E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole $P$ d’équation $y=2x^2+4x-11$, de sommet $S$ et d’axe de symétrie la droite $\boldsymbol{D}$ . Quelle est la bonne proposition ?

a. $S(-4;5)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $y=5$.
b. $S(-1;-17)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $x=-1$.
c. $S(-1;-13)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $x=-1$.
d. $S(-1;-13)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $y=-1$.

$\quad$

Correction Question 1

L’abscisse du sommet est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a}\\
&=-\dfrac{4}{4}\\
&=-1\end{align*}$
Son ordonnée est $y_S=f(-1)=-13$.
Une équation de l’axe de symétrie est $x=-1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Une expérience aléatoire met en jeu des événements $A$ et $B$ et leurs événements contraires $\conj{A}$ et $\conj{B}$. L’arbre pondéré ci-dessous traduit certaines données de cette expérience aléatoire.

On a alors :

a. $P(B)=0,5$
b. $P(A\cap B)=0,9$
c. $P_A(B)=0,18$
d. $P_B(A)=\dfrac{9}{13}$

$\quad$

Correction Question 2

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right)\\
&=0,6\times 0,3+0,4\times 0,2\\
&=0,26\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,3}{0,26}\\
&=\dfrac{9}{13}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère le nombre réel $a=\dfrac{18\pi}{5}$.
Un des nombres réels suivants a le même point image que le nombre réel $a$ sur le cercle trigonométrique. Lequel ?

a. $\dfrac{3\pi}{5}$
b. $\dfrac{63\pi}{5}$
c. $\dfrac{-12\pi}{5}$
d. $\dfrac{-3\pi}{5}$

$\quad$

Correction Question 3

Deux nombres $a$ et $b$ ont le même point image sur le cercle trigonométrique si, et seulement si, $a-b=2k\pi$ avec $k\in \Z$.

$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{3\pi}{5}=3\pi$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{63\pi}{5}=-9\pi$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{-12\pi}{5}=6\pi \checkmark$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{-3\pi}{5}=4,2\pi$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. On a alors :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(1+x)\e^x$
c. $f'(x)=x\e^x$
d. $f'(x)=2x\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^x+x\e^x \\
&=(1+x)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Parmi les relations suivantes, quelle est celle qui permet de définir une suite géométrique de terme général $u_n$?

a. $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}$
b. $u_n=u_{n-1}+2$
c. $u_n=2{u_{n-1}}^2$
d. $u_n=2u_{n-1}+10$

$\quad$

Correction Question 5

Il faut obtenir une relation de la forme $u_n=qu_{n-1}$ pour tout $n\in \N^*$

Or $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2} \ssi u_n=\dfrac{1}{2}u_{n-1}$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2+3x-63$.
On appelle $\boldsymbol{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Déterminer $f'(x)$.
$\quad$
Etudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
$\quad$
Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
Justifier que la tangente à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $-1$ est la droite $\boldsymbol{D}$ d’équation $y=-64$.
$\quad$
Déterminer en quels points de la courbe $\boldsymbol{C}$ la tangente à la courbe est parallèle à la droite d’équation $y=3x-100$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La fonction $f$ est dérivables sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x+3\\
&=3x^2+6x+3\end{align*}$
$\quad$
$f'(x)=3x^2+6x+3$ est un polynôme du second degré.
On peut calculer son discriminant.
Mais on peut aussi remarquer que :
$\begin{align*} f'(x)&=3\left(x^2+2x+1\right)\\
&=3(x+1)^2\end{align*}$
Par conséquent $f'(x)\pg 0$ sur $\R$ et $f'(x)=0 \ssi x=-1$
$\quad$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
Une équation de la droite $\boldsymbol{D}$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1)$
Or $f'(-1)=0$ et $f(1)=-64$.
Ainsi une équation de $\boldsymbol{D}$ est $y=-64$.
$\quad$
Le coefficient directeur de la droite d’équation $y=3x-100$ est $3$.
On veut donc résoudre l’équation :
$\begin{align*} f'(x)=3&\ssi 3(x+1)^2=3 \\
&\ssi (x+1)^2=1\\
&\ssi x+1=1 \text{ ou } x+1=-1\\
&\ssi x=0\text{ ou } x=-2\end{align*}$
Seules les tangentes à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $0$ et $-2$ sont donc parallèles à la droite d’équation $y=3x-100$.
$\quad$
Remarque : On pouvait également résoudre une équation du second degré en utilisant le discriminant.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Pour placer un capital de $5~000$ euros, une banque propose un placement à taux fixe de $5 \%$ par an. Avec ce placement, le capital augmente de $5 \%$ chaque année par rapport à l’année précédente. Pour bénéficier de ce taux avantageux, il ne faut effectuer aucun retrait d’argent durant les quinze premières années.
On modélise l’évolution du capital disponible par une suite $\left(u_n\right)$. On note $u_n$ le capital disponible après $n$ années de placement.
On dépose $5~000$ euros le 1$\ier$ janvier 2020. Ainsi $u_0 = 5~000$.

Montrer que $u_2 = 5~512,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser son premier terme et sa raison.
$\quad$
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Justifier que le capital aura doublé après $15$ années de placement.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_0 \\
&=1,05\times 5~000\\
&=5~250\end{align*}$
Et donc
$\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_1 \\
&=1,05\times 5~250\\
&=5~512,5\end{align*}$
$2$ années après le placement le capital disponible sera de $5~512,5$ euros.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_n \\
&=1,05\times u_n\end{align*}$
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0=5~000$.
$\quad$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=5~000\times 1,05^n$.
$\quad$
$u_{15}=5~000\times 1,05^{15}\approx 10~395 >2u_0$.
Le capital aura bien doublé après $15$ années de placement.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-2 ; 1)$, $B(1 ; 2)$ et $E(0 ; -5)$. On appelle $\boldsymbol{C}$ le cercle de centre $A$ passant par $B$.

Justifier qu’une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
$\quad$
Calculer $\vect{AB}.\vect{AE}$.
$\quad$
Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(AE)$ ?
$\quad$
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AE)$.
$\quad$
Calculer les coordonnées des points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} AB&=\sqrt{\left(1-(-2)\right)^2+(2-1)^2}\\
&=\sqrt{3^2+1^2}\\
&=\sqrt{10}\end{align*}$
Ainsi une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-1)^2=\sqrt{10}^2$ soit $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
$\quad$
On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AE}\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}$.
Donc :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AE}&=3\times 2+1\times (-6)\\
&=0\end{align*}$
$\quad$
Les droites $(AB)$ et $(AE)$ sont donc perpendiculaires.
$\quad$
Le vecteur $\vect{AB}$ est donc normal à la droite $(AE)$.
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $3x+y+c=0$.
Le point $E(0;-5)$ appartient à cette droite.
Par conséquent $0-5+c=0\ssi c=5$.
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $3x+y+5=0$.
$\quad$
Les coordonnées des points d’intersection sont solution du système :
$\begin{align*} \begin{cases}3x+y+5=0\\(x+2)^2+(y-1)^2=10\end{cases}&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\(x+2)^2+(-5-3x-1)^2=10\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+(-6-3x)^2=10\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+36+36x+9x^2-10=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\10x^2+40x+30=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+3=0\end{cases}\end{align*}$
Le discriminant de l’équation du second degré $x^2+4x+3=0$ est :
$\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times 1\times 3\\
&=4\\
&>0\end{align*}$
Les solutions de cette équation sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}\\
&=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}\\
&=-1\end{align*}$
Si $x=-3$ alors $y=-5-3x=4$
Si $x=-1$ alors $y=-5-3x=-2$
Ainsi, les points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$ sont les points de coordonnées $(-3;4)$ et $(-1;-2)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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