E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes.Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-1;4]$.
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et la tangente à cette courbe au point $A$ de coordonnées $(2;2)$.

L’équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est :

a. $y=\dfrac{2}{3}(x-2)+2$
b. $y=2(x-2)+\dfrac{2}{3}$
c. $y=\dfrac{2}{3}(x+2)+2$
d. $y=\dfrac{3}{2}(x-2)+2$

$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient directeur de la tangente est :
$\begin{align*} m&=\dfrac{4-2}{5-2}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
De plus $f(2)=2$
Une équation de la tangente est donc $y=\dfrac{2}{3}(x-2)+2$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormal $(O;I,J)$, le point $A$, placé ci-dessous sur le cercle trigonométrique de centre $O$ d’origine $I$, est associé au nombre réel :

a. $\dfrac{11\pi}{6}$
b.
$\dfrac{2\pi}{3}$
c. $-\dfrac{2\pi}{3}$
d. $-\dfrac{3\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 2

L’abscisse du point $A$ semble être égale à $-0,5$ et son ordonnée est négative.
Or $\cos \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-0,5$ et $\sin \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)<0$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On considère une fonction du second degré $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=ax^2+bx$$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels strictement positifs.
Quelle est la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormé?

$\quad$

Correction Question 3

Le discriminant de cette fonction du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=b^2-4\times a\times 0\\
&=b^2\\
&>0\end{align*}$
L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions réelles.
De plus, le coefficient principal est $a>0$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé une droite $\mathcal{D}$ a pour équation $x-2y=1$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte?

a. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
b. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal de la droite $\mathcal{D}$.
c. Le point de coordonnées $A(1;-2)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
d. L’ordonnée à l’origine de la droite $\mathcal{D}$ est égale à $1$.

$\quad$

Correction Question 4

Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal de la droite $\mathcal{D}$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Un homme marche pendant $10$ jours. Le premier jour, il parcourt 12 km. Chaque jour, il parcourt $500$ m de moins que la veille. Durant ces dix jours, il aura parcouru au total :

a. $95$ km
b. $97,5$ km
c. $19$ km
d. $84$ km

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $u_n$ la distance parcourue le $n$-ième jour, en kilomètres.
On a ainsi $u_1=12$ et pour tout entier naturel $n$ compris entre $1$ et $9$ on a $u_{n+1}=u_n-0,5$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-0,5$ et de premier terme $u_1=12$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12-0,5n$
Ainsi $u_{10}=7$.
La distance totale parcourue est donc :
$\begin{align*} D&=10\times \dfrac{u_1+u_{10}}{2} \\
&=10\times \dfrac{12+7}{2}\\
&=95\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

 

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique chaque jour 𝑥tonnes d’un produit. Le coût total mensuel, en milliers d’euros, pour produire chaque jour $x$ tonnes de ce produit est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;10]$ par : $$C(x)=(5x-2)\e^{-0,2x}+2$$
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_C$ de la fonction $C$ dans un repère.

  1. Par lecture graphique, donner une estimation de la quantité journalière de produit pour laquelle le coût total mensuel est maximal.
    $\quad$
  2. Le coût marginal $C_m$, qui correspond au supplément de coût total pour la production d’une unité de valeur supplémentaire, est assimilé à la dérivée de la fonction coût total.
    a. Démontrer que le coût marginal $C_m$ est défini sur l’intervalle $[0;10]$ par : $$C_m(x)=(-x+5,4)\e^{-0,2x}$$
    $\quad$
    b. Pour quelle quantité de produit fabriqué par jour le coût marginal est-il négatif ?
    $\quad$
    c. Donner le tableau de variations de la fonction $C$ sur l’intervalle $[0;10]$.
    $\quad$
    d. Déterminer le coût total mensuel maximal sur l’intervalle considéré. On donnera la valeur arrondie à l’euro près.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement le le coût total mensuel est maximal quand l’entreprise fabrique environ $5,5$ tonnes du produit.
    $\quad$
  2. a. La fonction $C$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} C_m(x)&=C'(x) \\
    &=5\e^{-0,2x}+(5x-2)\times \left(-0,2\e^{-0,2x}\right) \\
    &=(5-0,2\times 5x+2\times 0,2)\e^{-0,2x}\\
    &=(-x+5,4)\e^{-0,2x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $C_m(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x+5,4$.
    $-x+5,4=0 \ssi x=5,4$
    $-x+5,4<0 \ssi x>5,4$
    Le coût marginal est négatif quand l’entreprise fabrique entre $5,4$ et $10$ tonnes de produit.
    $\quad$
    c. On obtient le tableau de variations suivant :

    Avec $C(5,4)=25\e^{-1,08}+2\approx 10,490$
    $C(10)=48\e^{-2}+2\approx 8,496$
    $\quad$
    d. Le coût total mensuel maximal est atteint quand l’entreprise fabrique $5,4$ tonnes de produit et vaut environ $10~490$ euros.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère qu’en 2019, $3~300~000$ personnes étaient atteintes de diabète en France.
Pour étudier l’évolution de la maladie, des chercheurs appliquent un modèle selon lequel le nombre de personnes atteintes augmente de $2\%$ par an.
On note $u_n$ le nombre de personnes atteintes de diabète en France selon ce modèle durant l’année (2019$+n$).On a donc $u_0=3~300~000$.

  1. Justifier que, selon ce modèle, le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~433~320$ en 2021.
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  3. Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. En déduire le nombre de personnes qui,selon ce modèle, seront atteintes de diabète en France en 2025.
    $\quad$
  5. On définit en langage Python la fonction suivante.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(S):}\\
    \hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Green}{3300000}\\
    \hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    \hspace{1cm}\text{while u<S:}\\
    \hspace{2cm}\text{u=u*}\textcolor{Green}{1.02}\hspace{3cm}\\
    \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après exécution dans la console on obtient l’affichage suivant .
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{>>> seuil(5000000)}\hspace{3cm}\\
    \textcolor{Green}{21}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. En 2020 le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~300~000\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=3~366~000$.
    En 2021 le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~366~000\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=3~433~320$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right) u_n\\
    &=1,02u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=3~300~000$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3~300~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
  4. En 2025 on a $n=6$.
    $u_6=3~300~000\times 1,02^6\approx 3~716~336$
    Environ $3~716~336$ personnes seront atteintes de diabète en France en 2020 selon ce modèle.
    $\quad$
  5. Le nombre de personnes atteintes de diabète en France dépassera pour la première fois $5~000~000$ en 2040.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

On note:

  • $S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique »;
  • $M$ l’événement «le voyageur porte un objet métallique».

On note $\conj{S}$ et $\conj{M}$ les événements contraires des événements $S$ et $M$.

On considère qu’un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.

On admet que :

  • Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,95$.
  • Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est de $0,96$.
  1. À l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_M(S)$ et $P_{\conj{M}}\left(\conj{S}\right)$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous, modélisant cette situation :

    $\quad$
  3. Montrer que $P(S)=0,041~82$.
    $\quad$
  4. En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique en passant. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  5. Les événements $M$ et $S$ sont-ils indépendants?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P(M)=\dfrac{1}{500}$, $P_M(S)=0,95$ et $P_{\conj{M}}\left(\conj{S}\right)=0,96$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(M\cap S)+P\left(\conj{M}\cap S\right)\\
    &=\dfrac{1}{500}\times 0,95+\dfrac{499}{500}\times 0,04\\
    &=0,041~82\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{P(M\cap S)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{500}\times 0,95}{0,041~82} \\
    &\approx 0,045\end{align*}$
    La probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique en passant est environ égale à $0,045$.
    $\quad$
  5. On a $P(S)=0,041~82$ et $P_M(S)=0,95$.
    Ces deux probabilités sont différentes. Les événements $M$ et $S$ sont donc indépendants.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence