E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’équation $2x^2-8x+6=0$ admet deux solutions. Leur somme $S$ et leur produit $P$ sont :

a. $S=-8$ et $P=6$
b. $S=-4$ et $P=3$
c. $S=4$ et $P=3$
d. $S=3$ et $P=-4$

$\quad$

Correction Question 1

$2x^2-8x+6=0 \ssi x^2-4x+3=0$
Donc $P=3$ et $S=4$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

$\alpha$ est un nombre réel tel que $\sin(\alpha)=0,5$. On a alors :

a. $\sin(\pi-\alpha)=0,5$
b. $\sin(\pi-\alpha)=-0,5$
c. $\sin(\pi-\alpha)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $\sin(\pi-\alpha)=\dfrac{\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a $\sin(\pi-x)=\sin(x)$
Donc $\sin(\pi-\alpha)=0,5$.

Réponse a

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$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère le cercle d’équation : $$(x-3)^2+(y+0,5)^2=\dfrac{25}{4}$$
On peut affirmer que :

a. ce cercle a un rayon de $6,25$.
b. ce cercle passe par le point $R(5 ; -2)$.
c. le centre de ce cercle a pour coordonnées $(-3 ; 0,5)$
d. aucune des réponses a., b. ou c. n’est correcte.

$\quad$

Correction Question 3

Le rayon du cercle est $R=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=2,5$.
$(5-3)^2+(-2+0,5)^2=6,25$ donc $(5-3)^2+(-2+0,5)^2=\dfrac{25}{4}$

Réponse B

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé du plan, une équation cartésienne de la droite passant par le point $A(2 ; -4)$ et de vecteur normal $\vec{n}(5 ; 6)$ est :

a. $6x-5y-32=0$
b. $6x+5y8=0$
c. $5x+6y+14=0$
d. $5x+6y-14=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cette droite est de la forme $5x+6y+c=0$.
$A(2;-4)$ appartient à cette droite.
Donc $10-24+c=0\ssi c=14$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x+3)\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. On a alors :

a. $f'(x)=2\e^x$
b. $f'(x)=(2x+3)\e^x$
c. $f'(x)=(2x+1)\e^x$
d. $f'(x)=(2x+5)\e^x$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+(2x+3)\e^x \\
&=(2+2x+3)\e^x\\
&=(2x+5)\e^x\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique des jeux en bois. Avant sa commercialisation, chaque jeu est soumis à deux contrôles : un contrôle de peinture et un contrôle de solidité.

Après un très grand nombre de vérifications, on constate que :

  • $8 \%$ des jeux ont un défaut de peinture,
  • parmi les jeux qui n’ont pas de défaut de peinture, $5 \%$ ont un défaut de solidité,
  • $2 \%$ des jeux présentent les deux défauts.

On choisit au hasard un jeu parmi ceux fabriqués par l’entreprise. On note :

  • $T$ l’événement : « le jeu a un défaut de peinture. »
  • $S$ l’événement : « le jeu a un défaut de solidité. »
  1. Démontrer que $P_T(S) = 0,25$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité ci-dessous traduisant les données de l’énoncé.

    $\quad$
  3. Démontrer que la probabilité que le jeu choisi au hasard n’ait pas de défaut de solidité est égale $0,934$.
    $\quad$
  4. Les jeux qui présentent un défaut de solidité sont détruits. Dans cette question, on leur attribuera un prix de vente de $0$ €.
    Les jeux ne présentant aucun défaut sont vendus $14$ € chacun.
    Les autres jeux sont vendus $9$ € chacun.
    $\quad$
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix de vente, en euros, d’un jeu.
    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$, la probabilité de l’événement $\left\{X=x_i\right\}$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&0&9&14\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&\phantom{1234}&\phantom{1234}&\phantom{1234}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quel est le prix de vente moyen d’un jeu fabriqué par cette entreprise ?
    On arrondira le résultat au centime d’euro.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} P(T\cap S)=P(T)\times P_T(S)&\ssi 0,02=0,08P_T(S)\\
    &\ssi P_T(S)=0,25\end{align*}$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré :
    $\quad$
  3. $T$ et $\conj{T}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{S}\right)&=P\left(T\cap \conj{S}\right)+P\left(\conj{T}\cap \conj{S}\right) \\
    &=0,08\times 0,75+0,92\times 0,95\\
    &=0,934\end{align*}$
    La probabilité que le jeu choisi au hasard n’ait pas de défaut de solidité est égale $0,934$.
    $\quad$
  4. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&0&9&14\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,066&0,06&0,874\\
    \hline
    \end{array}$$
    $P(X=0)=1-0,934=0,066$
    $P(X=14)=0,92\times 0,95=0,874$
    $P(X=9)=1-(0,066+0,874)=0,06$\quad$
    b. L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=0\times 0,066+9\times 0,06+14\times 0,874 \\
    &=12,776\end{align*}$
    Le prix de vente moyen d’un jeu fabriqué par cette entreprise est d’environ $12,78$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

L’évolution d’une population de bactéries dépend de l’environnement dans lequel ces bactéries sont placées. Cette population peut être modélisée par la suite $\left(P_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $P_{n+1}=(1+\alpha)P_n+\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des paramètres liés à l’environnement, notamment à la température et à l’humidité.
$P_n$ modélise alors le nombre de bactéries, en milliers, qui composent cette population $n$ jours après les avoir introduites dans un certain environnement.

  1. Une population, initialement composée de $500$ mille bactéries, est étudiée dans un environnement pour lequel $\alpha = 0,2$ et $\beta = 70$.
    a. Combien y a-t-il de bactéries dans cet environnement au bout de deux jours ?
    $\quad$
    b. Recopier et compléter le programme suivant, écrit en langage Python, pour que la fonction $\text{Nombrebacteries}$ renvoie le nombre de bactéries présentes dans cet environnement au bout de $\text{N}$ jours.
    $$\begin{array}{l}
    \textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{Nombrebacteries}}\textcolor{brown}{(}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
    \hspace{1cm}\text{P}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{500}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range  }}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{0}\textcolor{brown}{,}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
    \hspace{2cm}\text{P}\textcolor{brown}{=\ldots}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{brown}{\ldots}\end{array}$$
    $\quad$
  2. Une autre population, initialement composée de $500$ mille bactéries, est étudiée dans un nouvel environnement. On constate que le nombre de bactéries de cette population augmente de $9 \%$ par jour.
    a. Déterminer les valeurs des paramètres $\alpha$ et $\beta$ pour cet environnement.
    $\quad$
    b. Quelle est, dans ce cas, la nature de la suite $\left(P_n\right)$ ?
    $\quad$
    c. Justifier qu’après $9$ jours dans cet environnement, le nombre de bactéries de cette population a doublé.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} P_1&=(1+0,2)P_0+70\\
    &=1,2\times 500+70\\
    &=670\end{align*}$
    $\begin{align*} P_2&=(1+0,2)P_1+70\\
    &=1,2\times 670+70\\
    &=874\end{align*}$
    Au bout de deux jours, il y aura donc $874$ milliers de bactéries.
    $\quad$
    b. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{Nombrebacteries}}\textcolor{brown}{(}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
    \hspace{1cm}\text{P}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{500}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range  }}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{0}\textcolor{brown}{,}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
    \hspace{2cm}\text{P}\textcolor{brown}{=}\text{P}\textcolor{brown}{*}\textcolor{Emerald}{1.2}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{70}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{P}\end{array}$$
    $\quad$
  2. a. Le nombre de bactéries de cette population augmente de $9 \%$ par jour.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $P_{n+1}=1,09P_n$.
    Ainsi $\alpha=0,09$ et $\beta=0$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(P_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,09$ et de premier terme $P_0=500$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $P_n=500\times 1,09^n$.
    $P_9=500\times 1,09^9 \approx 1~086$
    Par conséquent $P_9>2P_0$
    Le nombre de bactéries de cette population a doublé.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = 3x\e^{-0,4x}$
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$.
On admet que la fonction $f’$ a pour expression $f'(x)=(-1,2x+3)\e^{-0,4x}$.

  1.  Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Un sportif a pris un produit dopant. La fonction $f$ modélise la quantité, en mg/L, de ce produit dopant présent dans le sang du sportif $x$ heures après la prise.
    a. Pourquoi peut-on affirmer que ce produit dopant n’est pas naturellement présent dans l’organisme du sportif ?
    $\quad$
    b. Combien de temps après son absorption, ce produit dopant sera-t-il présent en quantité maximale dans le sang du sportif ?
    $\quad$
    c. Le sportif absorbe ce produit dopant au début d’une séance d’entraînement.
    Le même jour, $6$ heures après le début de cette séance d’entraînement, il est soumis à un contrôle anti-dopage. Celui-ci se révèlera positif si la quantité de produit dopant présent dans l’organisme de ce sportif dépasse $1,4$ mg/L.
    Ce contrôle anti-dopage sera-t-il positif ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-1,2x+3$.
    $-1,2x+3=0 \ssi -1,2x=-3 \ssi x=2,5$
    $-1,2x+3>0 \ssi -1,2x>-3 \ssi x<2,5$
    Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $[0;2,5[$
    $\bullet$ $f'(2,5)=0$
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]2,5;+\infty[$
    $\quad$
  2. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. a. À l’instant $t=0$, la concentration du produit dopant dans le sang est nulle. Il n’est donc pas naturellement présent dans l’organisme du sportif.
    $\quad$
    b. D’après le tableau de variations, la quantité maximale dans le sang est atteinte $2,5$ heures après sont absorption.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} f(6)&=18\e^{-2,4} \\
    &\approx 1,63 \\
    &>1,4\end{align*}$
    Ce contrôle anti-dopage sera donc positif.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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