E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(-1;0)$ et $(-3;4)$ dans un repère orthonormé du plan. Alors $\norme{\vec{u}-\vec{v}}$ est égale à :

a. $4\sqrt{2}$
b. $\sqrt{32}$
c. $20$
d. $2\sqrt{5}$

$\quad$

Correction Question 1

$\vec{u}-\vec{v}$ a pour coordonnées $(-2;4)$.
Ainsi :
$\begin{align*} \norme{\vec{u}-\vec{v}}&=\sqrt{(-2)^2+4^2} \\
&=\sqrt{20}\\
&=2\sqrt{5}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le tableau de signes de la fonction polynôme définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x+5$ est :

$\quad$

Correction Question 2

Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times 5\\
&=-16\\
&<0\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=1>0$.
Par conséquent $f(x)>0$ sur $\R$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$, l’équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ a pour solution(s)

a. $\dfrac{\pi}{6}$
b. $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$
c. $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$
d. $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 3

$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ .
De plus $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$ appartiennent bien à l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=15$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=0,8u_n+1$$
On a écrit la fonction $\text{suite()}$ ci-dessous en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite():}\\
\hspace{1cm}\text{n=0}\\
\hspace{1cm}\text{u=15}\\
\hspace{1cm}\text{while u>6:}\\
\hspace{2cm}\text{n=n+1}\\
\hspace{2cm}\text{u=0.8*u+1}\\
\hspace{1cm}\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
L’appel de cette fonction renvoie :

a. Le plus petit entier $n$ tel que $u_n >
b. Le plus petit entier $n$ tel que $u_n\pp 6$
c. Le premier terme de la suite tel que $u_n>6$
d. Le premier terme de la suite tel que $u_n\pp 6$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction renvoie la variable $\text{n}$ qui correspond au rang d’un terme de la suite. On exclut donc les réponses c. et d.
La condition d’arrêt de la boucle $\text{while}$ est $\text{u<=6}$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\e^{3x-5}\times \e^{4-3x}$ est égal à :

a. $\dfrac{1}{\e}$
b. $\e^{(3x-5)\times (4-3x)}$
c. $\e$
d. $\e^{-9x^2+27x-20}$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \e^{3x-5}\times \e^{4-3x}&=\e^{3x-5+4-3x}\\
&=\e^{-1}\\
&=\dfrac{1}{\e}
\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le président d’un club de handball a constaté une augmentation du nombre d’adhérents dans son club depuis 2016 (toutes catégories confondues). En effet en 2016, il y avait $377$ adhérents, $396$ en 2017 et $416$ en 2018. Ce qui correspond à une hausse chaque année d’environ $5 \%$.
Il souhaite faire une estimation pour les années à venir, en supposant que cette hausse de $5 \%$ par an se poursuit.
On modélise le nombre d’adhérents l’année 2018$+n$ par la suite de terme général $u_n$.
On a donc $u_0 = 416$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir les résultats à l’unité.
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser son premier terme et sa raison.
    $\quad$
  3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  4. Calculer $u_7$. Interpréter ce résultat par rapport aux données de l’énoncé.
    $\quad$
  5. À partir de quelle année le président du club peut-il espérer dépasser les $700$ adhérents ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_0 \\
    &=1,05\times 416 \\
    &=436,8\\
    &\approx 437\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_1 \\
    &=1,05\times 436,8 \\
    &=458,64\\
    &\approx 459\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_n \\
    &=1,05\times u_n \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0=416$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=416\times 1,05^n$.
    $\quad$
  4. Ainsi $u_7=416\times 1,05^7\approx 585$.
    En 2025 le nombre d’adhérents sera environ égal à $585$.
    $\quad$
  5. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>700$.
    On a $1,05>1$ et $u_0>0$ : la suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    On a $u_{10}\approx 677$ et $u_{11}\approx 712$.
    C’est donc à partir de 2029 que le président du club peut espérer dépasser les $700$ adhérents.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un artisan fabrique de la confiture qu’il vend à un grossiste. Le coût, en euros, de fabrication de $x$ kilos de confiture est :
$\hspace{3cm}C(x)=0,1x^2+0,7x+100$, pour $x\in [0; 160]$.

  1. Chaque kilo est vendu $14$ €. Exprimer la recette $R$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  2. Soit $B$ la fonction représentant le bénéfice de l’artisan, définie sur $[0; 160]$.
    $B$ a pour expression $B(x)=-0,1x^2+13,3x-100$.
    Étudier le signe de $B(x)$. En déduire l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre de kilos de confiture à vendre pour que l’artisan réalise un bénéfice positif.
    $\quad$
  3. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$.
    a. Déterminer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de $B$ sur l’intervalle $[0; 160]$.
    $\quad$
    c. Donner le nombre de kilos à vendre pour que le bénéfice soit maximal ainsi que son montant.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;160]$ on a $R(x)=14x$.
    $\quad$
  2. $B(x)$ est un polynôme du second degré.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=13,3^2-4\times (-0,1)\times (-100)\\
    &=136,89\\
    &>0\end{align*}$
    Ses deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-13,3-\sqrt{136,89}}{-0,2}\\
    &=125\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-13,3+\sqrt{136,89}}{-0,2}\\
    &=8\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=-0,1<0$.
    Ainsi le bénéfice est positif si l’artisan vend entre $8$ et $120$ kilogrammes de confiture.
    $\quad$
  3. a. La fonction $B$ est dérivable sur l’intervalle $[0;160]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x \in[0;160]$ on a $B'(x)=-0,2x+13,3$.
    $\quad$
    b. $-0,2x+13,3=0 \ssi -0,2x=-13,3\ssi x=66,5$
    $-0,2x+13,3>0 \ssi -0,2x>-13,3 \ssi x<66,5$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations, le bénéfice est maximal quand l’artisan vend $65,5$ kilogrammes de confiture. Ce bénéfice est alors égale à $342,125$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On dispose d’un dé équilibré à six faces et de deux urnes U et V contenant des boules blanches ou rouges, indiscernables au toucher.
L’urne U contient $40$ boules blanches et $60$ boules rouges.
L’urne V contient $70$ boules blanches et $30$ boules rouges.

Un jeu consiste à lancer le dé puis tirer une boule dans l’une des urnes. Si on obtient $1$ ou $6$ sur le dé, le tirage s’effectue dans l’urne U. Si on obtient $2$, $3$, $4$ ou $5$ sur le dé, le tirage s’effectue dans l’urne V.
On considère les événements :
$\hspace{1cm}U$ : « le tirage s’effectue dans l’urne U »
$\hspace{1cm}V$ : « le tirage s’effectue dans l’urne V »
$\hspace{1cm}B$ : « la boule tirée est blanche »
$\hspace{1cm}R$ : « la boule tirée est rouge ».
Sauf indication contraire, les probabilités seront arrondies au millième.

    1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
      $\quad$
    2. Déterminer la probabilité de l’évènement « la boule tirée est rouge ».
      $\quad$
    3. On tire une boule rouge. Quelle est la probabilité qu’elle ait été tirée dans l’urne U ?
      $\quad$
    4. Pour jouer, il faut miser $1$ €. Le joueur gagne $3$ € s’il tire une boule rouge et il ne gagne rien s’il tire une boule blanche. On note $G$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur.
      a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$.
      On donnera le tableau de la loi de probabilité, mais aucune justification n’est demandée.
      $\quad$
      b. Calculer l’espérance mathématique de $G$. Interpréter ce résultat.
      $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $U$ et $V$ forment un système complet d”événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(U\cap R)+P(V\cap R)\\
    &=\dfrac{1}{3}\times 0,6+\dfrac{2}{3}\times 0,3\\
    &=0,4\end{align*}$
    La probabilité de l’évènement « la boule tirée est rouge » est égale à $0,4$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(U)&=\dfrac{P(U\cap R)}{P(R)}\\
    &=\dfrac{0,6\times \dfrac{1}{3}}{0,4}\\
    &=0,5\end{align*}$
    La probabilité que la boule ait été tirée dans l’urne U sachant qu’elle est rouge est égale à $0,5$.
    $\quad$
  4. a. On obtient la loi de probabilité suivante:
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    g_i&2&-1\\
    \hline
    P\left(G=g_i\right)&0,4&0,6\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. L’espérance mathématique de $G$ est :
    $\begin{align*} E(G)&=2\times 0,4+(-1)\times 0,6\\
    &=0,2\end{align*}$
    En moyenne, un joueur gagne $0,2$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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