E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $A(2 ;-1)$ et de rayon $4$ a comme équation :

a. $(x+2)^2+(y-1)^2=16$
b. $(x-2)^2+(y+1)^2=4$
c. $(x-2)^2+(y+1)^2=16$
d. $(x+2)^2+(y-1)^2=4$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation cartésienne du cercle est :
$(x-2)^2+\left(y-(-1)\right)^2=4^2$ soit $(x-2)^2+(y+1)^2=16$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit la droite $(d)$ d’équation cartésienne $2x-y+1=0$.
Sachant que la droite $\left(d_1\right)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$, une équation de $\left(d_1\right)$ peut être :

a. $x-2y+2=0$
b. $x+2y-1=0$
c. $-2x+y-1=0$
d. $x-y+2=0$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.
La droite $\left(d_1\right)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$ donc $\vec{u}$ est normal à la droite $(d)$.
Ainsi une équation cartésienne de $\left(d_1\right)$ est de la forme $x+2y+c=0$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

L’expression de $\sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à :

a. $-2\sin(x)$
b. $0$
c. $2\sin(x)$
d. $\cos(x)-\sin(x)$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)&=\sin(x)-\sin(x)\\
&=0\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+x-5$.
Le tableau de variations de cette fonction est :

$\quad$

Correction Question 4

Le coefficient principal de cette fonction du second degré est $a=-3<0$. Cette fonction est donc d’abord croissante puis décroissante.
L’abscisse de son sommet est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a}\\
&=-\dfrac{1}{-6}\\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

À un jeu, la variable aléatoire donnant le gain algébrique $G$ suit la loi de probabilité suivante (en euros) :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeur de $\boldsymbol{G}$}&-25&-3&x&100\\
\hline
\text{Probabilité}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{6}&0,3&0,2\\
\hline
\end{array}$$
Sachant que l’espérance de $G$ est égale à $\dfrac{38}{3}$, la valeur de $x$ est :

a. $0$
b. $5$
c. $20$
d. $25$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &E(G)=\dfrac{38}{3}\\
\ssi~&-25\times \dfrac{1}{3}-3\times \dfrac{1}{6}+0,3x+100\times 0,2=\dfrac{38}{3} \\
\ssi~&-\dfrac{25}{3}-\dfrac{1}{2}+0,3x+20=\dfrac{38}{3} \\
\ssi~& 0,3x=1,5\\
\ssi~& x=5\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une note de musique est émise en pinçant la corde d’une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de $120$ watts, diminue en fonction du temps écoulé après pincement de la corde.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t\pg 0$ par : $f(t)=120\e^{-0,14t}$.
On admet que $f(t)$ modélise la puissance du son, exprimée en watt, à l’instant $t$ où $t$ est le temps écoulé, exprimée en seconde, après pincement de la corde.

On désigne par $f’$ la fonction dérivée de $f$.

  1. Calculer $f'(t)$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Quelle sera la puissance du son, trois secondes après avoir pincé la corde ? Arrondir au dixième.
    $\quad$
  4. On considère la fonction seuil ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm}\text{t=0}\\
    \hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
    \hspace{1cm}\text{while puissance>=60:}\\
    \hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
    \hspace{1cm}\text{return t}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Que renvoie cette fonction $\text{seuil()}$?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(t)$ est du type $k\e^{at+b}$ pour tout réel $t$.
    La fonction $f$ est donc dérivable sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=120\times (-0,14)\e^{-0,14t}\\
    &=-16,8\e^{-0,14t}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout $t\pg 0$ on a $f'(t)<0$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    Cela signifie donc que la puissance du son diminue avec le temps.
    $\quad$
  3. Trois secondes après avoir pincé la corde
    $\begin{align*}f(3)&=120\e^{-0,14\times 3}\\
    &=120\e^{-0,42}\\
    &\approx 78,8\end{align*}$
    La puissance du son sera d’environ $78,8$ watts .
    $\quad$
  4. Cette fonction renvoie le temps nécessaire en seconde pour que la puissance du son soit strictement inférieure à $60$ watts.
    Or $f(4.9) \approx 60,43$  et $f(5)\approx 59,59$.
    La fonction renvoie donc la valeur $5$.
    $\quad$
    Remarque : L’énoncé original de cette fonction était :$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm}\text{t=0}\\
    \hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
    \hspace{1cm}\text{while puissance<=60:}\\
    \hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
    \hspace{1cm}\text{return t}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Cette fonction renvoie $0$ puisqu’on ne rentre jamais dans la boucle while.
    Cette fonction ne nécessite de plus au moins l’importation, en amont, de la fonction exp de la bibliothèque math de Python pour fonctionner.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un journal hebdomadaire est sur le point d’être créé.
Une étude de marché aboutit à deux estimations différentes concernant le nombre de journaux vendus :

  • $1^{\text{re}}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression des ventes de $3 \%$ chaque semaine.
  • $2^{\e}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression régulière de $40$ journaux supplémentaires vendus chaque semaine.

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, $u_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la première estimation et $v_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la deuxième estimation. Ainsi, $u_1 = v_1 = 1~000$.

  1. On considère la feuille de calcul ci-dessous :

    Quelle formule, saisie en $B3$ et recopiée vers le bas, permet d’obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  2. a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ puis celle de la suite $\left(v_n\right)$. Justifier.
    $\quad$
    b. Montrer que pour tout entier naturel $n\pg 1$, $v_n = 960 + 40n$.
    $\quad$
    c. Écrire, pour tout entier naturel $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. On définit, pour tout entier $n\pg 1$, la suite $\left(w_n\right)$ par $w_n=v_n-u_n$. On donne ci-dessous un extrait de son tableau de valeurs :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 1& 2&\hspace{1cm}& 19& 20& 21& 22\\
    \hline
    w_n& 0& 10&& 18& 6& -6& -20\\
    \hline
    \end{array}$$
    À partir de quelle semaine le nombre de journaux vendus d’après la première estimation devient-il supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a pu saisir $=B2*1,03$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=1,03u_n$ et $v_{n+1}=v_n+40$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$ et la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $40$ et de premier terme $v_1=1~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc :
    $\begin{align*} u_n&=1~000+40(n-1) \\
    &=1~000+40n-40\\
    &=960+40n\end{align*}$
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$
    Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $u_n=1~000\times 1,03^{n-1}$.
    $\quad$
  3. D’après le tableau, $w_n<0$ pour $n\pg 21$ et $w_n\pg 0$ sinon.
    C’est donc à partir de la $21\ieme$ semaine que le nombre de journaux vendus d’après la première estimation deviendra supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On considère deux élevages de chatons sacrés de Birmanie :

  • Dans le premier élevage $75 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $25 \%$ deviennent couleur Blue.
  • Dans le second élevage $30 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $70 \%$ deviennent couleur Blue.

Une animalerie se fournit dans ces deux élevages. Elle achète $40 \%$ de ses chatons au premier élevage et $60 \%$ au deuxième.
On choisit au hasard un chaton de l’animalerie.
On note $A$ l’événement « Le chaton provient du premier élevage » et $B$ l’événement « Le chaton est de couleur Blue ».
On note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $\conj{B}$ l’événement contraire de $B$.

  1. a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

    $\quad$
    b. Calculer $P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)$ et interpréter ce résultat.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
    $\quad$
    d. Sachant que Jules a choisi un chaton couleur Blue dans cette animalerie, quelle est la probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage ? On donnera le résultat à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  2. Le responsable du rayon fixe à $100$ € le prix de vente d’un chaton couleur Blue et à $75$€ le prix d’un chaton couleur Chocolat.
    On choisit au hasard un chaton de l’animalerie et on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au prix en euros du chaton acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)&=P\left(\conj{A}\right) \times P_{\conj{A}}\left(\conj{B}\right) \\
    &=0,6\times 0,3\\
    &=0,18\end{align*}$
    La probabilité que le chaton choisi provienne du second élevage et devienne couleur Chocolat est égale à $0,18$.
    $\quad$
    c. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} P\left(\conj{B}\right)&=P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,4\times 0,75+0,18\\
    &=0,48\end{align*}$
    La probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{B}\left(\conj{A}\right) &=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap B\right)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,7}{1-0,48}\\
    &\approx 0,81\end{align*}$
    La probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage sachant que c’est un chaton couleur Blue est environ égale à $0,81$.
    $\quad$
  2. $X$ ne peut prendre que les valeurs $100$ et $75$.
    $\begin{align*} P(X=100)&=P(B)\\
    &=1-0,48\\
    &=0,52\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=75)&=P\left(\conj{B}\right)\\
    &=0,48\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée, cependant des traces de recherche au brouillon peuvent aider à trouver la bonne réponse. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, l’expression $\e^x\times \e^{x+2}$ est égale à :

a. $\e^{2x+2}$
b. $\e^{x^2+2}$
c. $\e^{\frac{x}{x+2}}$
d. $\e^{x^2+2x}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \e^x\times \e^{x+2}&=\e^{x+x+2}\\
&=\e^{2x+2}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit $g$ une fonction définie et dérivable en $1$. Dans un repère du plan, une équation de la tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=g(1)\times (x-1)-g'(1)$
b. $y=g'(1)\times (x-1)+g(1)$
c. $y=g'(1)\times (x+1)-g(1)$
d. $y=g(1)\times (x+1)+g'(1)$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de la tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d’abscisse $1$ est $y=g'(1)\times (x-1)+g(1)$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Le plan est muni d’un repère $\Oij$. On considère la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{u}(4 ; 7)$ et passant par le point $A(-2 ; 3)$. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est :

a. $-7x+4y-26=0$
b. $4x+7y-13=0$
c. $-7x+4y+26=0$
d. $4x-7y+29=0$

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}(4 ; 7)$.
Une équation cartésienne de $(d)$ est donc de la forme $7x-4y+c=0$.
Le point $A(-2;3)$ appartient à la droite.
Par conséquent $-14-12+c=0 \ssi c=26$
Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $7x-4y+26=0$ ou encore $-7x+4y-26=0$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

$t$ est un réel. On sait que $\cos(t)=\dfrac{2}{3}$. Alors $\cos(4+4\pi)+\cos(-t)$ est égal à :

a. $-\dfrac{4}{3}$
b. $0$
c. $\dfrac{4}{3}$
d. $\dfrac{2}{3}$

$\quad$

$\quad$

Correction Question 4

$\cos(t)=\dfrac{2}{3}$ donc $\cos(-t)=\dfrac{2}{3}$
et
$\begin{align*} \cos(t+4\pi)&=\cos(t+2\times 2\pi)\\
&=\cos(t) \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Ainsi $\cos(4+4\pi)+\cos(-t)=\dfrac{4}{3}$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère, dans un repère du plan, la parabole $(P)$ d’équation :
$y = -x^2+6x-9$. La parabole $(P)$ admet :

a. aucun point d’intersection avec l’axe des abscisses
b. un seul point d’intersection avec l’axe des abscisses
c. deux points d’intersection avec l’axe des abscisses
d. trois points d’intersection avec l’axe des abscisses

$\quad$

Correction Question 5

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} -x^2+6x-9=0 &\ssi x^2-6x+9=0 \\
&\ssi (x-3)^2=0\\
&\ssi x=3\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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