suivante.
    $\quad$
  5. On a $\vect{AE}.\vect{CE}=-20$
    et $\vect{AE}.\vect{CE}=AE\times EC\times \cos \widehat{AEC}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} &2\sqrt{5}\times 2\sqrt{10}\cos\widehat{AEC}=-20 \\
    \ssi~& \cos \widehat{AEC}=-\dfrac{20}{20\sqrt{2}} \\
    \ssi~& \cos \widehat{AEC}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{AEC}=135$°
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un parent d’élèves propose un jeu pour la fête de l’école.

Une urne opaque contient 100 billes indiscernables au toucher : $10$ billes rouges, $30$ billes blanches et $60$ billes vertes.

Pour une partie, chaque joueur doit miser $2$ jetons. Ensuite, le joueur prélève une bille au hasard dans l’urne.

  • Si la bille prélevée est rouge, le joueur récupère $8$ jetons.
  • Si la bille est blanche, le joueur récupère $4$ jetons.
  • Si la bille est verte, le joueur ne gagne rien.

On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en nombre de jetons, c’est-à-dire, le nombre de jetons gagnés diminué de la mise.

  1. a. Établir que la loi de probabilité de $X$ est donnée par :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs $a$ prise par $X$}&-2&2&6\\
    \hline
    P(X=a)&0,6&0,3&0,1\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Démontrer que le jeu est équitable, c’est-à-dire que l’espérance de $X$ est nulle.
    $\quad$
    c. Calculer la variance puis l’écart-type de $X$. On arrondira au centième.
    $\quad$
  2. Pour financer les différentes actions de l’école, les organisateurs de la fête veulent modifier le jeu pour qu’il leur devienne favorable. Ils décident alors d’ajouter des billes vertes dans l’urne.
    Combien de billes vertes doit-on ajouter dans l’urne pour que l’espérance du jeu soit égale à $-1$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La loi de probabilité de $X$ est :
    $P(X=-2)=\dfrac{60}{100}=0,6$
    $P(X=2)=\dfrac{30}{100}=0,3$
    $P(X=6)=\dfrac{10}{100}=0,1$
    $\quad$
    b.
    L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,6+2\times 0,3+6\times 0,1\\
    &=0\end{align*}$
    Le jeu est donc équitable.
    $\quad$
    c. La variance de $X$ est :
    $\begin{align*} V(X)&=0,6(-2-0)^2+0,3(2-0)^2+0,1(6-0)^2
    &=7,2\end{align*}$
    L’écart-type de $X$ est :
    $\begin{align*} \sigma(X)&=\sqrt{7,2} \\
    &\approx 2,68\end{align*}$
    $\quad$
  2. On appelle $n$ le nombre de billes vertes ajoutées.
    La loi de probabilité de $X$ devient alors :
    $P(X=-2)=\dfrac{60+n}{100+n}$
    $P(X=2)=\dfrac{30}{100+n}$
    $P(X=6)=\dfrac{10}{100+n}$
    $\begin{align*} E(X)=-1&\ssi \dfrac{-2(60+n)}{100+n}+ \dfrac{2\times 30}{100+n}+\dfrac{6\times 10}{100+n} =-1\\
    &\ssi -2(60+n)+60+60=-100-n\\
    &\ssi -120-2n+120=-100-n\\
    &\ssi n=100\end{align*}$
    Il faut donc ajouter $100$ billes vertes pour que l’espérance du jeu soit égale à $-1$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence