E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}(-2;4)$ et $\vec{v}(3;-6)$.
Le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ est égal à :

a. $18$
b. $-30$
c. $0$
d. $24$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-2\times 3+4\times (-6)\\
&=-30\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère le triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC==7$ et $\widehat{BAC}=60$°.
Quelle est la longueur du côté $[BC]$ ?

a. $BC=\sqrt{109}$
b. $BC=\sqrt{74}$
c. $BC=-35\sqrt{3}+74$
d. $BC=\sqrt{39}$

$\quad$

Correction Question 2

On a d’une part :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=35\cos 60\\
&=17,5\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} &\vect{AB}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)\\
\ssi~& 17,5=\dfrac{1}{2}\left(25+49-BC^2\right)\\
\ssi~& 35=74-BC^2 \\
\ssi~& BC^2=39\end{align*}$
Par conséquent $BC=\sqrt{39}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le cercle $C$ de centre $A(2; 3)$ et de rayon $R = 4$.
Parmi les équations suivantes, laquelle est une équation du cercle $C$ ?

a. $x^2+4x+y^2+6y+9=0$
b. $x^2+4x+y^2+6y-3=0$
c. $x^2-4x+y^2-6y-3=0$
d. $x^2-4x+y^2-6y+9=0$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation du cercle $C$ est
$\begin{align*} &(x-2)^2+(y-3)^2=4^2\\
\ssi~&x^2-4x+4+y^2-6y+9=16\\
\ssi~&x^2-4x+y^2-6y-3=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Le réel $\dfrac{-23\pi}{3}$ a le même point image sur le cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-\pi}{3}$
b. $\dfrac{\pi}{3}$
c. $\dfrac{-2\pi}{3}$
d. $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 4

On calcule les différences entre $\dfrac{-23\pi}{3}$ et les réponses proposées. Les deux réels ont le même point image si cette différence est un multiple de $2\pi$.

$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{-\pi}{3}=\dfrac{-22\pi}{3}$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=-8\pi=-4\times 2\pi \checkmark$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{-2\pi}{3}=\dfrac{-21\pi}{3}$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-25\pi}{3}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère l’algorithme suivant écrit en langage Python :
$$\begin{array}{ll}
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textbf{liste}\text{(N):}\\
2&\hspace{1cm}\text{U=}\textcolor{brown}{1}\\
3&\hspace{1cm}\text{L=[U]}\\
4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{brown}{1}\text{,N):}\\
5&\hspace{2cm}\text{U=}\textcolor{brown}{2}\text{*U+}\textcolor{brown}{3}\\
6&\hspace{2cm}\text{L.append(U)}\\
7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(L)}\end{array}$$
Que contient la variable $\text{L}$ à la fin de l’exécution dans le cas où on choisit $\text{N=4}$?

a. $\text{[1,5,13,29,61]}$
b. $\text{[1,5,13,29]}$
c. $\text{61}$
d. $\text{9}$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction Python renvoie une liste de longueur contenant $4$ éléments.

Réponse b

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une urne contient deux boules rouges et trois boules noires toutes indiscernables au toucher.
On tire au hasard une première boule en notant sa couleur puis on la remet dans l’urne.
On tire ensuite toujours au hasard une deuxième boule en notant sa couleur.
On note $R$ l’évènement « tirer une boule rouge » et $N$ l’évènement « tirer une boule noire ».

Recopier et compléter sur la copie l’arbre pondéré ci-dessous associé à cette expérience.

$\quad$
Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
$\quad$
Si un joueur tire une boule rouge, il gagne 20 euros. S’il tire une boule noire, il perd $10$ euros.
On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur, en euros, à l’issue des deux tirages successifs.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
$\quad$
Calculer la probabilité que le joueur gagne de l’argent.
$\quad$
Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré :

$\quad$
La probabilité de tirer deux boules rouges est :
$\begin{align*} P(R\cap R)&=P(R)\times P_R(R)\\
&=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{2}{5} \\
&=\dfrac{4}{25}\end{align*}$
$\quad$
La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $-20$, $10$ et $40$.
$\begin{align*} P(X=-20)&=P(N\cap N)\\
&=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5}\\
&=\dfrac{9}{25}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=40)&=P(R\cap R)\\
&=\dfrac{4}{25}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=10)&=1-\left(P(X=-20)+P(X=40)\right)\\
&=1-\dfrac{13}{25}\\
&=\dfrac{12}{25}\end{align*}$
$\quad$
Remarque : Les 2 tirages sont aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que 2 issues : $R$, de probabilité $\dfrac{2}{5}$ et $\conj{R}$.
La variable aléatoire $Y$ comptant le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p=\dfrac{2}{5}$.
On a alors $P(X=-20) = P(Y=0)$, $P(X=10) =P(Y=1)$ et $P(X=40)=P(Y=2)$.
Avec $P(Y=k)=\dbinom{2}{k} \left(\dfrac{2}{5}\right)^k\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2-k}$ pour tout $k\in \{0,~1,~2\}$.
$\quad$
La probabilité qu’il gagne de l’argent est égale à $P(X=10)+P(X=40)=\dfrac{16}{25}$.
$\quad$
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-20 P(X=-20)+10P(X=10)+40P(X=40)\\
&=-20\times \dfrac{9}{25}+10\times \dfrac{12}{25}+40\times \dfrac{4}{25} \\
&=4\end{align*}$
Cela signifie qu’en moyenne, sur un grand nombre de parties, un joueur va gagner $4$ € par partie.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère les suites $\left(u_n\right)_{n\pg 0}$ et $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$ définies par $u_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+3$ et $v_n=u_n-6$.

Montrer que la suite $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $1$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On note $S=v_0+v_1+\ldots+v_{100}$ la somme des $101$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$.
a. Déterminer la valeur de $S$.
$\quad$
b. En déduire la valeur de la somme des $101$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)_{n\pg 0}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-6 \\
&=0,5u_n+3-6\\
&=0,5u_n-3\\
&=0,5\left(u_n-6\right)\\
&=0,5v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_0=u_0-6=1$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=1\times 0,5^n$ soit $v_n=0,5^n$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_n&=v_n+6\\
&=0,5^n+6\end{align*}$
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} S&=\dfrac{1-0,5^{101}}{1-0,5}\\
&=2\left(1-0,5^{101}\right)\end{align*}$
$\quad$
b. La somme des $101$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)_{n\pg 0}$ est :
$\begin{align*} S’&=S+101\times 6 \\
&=2\left(1-0,5^{101}\right)+606\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble $\R$ des nombre réels par $f(x)=3x^3-5x^2+2$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Donner l’expression de $f'(x)$, pour tout nombre réel $x$.
$\quad$
On note $T$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-1$.
Donner l’équation réduite de la tangente $T$.
$\quad$
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=3x^3-4x+1$.
On note $C_g$ sa courbe représentative dans le même repère que la courbe $C_f$.
a. Montrer que pour tout nombre réel $x$,$f(x)-g(x)=-5x^2+4x+1$.
$\quad$
b. Étudier sur $\R$ le signe de $f(x)-g(x)$.
$\quad$
c. En déduire pour quelles valeurs de $x$ la courbe $C_f$ est au-dessus de la courbe $C_g$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin {align*} f'(x)&=3\times 3x^2-5\times 2x\\
&=9x^2-10x\end{align*}$
$\quad$
Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(-1)$
Or $f(-1)=-6$ et $f'(-1)=19$
Une équation de $T$ est donc $y=19(x+1)-6$ soit $y=19x+13$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)-g(x)&=3x^3-5x^2+2-\left(3x^3-4x+1\right) \\
&=3x^3-5x^2+2-3x^3+4x-1\\
&=-5x^2+4x+1\end{align*}$
$\quad$
b. $-5x^2+4x+1$ est un polynôme du second degré.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times (-5)\times 1\\
&=36\\
&>0\end{align*}$
Ses deux racines réelles sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{36}}{-10}\\
&=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{36}}{-10}\\
&=-\dfrac{1}{5}\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-5<0$.
Par conséquent :
– $f(x)-g(x)>0$ sur $\left]-\dfrac{1}{5};1\right[$
– $f(x)-g(x)<0$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{5}\right[\cup]1;+\infty[$
– $f(x)-g(x)=0$ si $x\in \left\{-\dfrac{1}{5};1\right\}$
$\quad$
c. Par conséquent $C_G$ est au-dessus de $C_f$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{5}\right[\cup]1;+\infty[$ et au-dessous sur $\left]-\dfrac{1}{5};1\right[$. Les abscisses des points d’intersection des deux courbes sont $-\dfrac{1}{5}$ et $1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence