E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d’abscisse $0$ est :

a. $y=x+1$
b. $y=\e x$
c. $y=\e^x$
d. $y=x-1$

$\quad$

Correction Question 1

On appelle $f$ la fonction exponentielle.
Une équation de la tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
Or $f'(0)=\e^0=1$ et $f(0)=\e^0=1$.
Ainsi une équation de la tangente est $y=x+1$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

La fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\e^{-2x+6}$ admet pour dérivée la fonction $f’$ définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^{-2x+6}$
b. $f'(x)=-2\e^{-2x+6}$
c. $f'(x)=-2x\e^{-2x+6}$
d. $f'(x)=(-2x+6)\e^{-2x+6}$

$\quad$

Correction Question 2

$f(x)$ est de la forme $f(x)=\e^{ax+b}$.
Elle est donc dérivable sur $\R$ et $f'(x)$ est de la forme $a\e^{ax+b}$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f'(x)-2\e^{-2x+6}$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le repère orthonormé $\Oij$, le vecteur $\vect{AB}$ représenté ci-dessous est égal à :

a. $-2\vec{i}+6\vec{j}$
b. $-6\vec{i}+2\vec{j}$
c. $2\vec{i}-6\vec{j}$
d. $6\vec{i}-2\vec{j}$

$\quad$

Correction Question 3

On lit, graphiquement, que $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{AB}=6\vec{i}-2\vec{j}$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\sin x-\cos x$. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule est correcte. Laquelle ?

a. $f$ est une fonction paire.
b. $f$ est une fonction impaire.
c. $f$ n’est ni paire, ni impaire.
d. $f(0)=0$

$\quad$

Correction Question 4

On a $f(0)=-1$

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(-x)&=\sin(-x)-\cos(-x)\\
&=-\sin(x)-\cos(x)\end{align*}$
Par conséquent $f(-x)\neq f(x)$ et $f(-x)\neq -f(-x)$.
La fonction $f$ n’est ni paire, ni impaire.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans le plan muni d’un repère, on considère la droite $(d)$ d’équation : $5x-2y+8=0$.
La droite $(d)$ a pour coefficient directeur :

a. $\vec{u}(2;5)$
b. $\dfrac{5}{2}$
c. $\dfrac{2}{5}$
d. $-2$

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(2;5)$.
Le coefficient directeur de cette droite est donc $\dfrac{5}{2}$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un fermier souhaite réaliser un enclos rectangulaire pour des poules et des poussins, adossé à un mur de sa ferme afin d’économiser du grillage. Ainsi, il ne grillagera que $3$ côtés de son enclos.
Il possède $28$ mètres de grillage. Il souhaite construire un enclos d’aire maximale.
On appelle $x$ la longueur du côté de l’enclos perpendiculaire au mur.

On appelle $A$ la fonction qui à un nombre $x$ associe $A(x)$ l’aire de l’enclos. La fonction $A$ est ainsi définie sur l’intervalle $[0 ; 14]$.

a. Vérifier que l’aire $A(x)=-2x^2+28x$.
$\quad$
b. Montrer que la forme canonique de $A(x)$ est $-2(x-7)^2+98$.
$\quad$
Quatre courbes ont été tracées sur le graphique ci-dessous. Identifier celle qui représente la fonction $A$

$\quad$
Dresser le tableau de variation de la fonction $A$.
$\quad$
Pour quelle valeur de $x$ l’aire de l’enclos est-elle maximale ? Donner la valeur de cette aire.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. L’enclos est un rectangle dont les côtés mesurent $x$ mètres et $28-2x$ mètres.
Ainsi :
$\begin{align*}A(x)&=(28-2x)x\\
&=28x-2x^2\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} -2(x-7)^2+98&=-2\left(x^2-14x+49\right)+98\\
&=-2x^2+28x-98+98\\
&=-2x^2+28x\\
&=A(x)\end{align*}$
La forme canonique de $A(x)$ est donc $-2(x-7)^2+98$.
$\quad$
Le coefficient principal de $A(x)$ est $a=-2<0$. La fonction est donc d’abord croissante puis décroissante.
Le maximum est $S(7;98)$.
La courbe $\mathcal{C}_2$ représente donc la fonction $A$.
$\quad$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
L’aire est donc maximale quand $x$ prend la valeur $7$ et vaut $98$ m$^2$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées : $A (7 ; -2)$, $B (7 ; 4)$ et $C(1 ; 1)$.

Montrer que $Y=1$ est une équation de la droite $\left(d_1\right)$ passant par $C$ et perpendiculaire à
$(AB)$.
$\quad$
Que représente cette droite pour le triangle $ABC$ ?
$\quad$
Donner une équation de la droite $\left(d_2\right)$, hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $B$.
$\quad$
On appelle $H$ le point d’intersection des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
Donner en justifiant la valeur du produit scalaire : $\vect{AH}.\vect{CB}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$.
Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est donc de la forme $6y+c=0$
Le point $C(1;1)$ appartient à $\left(d_1\right)$.
Par conséquent $6+c=0 \ssi c=-6$.
Une équation de $\left(d_1\right)$ est donc $6y-6=0$ soit $y=1$.
$\quad$
La droite $\left(d_1\right)$ est donc la hauteur issue de $C$ du triangle $ABC$.
Remarque : Le triangle $ABC$ étant isocèle en $C$ (on le prouve en calculant $AC$ et $BC$), cette droite est également la médiane issue de $C$ et la médiatrice du segment $[AB]$.
$\quad$
La droite $\left(d_2\right)$ passe donc par $B$ et est perpendiculaire à $(AC)$.
$\vect{AC}\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}$
Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc de la forme $-6x+3y+c=0$
Le point $B(7;4)$ appartient à cette droite.
Par conséquent $-42+12+c=0 \ssi c=30$.
Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc $-6x+3y+30=0$ soit $-2x+y+10=0$.
$\quad$
Le point $H$ est donc l’orthocentre du triangle $ABC$. Par conséquent la droite $(AH)$ est la hauteur issue du point $A$ du triangle $ABC$. Elle est donc perpendiculaire à la droite $(BC)$.
Ainsi $\vect{AH}.\vect{CB}=0$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra contenir $100~000$ ouvrages au total. Pour l’ouverture prévue le 1$\ier$
janvier 2020, la médiathèque dispose du stock de $35~000$ ouvrages de l’ancienne bibliothèque, augmenté de $7~000$ ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

Partie A

Chaque année, le bibliothécaire est chargée de supprimer $5\%$ des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d’acheter $6~000$ ouvrages neufs.
On appelle $u_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1$\ier$ janvier de l’année (2020 $+n$).
On donne $u_0 = 42$.

Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n\times 0,95+6$.
2. On propose ci-dessous un programme en
langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite(n) :}\\
\hspace{1cm}\text{u=42}\\
\hspace{1cm}\text{for i in range(n) :}\\
\hspace{2cm}\text{u=0.95*u+6}\\
\hspace{1cm}\text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
Expliquer ce que permet de déterminer ce programme.
$\quad$

Partie B

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que $4~000$ nouveaux ouvrages par an au lieu des $6~000$ prévus.
On appelle $v_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1$\ier$ janvier de l’année (2020 $+ n$).

On admet que $v_{n+1}=0,95\times v_n+4$ pour tout entier naturel $n\pg 0$ avec $v_0=42$.
On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $w_n=v_n-80$.
a. Montrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_0$.
$\quad$
b. En déduire l’expression de $w_n$ puis de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On donne ci-dessous un programme en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def objet(A) :}\\
\hspace{1cm}\text{v=42}\\
\hspace{1cm}\text{n=0}\\
\hspace{1cm}\text{while v<A :}\\
\hspace{2cm}\text{v=0.95*v+4}\\
\hspace{2cm}\text{n=n+1}\\
\hspace{1cm}\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
L’appel à la fonction $\text{objet(70)}$ renvoie $27$.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)u_n+6\\
&=0,95u_n+6\end{align*}$
$\quad$
Ce programme permet de déterminer la valeur de $u_n$.
$\quad$

Partie B

a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-80 \\
&=0,95v_n+4-80\\
&=0,95v_n-76\\
&=0,95v_n-0,95\times 80\\
&=0,95\left(v_n-80\right)\\
&=0,95w_n\end{align*}$
La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $w_0=v_0-80$ soit $w_0=-38$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=-38\times 0,95^n$.
Par conséquent :
$\begin{align*} v_n&=w_n+80 \\
&=80-38\times 0,95^n\end{align*}$
$\quad$
Cela signifie que c’est à partir de 2047 que la bibliothèque possèdera plus de $70~000$ ouvrages.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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