E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne dans un repère orthonormé est $2x-3y+4=0$.

a. Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-6\\4\end{pmatrix}$
d. Un vecteur normal de $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-12\\18\end{pmatrix}$
c. Le point $C(-5;2)$ appartient à la droite $d$.
d. La droite $d$ coupe la droite d’équation $-x+3y-2=0$ au point $F(1;2)$.

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$. Ainsi $-2\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\-4\end{pmatrix}$ est également un vecteur directeur de $d$. On exclut donc la réponde a.

Un vecteur normal de $d$ est $\vec{m}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$.
Ainsi $-6\vec{m}=\vec{n}$ est également un vecteur normal de $d$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé le cercle $\mathcal{C}$ a pour équation $x^2-2x+y^2+y=3$ et la droite $D$ pour équation $y = 1$.

a. $\mathcal{C}$ et $D$ n’ont aucun point d’intersection.
b. $\mathcal{C}$ et $D$ ont un seul point d’intersection.
c. $\mathcal{C}$ et $D$ ont deux points d’intersection.
d. On ne peut pas savoir combien $\mathcal{C}$ et $D$ ont de points d’intersection.

$\quad$

Correction Question 2

On veut résoudre le système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} x^2-2x+y^2+y=3\\y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} x^2-2x+1+1=3\\y=1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x^2-2x-1=0\\y=1\end{cases} \end{align*}$
Le discriminant de $x^2-2x-1=0$ est :
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 1\times (-1) \\
&=8\\
&>0\end{align*}$
L’équation possède donc deux solutions réelles et le système précédent également

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

La fonction $f$ est la fonction définie sur l’ensemble des réels par $f(x)=\cos(2x)$.

a. $f$ est paire.
b. $f$ est impaire.
c. $f$ n’est ni paire ni impaire.
d. $f$ a pour période $\dfrac{\pi}{2}$.

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(-x)&=\cos(-2x)\\
&=\cos(2x)\\
&=f(x)\end{align*}$
La fonction $f$ est donc paire.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)$.
On définit en langage Python une fonction « Suite » pour calculer $u_n$ connaissant $n$.

$\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
\textbf{a.}& \begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{0}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}
&
\textbf{b.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\end{array}\\\hline
\textbf{c.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}&
\textbf{d.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}\\\hline\end{array}$

$\quad$

Correction Question 4

Le premier terme est $u_0=1$ : on exclut la réponse a.
La fonction doit renvoyer la valeur de $u_n$ : on exclut la réponse b.
Il manque les parenthèses pour le calcul de $\text{u}$ dans la réponse c.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

L’équation $\e^x=1$:

a. n’a pas de solution.
b. a pour solution le nombre $1$.
c. a pour solution le nombre $0$.
d. a pour solution le nombre $\e$.

$\quad$

Correction Question 5

On a $e^0=1$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au centième.

Un gérant d’un salon de thé achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs.
Il achète $80 \%$ de ses boîtes chez le fournisseur « Au thé de qualité » et $20 \%$ de ses boîtes chez le fournisseur « Bon thé ».
Des contrôles de qualité montrent que $10 \%$ des boîtes provenant du fournisseur « Au thé de qualité » présentent des traces de pesticides et que $20 \%$ de celles provenant du fournisseur « Bon thé » présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du gérant et on considère les événements suivants :
$A$ : « la boîte provient du fournisseur « Au thé de qualité » » ;
$B$ : « la boîte provient du fournisseur « Bon thé » » ;
$T$ : « la boîte présente des traces de pesticides ».

Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
$\quad$
Quelle est la probabilité que la boîte prélevée provienne du fournisseur A et contienne des traces de pesticide ?
$\quad$
Que représente l’événement $B\cap \conj{T}$ ? Quelle est la probabilité de cet événement ?
$\quad$
Justifier que la probabilité que la boîte ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
$\quad$
On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur « Bon thé » ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T) \\
&=0,8\times 0,1\\
&=0,08\end{align*}$
La probabilité que la boîte prélevée provienne du fournisseur A et contienne des traces de pesticide est égale à $0,08$.
$\quad$
L’événement $B\cap \conj{T}$ est « la boîte provient du fournisseur « Bon thé » et ne contient pas de pesticide. »
$\begin{align*} P\left(B\cap \conj{T}\right) &=P(B)\times P_B\left(\conj{T}\right) \\
&=0,2\times 0,8 \\
&=0,16\end{align*}$
$\quad$
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(\conj{T}\right)&=P\left(A\cap \conj{T}\right)+P\left(B\cap \conj{T}\right) \\
&=0,8\times 0,9+0,16 \\
&=0,88\end{align*}$
La probabilité que la boîte ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_T(B)&=\dfrac{P(B\cap T)}{P(T)} \\
&=\dfrac{0,2\times 0,2}{1-0,88}\\
&=\dfrac{1}{3}\\
&\approx 0,33\end{align*}$
La probabilité que la boîte prélevée provienne du fournisseur « Bon thé » sachant qu’elle présente des traces de pesticides est environ égale à $0,33$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un propriétaire propose à un commerçant deux types de contrat pour la location d’un local pendant $3$ ans.
1$\ier$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $5$ € par mois jusqu’à la fin du bail.
2$\ieme$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu’à la fin du bail.

On modélise ces deux contrats par des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, de sorte que pour tout entier $n\pg 1$, le prix du loyer le $n$-ième mois avec le 1$\ier$ contrat est représenté par $u_n$ et le prix loyer
le $n$-ième mois avec le 2$\ieme$ contrat est représenté par $v_n$.
On a ainsi $u_1=v_1=200$.

Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
$\quad$
Le commerçant a écrit un programme en langage Python qui lui permet de déterminer $u_n$ et $v_n$ pour une valeur donnée de $n$.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
5&\hspace{0,5cm} \text{u= $\ldots$}\\
6&\hspace{0,5cm} \text{v= $\ldots$}\\
7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
\hline
\end{array}$$
a. Recopier et compléter les lignes $5$ et $6$ de ce programme.
$\quad$
b. Quels nombres obtiendra-t-on avec $n=4$ ?
$\quad$
Déterminer, pour tout entier $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Quel contrat coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le deuxième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $200+5=205$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $200\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=204$€.
Le troisième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $205+5=210$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $204\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=208,08$€.
$\quad$
a. On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
5&\hspace{0,5cm} \text{u= }\textcolor{Emerad}{5}\text{+u}\\
6&\hspace{0,5cm} \text{v= }\textcolor{Emerad}{1.02}\text{*v}\\
7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Le quatrième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $210+5=215$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $208,08\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=212,241~6$€.
La variable $\text{u}$ contient donc la valeur $215$ et la variable $\text{v}$ la valeur $212,241~6$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $u_{n+1}=u_n+5$ et $v_{n+1}=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)v_n$ soit $v_{n+1}=1,02v_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_1=200$.
La suite $\left(v_n\right)$ est par conséquent géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_1=200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=200+5(n-1)$ et $v_n=200\times 1,02^{n-1}$.
$\quad$
$3$ ans $=36$ mois.
On a :
$\begin{align*} u_{36}&=200+5\times 35\\
&=375\end{align*}$
Le 1$\ier$ contrat coûtera au total :
$\begin{align*} S_1&=36\times \dfrac{200+375}{2} \\
&=10~350\end{align*}$
Le 2$\ieme$ contrat coûtera au total :
$\begin{align*} S_2&=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02}\\
&\approx 10~398,87\end{align*}$
C’est donc le 1$\ier$ contrat qui coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par $f(x)=(ax+b)\e^{-0,1x}$ où $a$ et $b$ sont des réels fixés.
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous, dans un repère orthogonal.

On a également représenté la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point $A(0 ; 5)$.
On admet que cette tangente $T$ passe par le point $B(4 ; 19)$.

En exprimant $f(0)$, déterminer la valeur de $b$.
$\quad$
a. À l’aide des coordonnées des points $A$ et $B$, déterminer une équation de la droite $T$.
$\quad$
b. Exprimer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$ et en déduire que pour tout réel $x$, $f(x)=(4x+5)\e^{-0,1x}$
$\quad$
On souhaite déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.
a. Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=(-0,4x+3,5)\e^{-0,1x}$.
$\quad$
b. Déterminer les variations de $f$ sur $\R$ et en déduire le maximum de $f$ sur $\R$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*}f(0)=b\e^0 \\
&=b\end{align*}$
Le point $A(0;5)$ appartient à $\mathcal{C}_f$.
Donc $f(0)=5$. Par conséquent $b=5$.
$\quad$
a. Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. Une équation de de la droite $T$ est donc de la forme $y=mx+p$.
On a :
$\begin{align*} m&=\dfrac{19-5}{4-0}\\
&=3,5\end{align*}$
Elle passe par le point $A(0;5)$ donc $p=5$.
Une équation de $T$ est donc $y=3,5x+5$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=a\e^{-0,1x}+(ax+b)\times \left(-0,1\e^{-0,1x}\right) \\
&=(a-0,1ax-0,1b)\e^{-0,1x}\end{align*}$
$f'(0)$ est le coefficient directeur de $T$ donc $f'(0)=3,5$.
Mais $f'(0)=a-0,1b$.
D’après la question 1. on a $b=5$.
Par conséquent $a-0,5=3,5 \ssi a=4$.
On en déduit donc que, pour tout réel $x$ on a $f(x)=(4x+5)\e^{-0,1x}$.
$\quad$
a. D’après la question 2.b. on a donc :
$\begin{align*} f'(x)&=(a-0,1ax-0,1b)\e^{-0,1x} \\
&=(4-0,4x-0,5)\e^{-0,1x} \\
&=(3,5-0,4x)\e^{-0,1x}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $3,5-0,4x$.
$3,5-0,4x=0 \ssi -0,4x=-3,5 \ssi x=8,75$
$3,5-0,4x>0\ssi -0,4x>-3,5 \ssi x<8,75$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;8,75]$ et strictement décroissante sur $[8,75;+\infty[$.
Elle admet un maximum qui est $f(8,75)=40\e^{-0,875}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence