E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice, les distances sont exprimées en mètres.
On considère un rectangle $ABCD$ d’aire $49$ m$^2$ tel que $DC=x$ et $BC=y$.
On admet que les nombres $x$ et $y$ sont strictement positifs.

On souhaite déterminer les dimensions $x$ et $y$ pour que le périmètre de ce rectangle soit minimal.

  1. a. Montrer que le périmètre, en mètres, du rectangle $ABCD$ est égal à $2x+\dfrac{98}{x}$.
    $\quad$
    b. Calculer ce périmètre pour $x = 10$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=2x+\dfrac{98}{x}$.
On admet que $𝑓$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Montrer que, pour tout $x>0$, $$f'(x)=\dfrac{2x^2-98}{x^2}$$
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. En déduire les dimensions du rectangle d’aire $49$ m² dont le périmètre est minimal.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. L’aire du rectangle est égale d’une part à $xy$ et d’autre part à $49$ m$^2$.
    Par conséquent $xy=49 \ssi y=\dfrac{49}{x}$.
    Le périmètre du rectangle est :
    $\begin{align*} P&=2(x+y)\\
    &=2x+2y\\
    &=2x+\dfrac{98}{x}\end{align*}$.
    $\quad$
    b. Si $x=10$ alors le périmètre vaut $2\times 10+\dfrac{98}{10}=29,8$ m.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2-\dfrac{98}{x^2} \\
    &=\dfrac{2x^2-98}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $x^2>0$ sur $]0;+\infty[$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x^2-98$.
    Or :
    $\begin{align*} 2x^2-98&=2\left(x^2-49\right)\\
    &=2(x-7)(x+7)\end{align*}$
    Sur $]0;+\infty[$ on a $2(x+7)>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-7$.
    $x-7=0 \ssi x=7$ et $x-7>0 \ssi x>7$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. Le périmètre du rectangle d’aire $49$ m$^2$ est minimal quand $x=7$. Il s’agit alors d’un carré de côté $7$ m.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un constructeur de véhicules fabrique deux types d’automobiles : « Citadine » ou « Routière ».
Pour ces véhicules, ce constructeur propose deux finitions :

  • « Sport » au tarif de $2~500$ euros par véhicule,
  • « Luxe » au tarif de $4~000$ euros par véhicule.

En consultant le carnet de commandes de ce constructeur, on recueille les indications suivantes :

  • $80\%$ des clients ont commandé une automobile « Citadine ». Les autres clients ont commandé une automobile « Routière ».
  • Parmi les clients possédant une automobile « Citadine », $70\%$ ont pris la finition « Sport ».
  • Parmi les clients possédant une automobile « Routière », $60\%$ ont pris la finition « Luxe ».

On choisit un client au hasard et on considère les évènements suivants :

  • $C$ : « Le client a commandé une automobile « Citadine » »,
  • $L$ : « Le client a choisi la finition « Luxe » ».

D’une manière générale, on note $\conj{A}$ l’évènement contraire d’un évènement $A$.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le montant en euros de la finition choisie par un client.

  1. Construire l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client ait commandé une automobile « Citadine » et ait choisi la finition « Luxe », c’est-à-dire calculer $P(C\cap L)$.
    $\quad$
  3. Justifier que $P(L) = 0,36$.
    $\quad$
  4. La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$ et $b$.
    a. Déterminer les probabilités $P(X = a)$ et $P(X = b)$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’espérance de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(C\cap L)&=P(C)\times P_C(L)\\
    &=0,8\times 0,3\\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité que le client ait commandé une automobile « Citadine » et ait choisi la finition « Luxe » est égale à $0,24$.
    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(L)&=P(C\cap L)+P\left(\conj{C}\cap L\right) \\
    &=0,24+0,2\times 0,6\\
    &=0,36\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On a donc
    $\begin{align*} P(X=2~500)&=P\left(\conj{L}\right) \\
    &=1-0,36\\
    &=0,64\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} P(X=4~000)&=P(L) \\
    &=0,36\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=2~500P(X=2~500)+4~000P(X=4~000)\\
    &=2~500\times 0,64+4~000\times 0,36\\
    &=3~040\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Fanny est inscrite dans un club d’athlétisme. Elle pratique le penta bond (le penta bond est un enchaînement de cinq bonds après une course d’élan).
La première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m.
Chaque semaine, la longueur de son saut augmente de $0,1$ m.
Pour $n$ entier naturel non nul, on note $s_n$ la longueur, en mètres, de son saut la $n$-ième semaine d’entraînement.
Puisque lors de la première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m, on a $s_1 = 8$.

  1. Pour $n\pg 2$, on considère la fonction Python suivante.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def saut(n):}\\
    \hspace{1cm}\text{s=8}\\
    \hspace{1cm}\text{for k in range(2,n+1):}\\
    \hspace{2cm}\text{s=s+0.1}\\
    \hspace{1cm}\text{return s}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle valeur $\text{s}$ est-elle renvoyée par la commande $\text{saut(4)}$ ?
    $\quad$
    b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Exprimer avec justification $s_n$ en fonction de $n$ pour $n$ entier naturel non nul.
    $\quad$
  3. Pour être qualifiée à une compétition, Fanny doit faire un saut d’au moins $12$ mètres.
    a. À partir de quelle semaine, Fanny réalisera-t-elle un tel saut ?
    $\quad$
    b. Justifier votre réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La variable $\text{s}$ prend successivement les valeurs suivantes : $8$; $8,1$; $8,2$; $8,3$.
    La commande $\text{saut(4)}$ renvoie donc la valeur $8,3$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que Fanny réalise un saut de $8,3$ m lors de sa quatrième semaine d’entraînement.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $s_{n+1}=s_n+0,1$.
    La suite $\left(s_n\right)$ est donc arithmétique de raison $0,1$ et de raison $s_1=8$.
    Par conséquent, pour tout entier $n$ non nul on a $s_n=8+0,1(n-1)$.
    $\quad$
  3. a. et b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 12&\ssi 8+0,1(n-1)\pg 12 \\
    &\ssi 0,1(n-1)\pg 4 \\
    &\ssi n-1\pg 40 \\
    &\ssi n\pg 41\end{align*}$
    Elle réalisera donc un saut d’au moins $12$ mètres à partir de la $41\ieme$ semaine.
    $\quad$

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$\quad$

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