E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

$\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour :

a. $x=\dfrac{5\pi}{6}$
b. $x=\dfrac{4\pi}{3}$
c. $x=-\dfrac{\pi}{3}$
d. $x=-\dfrac{\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 1

On a $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère, on considère la droite $(AB)$ passant par les points $A(-2; 7)$ et $B(4; -5)$. Un vecteur directeur de la
droite $(AB)$ est :

a. $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$
b. $\vec{u}\begin{pmatrix}-12\\6\end{pmatrix}$
c. $\vec{u}\begin{pmatrix}6\\-12\end{pmatrix}$
d. $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-12\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}4-(-2)\\-5-7\end{pmatrix}$ soit $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-12\end{pmatrix}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère, la droite d’équation $y=-2x + 5$ a pour vecteur directeur :

a. $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$
b. $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$
c. $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$
d. $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 3

Le coefficient directeur de cette droite est égal à $-2$. Un vecteur directeur de cette droite est donc $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$.
Le vecteur $\vec{u}=-\vec{v}$ est également un vecteur directeur de cette droite.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère, la représentation graphique d’une parabole $P$ est donnée ci-dessous.

La forme canonique de son équation est :

a. $y=(x+2)^2+5$
b. $y=(x-5)^2+1$
c. $y=(x-1)^2+2$
d. $y=(x-2)^2+1$

$\quad$

Correction Question 4

Le sommet de la parabole a pour coordonnées $(2;1)$.
La forme canonique de son équation est donc $y=(x-2)^2+1$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit le cercle d’équation cartésienne $(x+2)^2+(y-3)^2=9$ dans le
plan muni d’un repère orthonormé :

a. le cercle a pour centre $C(-2;3)$
b. le cercle a pour centre $C(3;-2)$
c. le cercle a pour rayon $R=9^2$
d. le cercle a pour centre $C(2;-3)$

$\quad$

Correction Question 5

une équation cartésienne du cercle est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-3)^2=3^2$.
Le centre de ce cercle est donc $C(-2;3)$ et son rayon $3$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit la fonction $p$ définie sur $\R$ par $p(x)=-x^3+3x^2+9x+5$.

Partie A :

Quelle est l’image de $5$ par $p$ ?
$\quad$
Montrer que pour tout réel $x$, $p(x)=(5-x)\left(x^2+2x+1\right)$.
$\quad$
En déduire le signe de $p(x)$ sur $\R$.
$\quad$

Partie B :

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $p$.
$\quad$
Démontrer que la fonction $p$ admet un maximum sur l’intervalle $[0,5]$ dont on précisera la valeur.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

On a :
$\begin{align*} p(5)&=-5^3+3\times 5^2+9\times 5+5 \\
&=0\end{align*}$
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} &(5-x)\left(x^2+2x+1\right) \\
=~& 5x^2+10x+5-x^3-2x^2-x\\
=~& -x^3+3x^2+9x+5\\
=~& p(x)\end{align*}$
$\quad$
Par conséquent $p(x)=(5-x)(x+1)^2$
Un carré est toujours positif.
Ainsi $p(x)$ est du signe de $5-x$
Or $5-x>0 \ssi x<5$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $p(x)=0 \ssi 5-x=0$ ou $x+1=0$
Ainsi $p(x)=0 \ssi x=5$ ou $x=-1$.
Pour résumé :
– $p(x)<0$ si $x\in[5;+\infty[$
– $p(-1)=p(5)=0$
– $p(x)>0$ si $x\in]-\infty;-1[\cup]-1;5[$
$\quad$

Partie B

La fonction $p$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} p'(x)&=-3x^2+3\times 2x+9 \\
&=-3x^2+6x+9\end{align*}$
$\quad$
On étudie le signe de $p'(x)$.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta &=6^2-4\times (-3)\times 9\\
&=144\end{align*}$
Les deux racines réelles sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{-6}\\
&=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{-6}\\
&=-1\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-3<0$.
Par conséquent : $p'(x)>0$ sur $[0;3[$ et $p'(x)<0$ sur $]3;5]$.
La fonction $p$ admet donc un maximum atteint pour $x=3$ et sa valeur est $p(3)=32$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Au cours de l’hiver, on observe dans une population, $12 \%$ de personnes malades.
Parmi les personnes malades, $36 \%$ d’entre elles pratiquent une activité sportive régulièrement.
Parmi les personnes non malades, $54 \%$ d’entre elles pratiquent une activité sportive régulièrement.
Une personne est choisie au hasard dans la population.
On note $M$ l’événement « la personne est malade » et $S$ l’événement « la personne a une activité sportive régulière ».
Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à $10 ^{-3}$ près.

Recopier et compléter l’arbre pondéré.

$\quad$
a. Quelle est la probabilité que la personne soit malade et qu’elle pratique une activité sportive régulièrement ?
$\quad$
b. Montrer que la probabilité que la personne pratique une activité sportive régulièrement est égale à $0,518~4$.
$\quad$
La personne choisie n’a pas d’activité sportive régulière. Quelle est la probabilité pour qu’elle soit malade ?
$\quad$
Un journaliste annonce qu’une pratique régulière d’une activité sportive diminue par deux le risque de tomber malade. Que peut-on conclure sur la pertinence de cette annonce ? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} P(S\cap M)&=P(M)\times P_M(S) \\
&=0,12\times 0,36\\
&=0,043~2\end{align*}$
La probabilité que la personne soit malade et qu’elle pratique une activité sportive régulièrement est égale à $0,043~2$.
$\quad$
b. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(S)&=P(M\cap S)+P\left(\conj{M}\cap S\right)\\
&=0,12\times 0,36+0,88\times 0,54\\
&=0,518~4\end{align*}$
La probabilité que la personne pratique une activité sportive régulièrement est égale à $0,518~4$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{S}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{S}\cap M\right)}{P\left(\conj{S}\right)} \\
&=\dfrac{0,12\times 0,64}{1-0,518~4} \\
&\approx 0,159\end{align*}$
$\quad$
On calcule :
$\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{P(S\cap M)}{P(S)} \\
&=\dfrac{0,12 \times 0,36}{0,518~4} \\
&\approx 0,083\end{align*}$
Or $\dfrac{0,159}{2} \neq 0,083$.
L’affirmation est donc fausse.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2012, un artisan batelier a transporté $300$ tonnes de marchandises sur sa péniche.
Il augmente sa cargaison chaque année de $11 \%$ par rapport à l’année précédente.

On modélise alors la quantité en tonnes de marchandises transportées par l’artisan batelier par une suite $\left(u_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est la quantité en tonnes de marchandises transportées en (2012 $+n$). Ainsi $u_0 = 300$.

a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Le batelier décide qu’à partir de $1~000$ tonnes transportées dans l’année, il achètera une péniche plus grande.
a. Recopier et compléter l’algorithme suivant, écrit en langage Python, afin de déterminer en quelle année il devra changer de péniche :$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{u=300}\\
\text{n=0}\\
\text{while $\ldots$ :}\\
\hspace{1cm}\text{u=$\ldots$}\hspace{1cm}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. En quelle année changera-t-il de péniche ?
$\quad$
Une tonne transportée est payée au batelier $15$ €.
La proposition : « Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 de l’artisan batelier sera supérieur à $70~000$ € » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{11}{100}\right) u_n\\
&=1,11u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,11$ et de premier terme $u_0=300$.
$\quad$
b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=300\times 1,11^n$.
$\quad$
a. On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{u=300}\\
\text{n=0}\\
\text{while u<1000 :}\\
\hspace{1cm}\text{u=u*1.11}\hspace{1cm}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. $1,11>1$ et $u_0>0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
On a
$\begin{align*} u_{11}&=300\times 1,11^{11} \\
&\approx 946\\
&<1~000\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_{12}&=300\times 1.11^{12}\\
&\approx 1~049\\
&>1~000\end{align*}$
Par conséquent, le batelier changera de péniche en 2024.
$\quad$
Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 est :
$\begin{align*} C&=15\left(u_0+u_1+\ldots+u_7\right)\\
&=15\times 300\times \dfrac{1-1,11^{8}}{1-1,11}\\
&\approx 53~367\\
&<70~000\end{align*}$
La proposition est donc fausse.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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