E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1.

a. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est strictement positif, alors ce polynôme admet $2$ racines positives.
b. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est strictement négatif, alors ce polynôme admet $2$ racines négatives.
c. Si un polynôme du second degré est toujours strictement positif, alors ce
polynôme n’admet pas de racine.
d. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est nul, alors ce polynôme admet le nombre $0$ pour racine.

$\quad$

Correction Question 1

Si le discriminant est strictement positif alors le polynôme possède $2$ racines (mais pas nécessairement positives).
Si le discriminant est strictement négatif alors le polynôme n’admet pas de racines réelles.
Si le discriminant est nul alors le polynôme ne possède qu’une seule racine (qui n’est pas nécessairement $0$).

Si un polynôme du second degré est toujours strictement positif, alors ce
polynôme n’admet pas de racine.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

a. L’équation $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ admet $2$ solutions dans
l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
b. L’équation $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ admet $1$ solutions dans
l’intervalle $[0;\pi[$.
c. L’équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ admet $1$ solutions dans
l’intervalle $[0;\pi[$.
d. L’équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ admet $2$ solutions dans
l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.

$\quad$

Correction Question 2

Sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ on a $\cos x\pg 0$.
Sur l’intervalle $[0;\pi[$ on a $\sin x\pg 0$

$\cos \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ appartient à l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

La courbe représentative d’une fonction $f$, définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels, est donnée ci-dessous avec ses tangentes, aux points $A$
et $B$ d’abscisses respectives $2$ et $4$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

a. $f(0)=1$
b. $f'(2)=1$
c. $f'(2)=-2$
d. $f'(4)=0,5$

$\quad$

Correction Question 3

$f(0) \approx -3$.
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$. Donc $f'(2)=1$ (graphiquement).
$f'(4)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $B$. Donc $f'(4)<0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $g$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par :
$g(x)=x^3-0,0012x+1$

a. $g$ est strictement croissante sur $\R$.
b. $g$ est croissante sur $\R$.
c. $g$ est constante sur l’intervalle $[-0,02 ; 0,02]$.
d. $g$ est décroissante sur l’intervalle $[-0,02 ; 0,02]$.

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=3x^2-0,0012$.
$g'(x)\pp 0 \ssi 3x^2-0,0012\pp 0 \ssi x^2\pp 0,0004 \ssi x\in[-0,02;0,02]$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

a. L’équation $\left(\e^x\right)^2$ admet deux solutions dans $\R$.
b. L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est $]0;+\infty[$.
c. La fonction dérivée de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ est la fonction $x\mapsto \e^{-x}$.
d. L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est $\R$.

$\quad$

Correction Question 5

La fonction exponentielle est définie sur $\R$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Lorsqu’il s’entraine au tennis, Roger utilise un lance-balle.
Cette machine lance les balles soit sur le coup droit soit sur le revers du joueur.

On la remplit de balles et on la programme de la façon suivante : deux tiers des balles seront lancées sur le coup droit du joueur, le reste sur son revers.

On s’intéresse à la réussite des frappes de Roger pendant une séance d’entraînement.
On note $D$ l’événement : « le joueur reçoit la balle sur son coup droit ».
On note $\conj{D}$ l’événement contraire de l’événement $D$.

Roger réussit $\dfrac{9}{10}$ de ses coups droits et $75 \%$ de ses revers.

On note $S$ l’événement : « La frappe de Roger est un succès ».

  1. Donner $p\left(\conj{D}\right)$.
    $\quad$
  2. Compléter l’arbre pondéré situé en annexe représentant la situation.
    $\quad$
  3. Calculer $p\left(\conj{D}\cap S\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Montrer que la probabilité que la frappe de Roger soit un succès est égale à $0,85$.
    $\quad$
  5. Sachant que la frappe que vient de réaliser Roger est un succès, calculer la probabilité que ce soit sur un revers. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $p(D)=\dfrac{2}{3}$ donc $p\left(\conj{D}\right)=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{D}\cap S\right)&=p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(S)\\
    &=\dfrac{1}{3}\times 0,75\\
    &=0,25\end{align*}$
    La probabilité que le joueur reçoive la balle sur son revers et que la frappe soit un succès est égale à $0,25$.
    $\quad$
  4. $D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(D\cap S)+p\left(\conj{D}\cap S\right) \\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{9}{10}+0,25\\
    &=0,85\end{align*}$
    La probabilité que la frappe de Roger soit un succès est égale à $0,85$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(S\cap \conj{D}\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,25}{0,85}\\
    &\approx 0,29\end{align*}$
    La probabilité que la frappe soit un revers sachant que la frappe de Roger est un succès est environ égale à $0,29$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\Oij$. On considère le triangle $OAB$ où $O$ est l’origine du repère, $A$ le point de coordonnées $(8 ; 0)$ et $B$ celui de coordonnées $(0 ; 6)$.

On considère le point $E$, milieu du segment $[AB]$.

La figure est donnée en annexe, elle sera complétée au fur et à mesure et sera rendue avec la copie.

On rappelle que dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé et que le centre de gravité d’un triangle est le point de concours de ses $3$ médianes.

  1. Calculer les $2$ produits scalaires suivants :
    a. $\vect{OA}.\vect{OB}$
    $\quad$
    b. $\vect{OA}.\vect{OE}$
    $\quad$
  2.  a. Justifier que l’équation $1,5x + y-6 = 0$ est une équation cartésienne de la médiane issue du point $B$ dans le triangle $OAB$. Tracer cette médiane sur la figure annexe.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation de la médiane issue de $O$ dans le triangle $OAB$.
    $\quad$
    c. Déterminer les coordonnées du point $G$, centre de gravité du triangle $OAB$.
    Placer le point $G$ sur la figure annexe.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$. Par conséquent $\vect{OA}.\vect{OB}=0$.
    $\quad$
    b. $E$ est le milieu de $[AB]$. Ses coordonnées sont donc $\left(\dfrac{8+0}{2};\dfrac{0+6}{2}\right)$ soit $(4;3)$.
    Par conséquent $\vect{OA}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{OE}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 4\\3\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}\vect{OA}.\vect{OE}&=8\times 4+0\times 3\\
    &=32\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $1,5\times 0+6-6=0$ : la droite d’équation $1,5x+y-6=0$ passe donc par le point $B$.
    Le point $F(4;0)$ est le milieu du segment $[OA]$.
    $1,5\times 4+0-6=6-6=0$ : la droite d’équation $1,5x+y-6=0$ passe donc par le point $F$.
    Ainsi, $1,5x+y-6=0$ est une équation cartésienne de la médiane issue du point $B$ dans le triangle $OAB$.
    Voir la figure à la question 2.c
    $\quad$
    b. Cette médiane passe par l’origine du repère.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=ax$.
    Elle passe par le point $E(4;3)$ Par conséquent $3=4a \ssi a=\dfrac{3}{4}$.
    Une équation de la médiane issue du point $O$ dans le triangle $OAB$ est donc $y=\dfrac{3}{4}x$.
    $\quad$
    c. Le point $G$ est le point d’intersection des médianes du triangle $OAB$.
    Les coordonnées du point $G$ sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\1,5x+y-6=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\1,5x+\dfrac{3}{4}x-6=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x\\2,25x=6\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x\\x=\dfrac{8}{3}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=\dfrac{8}{3}\\y=2\end{cases} \end{align*}$
    Le point $G$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{3};2\right)$.
    $\quad$

    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2016, a été lancée une plateforme de streaming par abonnement.
Le tableau suivant donne le nombre d’abonnés (en million) au 31 décembre de chaque année de 2016 jusqu’en 2019. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Rang de l’année}&1&2&3&4\\
\hline
\text{31 décembre de l’année:}&2016&2017&2018&2019\\
\hline
\text{Nombre d’abonnés (en millions)}&12&13,7&15,8&18,2\\
\hline
\end{array}$$
Les responsables de cette plateforme étudient l’évolution du nombre d’abonnés afin d’adapter leurs investissements.

  1. Quelle a été en pourcentage l’évolution du nombre d’abonnés entre 2016 et 2017 ?
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019, arrondi au centième, est de $14,89\%$.
    $\quad$
  3. On considère que le nombre d’abonnés a augmenté de $15\%$ par an à partir de 2016. On décide de modéliser ce nombre d’abonnés (en millions) par une suite de premier terme $12$.
    Préciser la nature de cette suite et sa raison.
    $\quad$
  4. Quel sera selon ce modèle, le nombre d’abonnés au 31 décembre 2020 ?
    $\quad$
  5. Pour déterminer en quelle année, selon ce modèle, sera obtenu l’objectif de $40$ millions d’abonnés, on a défini en langage Python la fonction Seuil ci-dessous.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
    4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\ldots \text{:}\\
    5& \hspace{1cm}\text{A= $\ldots$}\\
    6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$ afin que ce programme fournisse l’année où cet objectif sera atteint.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $\dfrac{13,7-12}{12}\approx 0,141~7$
    Le nombre d’abonnés a augmenté d’environ $14,17\%$ entre 2016 et 2017.
    $\quad$
  2. On a $12\left(1+\dfrac{14,89}{100}\right)^3\approx 18,2$.
    Le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019 est donc environ égal à $14,89\%$.
    $\quad$
  3. On appelle $u_n$ le nombre d’abonnés de l’année 2016$+n$. On a donc $u_0=12$.
    Pour tout entier naturel on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)u_n \\
    &=1,15u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_10=12$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12\times 1,15^n$.
    En 2020 on a $n=4$.
    Par conséquent $u_4=12\times 1,15^4 \approx 20,99$.
    Selon ce modèle, il y aura $20,99$ millions d’abonnés au 31 décembre 2020.
    $\quad$
  5. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
    4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{A< } \textcolor{Emerald}{40 } \text{:}\\
    5& \hspace{1cm}\text{A= A+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence