E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des cinq questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre qui correspond à la réponse choisie.

Question 1

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ tels que $AB = 2$ ; $AC = \sqrt{3}$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{5\pi}{6}$.
Alors $\vect{AB}.\vect{AC}=$

a. $2\sqrt{3}$
b. $3$
c. $-2\sqrt{3}$
a. $-3$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=2\sqrt{3}\cos \left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \\
&=2\sqrt{3}\times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
&=-3\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $a$ un nombre réel. On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}\sin(a)\\\cos(a)\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-\cos(a)\\\sin(a)\end{pmatrix}$. Alors $\vec{u}.\vec{v}$ est égal à

a. $\sin^2(a)+\cos^2(a)$
b. $1$
c. $\sin^2(a)-\cos^2(a)$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\sin(a)\times \left(-\cos(a)\right)+\cos(a)\times \sin(a) \\
&=0\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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Question 3

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère les points $A(2;8)$, $B\left(\dfrac{25}{3};0\right)$, $C(7;5-5)$ et $D(3;0)$.
Alors, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont :

a. parallèles
b. perpendiculaires
c. sécantes
d. confondues

$\quad$

Correction Question 3

$\vect{AB}\begin{pmatrix}\dfrac{19}{3}\\-8\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix}-4;5\end{pmatrix}$

det$\left(\vect{AB},\vect{CD}\right)=\dfrac{19}{3}\times 5-(-8)\times (-4)\neq 0$ : les droites ne sont donc ni confondues, ni parallèles.

$\vect{AB}.\vect{CD}=\dfrac{19}{3}\times (-4)+(-8)\times 5\neq 0$ : les droites ne sont pas perpendiculaires.

Elles sont donc sécantes.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ non nul par $f(x)=\dfrac{3}{x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans ce repère. L’équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=-3x+6$
b. $y=-3x$
c. $y=3x$
d. $y=3x+6$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable pour tout $x\neq 0$.
On a alors $f'(x)=-\dfrac{3}{x^2}$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Or $f(1)=3$ et $f'(1)=-3$.
Une équation de la tangente est donc $y=-3(x-1)+3$ soit $y=-3x+6$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

L’ensemble des solutions dans $\R$ de l’équation $x^2=6x-5$ est :

a. $S=\left\{1;5\right\}$
b. $S=\left\{1\right\}$
c. $S=\emptyset$
d. $S=\left\{-5;-1\right\}$

$\quad$

Correction Question 5

$x^2=6x-5\ssi x^2-6x+5=0$
Le discriminant associé à cette équation du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &=(-6)^2-4\times 1\times 5\\
&=16\\
&>0\end{align*}$
Les deux solutions réelles sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{16}}{2}\\
&=-5\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{16}}{2} \\&=-1\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Maxime participe à un jeu qui se déroule en deux parties :

  • La probabilité qu’il gagne la première partie est de $0,2$.
  • S’il gagne la première partie, il gagne la deuxième avec une probabilité de $0,9$.
  • S’il perd la première partie, il perd la suivante avec une probabilité de $0,6$.

On note :

  • $G_1$ l’événement « Maxime gagne la première partie »
  • $G_2$ l’événement « Maxime gagne la première partie »

Partie A

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Maxime gagne les deux parties du jeu.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que Maxime gagne la deuxième partie du jeu est $0,5$.
    $\quad$

Partie B

On sait de plus que :

  • -à chaque partie gagnée, le joueur gagne $1,5$ €.
  • à chaque partie perdue, il perd $1$ €.

On note $X$ la variable aléatoire qui correspond au gain algébrique en euros de Maxime à l’issue des deux parties.

  1. Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs de $X$}&&&3&\text{Total}\\
    \hline
    \text{Probabilité}&\phantom{0,18}&\phantom{0,18}&0,18&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Déterminer si ce jeu est équitable. Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. La probabilité que Maxime gagne les deux parties du jeu est :
    $\begin{align*} P\left(G_1\cap G_2\right)&=P\left(G_1\right)\times P_{G_1}\left(G_2\right) \\
    &=0,2\times 0,9\\
    &=0,18\end{align*}$
    $\quad$
  3. $G_1$ et $\conj{G_1}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(G_2\right)&=P\left(G_1\cap G_2\right)+P\left(\conj{G_1}\cap G_2\right) \\
    &=0,18+0,8\times 0,4\\
    &=0,5\end{align*}$
    La probabilité que Maxime gagne la deuxième partie du jeu est $0,5$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs de $X$}&-2&0,5&3&\text{Total}\\
    \hline
    \text{Probabilité}&0,48&0,34&0,18&1\\
    \hline
    \end{array}$
    En effet :
    – $P(X=-2)=0,8\times 0,6=0,48$
    – $P(X=0,5)=1-(0,48+0,18)=0,34$
    $\quad$
  2. L’espérance de la variable $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,48+0,5\times 0,34+3\times 0,18 \\
    &=-0,25\end{align*}$
    Par conséquent $E(X)\neq 0$. Le jeu n’est donc pas équitable.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une personne souhaite louer une maison à partir du 1$\ier $ janvier 2020 et a le choix entre deux formules de contrat :

  • Contrat n°1 : le loyer augmente chaque année de $200$ €.
  • Contrat n°2 : le loyer augmente chaque année de $5 \%$.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $u_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat n°1.
  • $v_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat n°2.

Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de $3~600$ €. On a donc $u_0 = v_0 = 3~600$.

  1. Étude de la suite $\left(u_n\right)$
    a. Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat n°1.
    $\quad$
    b. Déterminer l’expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
    $\quad$
  2. Étude de la suite $\left(v_n\right)$
    a. Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat n°2.
    $\quad$
    b. Déterminer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
    $\quad$
  3. On considère le script suivant, écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u = 3600}\\
    \text{v = 3600}\\
    \text{n = 0}\\
    \text{while u>=v :}\\
    \hspace{1cm}\text{u = u + 200}\\
    \hspace{1cm}\text{v = 1.05*v}\\
    \hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après exécution, la variable $n$ contient la valeur $6$. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. En 2021, le loyer sera de $3~600+200=3~800$ € pour le contrat n°1.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n+200$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $200$ et de premier terme $u_0=3~600$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3~600+200n$.
    Ainsi en 2030, $n=10$
    Donc
    $\begin{align*}u_{10}&=3~600+200\times 10\\
    &=5~600\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. En 2021, le loyer sera de $3~600\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)=3~780$ € pour le contrat n°2.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_n \\
    &= 1,05u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0=3~600$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3~600\times 1,05^n$
    En 2030, $n=10$
    $\begin{align*} u_{10}&=3~600\times 1,05^{10}\\
    &\approx 5~864,02\end{align*}$
    Le loyer annuel sera environ égal à $5~864,02$ € en 2030.
    $\quad$
  3. Il faut donc $6$ ans pour que le loyer annuel du contrat n°2 soit supérieur à celui du contrat n°1.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Des pucerons envahissent une roseraie.
On introduit alors des coccinelles, prédatrices des pucerons, à l’instant $t=0$, et on s’intéresse à l’évolution du nombre de pucerons à partir de cet instant et sur une période de $20$ jours.

Partie A :

Dans le repère ci-dessous, on a tracé :

  • La courbe $\mathcal{C}$ représentant le nombre de milliers de pucerons en fonction du nombre de jours écoulés depuis l’introduction des coccinelles.
  • La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ passe par les points $A(0 ; 2,1)$ et $B(2 ; 4,3)$.

  1. Déterminer par lecture graphique le nombre de pucerons à l’instant où l’on introduit les coccinelles puis le nombre maximal de pucerons sur la période de $20$ jours.
    $\quad$
  2. On assimile la vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t$ au nombre dérivé $f'(t)$.
    Déterminer graphiquement la vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t=0$.
    $\quad$

Partie B :

On modélise l’évolution du nombre de pucerons par la fonction $f$ définie, pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 20]$, par : $$f(t)=0,003t^3-0,12t^2+1,1t+2,1$$
où $t$ représente le nombre de jours écoulés depuis l’introduction des coccinelles et $f(t)$ le nombre de pucerons en milliers.

  1. Déterminer $f'(t)$ pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 20]$ où $f’$ désigne la dérivée de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de signes de $f'(t)$ sur l’intervalle $[0 ; 20]$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 20]$. Préciser les images des valeurs de $t$ apparaissant dans le tableau.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. À l’instant où l’on introduit les coccinelles il y a environ $2~200$ pucerons.
    Au maximum, il y avait environ $5~000$ pucerons sur cette période de $20$ jours.
    $\quad$
  2. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{2,1-4,3}{0-2} \\
    &=1,1\end{align*}$
    La vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t=0$ était de $1~100$ pucerons par jour.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;20]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;20]$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=0,003 \times 3t^2-0,12\times 2t+1,1 \\
    &=0,009t^2-0,24t+1,1\end{align*}$
    $\quad$
  2. $f'(t)$ est un polynôme du second degré.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-0,24)^2-4\times 0,009\times 1,1\\
    &=0,018\\
    &>0\end{align*}$
    Ses racines sont :
    $\begin{align*} t_1&=\dfrac{0,24-\sqrt{0,018}}{0,018}\\
    &=\dfrac{40-10\sqrt{5}}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} t_2&=\dfrac{0,24+\sqrt{0,018}}{0,018}\\
    &=\dfrac{40+10\sqrt{5}}{3}\end{align*}$
    On a $t_1\in[0;20]$ et $t_2\notin [0;20]$
    Le coefficient principal est $a=0,009>0$.
    On obtient le tableau de signes et de variations suivant :

    avec $f\left(t_1\right) \approx 5,03$
    $\quad$
  3. voir tableau précédent$\quad$

[collapse]

$\quad$

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