E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\e^{2x}+\e^{4x}$ est égal à

a. $\e^{6x}$
b. $\e^{2x}\left(1+\e^2\right)$
c. $\e^{3x}\left(\e^x+\e^{-x}\right)$
d. $\e^{8x^2}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} e^{2x}+\e^{4x}&=\e^{3x}\times \e^{-x}+\e^{3x}\times \e^{x}\\
&=\e^{3x}\left(\e^{-x}+\e^{x}\right)\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère $\Oij$, on considère les vecteurs $\vec{u}(-5;2)$ et $\vec{v}(4;10)$ et la droite $(d)$ d’équation : $5x+2y+3=0$.

a. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires
b. $\vec{u}$ est un vecteur normal à la droite $(d)$
c. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
d. $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-5\times 4+2\times 10\\
&=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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Question 3

La dérivée $f’$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x-1)\e^{-x}$ est :

a. $2x\e^{-x}$
b. $-2x\e^{-x}$
c. $(-2x+3)\e^{-x}$
d. $2\e^{-x}+(2x-1)\e^{-x}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-x}+(2x-1)\times \left(-\e^{-x}\right)\\
&=(2-2x+1)\e^{-x}\\
&=(3-2x)\e^{-x}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Pour tout réel $x$, on a $\sin(\pi+x)=$

a. $-\sin(x)$
b. $\cos(x)$
c. $\sin(x)$
d. $-\cos(x)$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
La tangente à la courbe au point $A$ est la droite $T$.

a. $f'(0)=3$
b. $f'(0)=\dfrac{1}{5}$
c. $f'(0)=5$
d. $f'(0)=-5$

$\quad$

Correction Question 5

$f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $T$.
Cette droite passe par les points de coordonnées $(0;3)$ et $(1;-2)$.
Donc :
$\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{-2-3}{1-0}\\
&=-5\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La population d’une ville A augmente chaque année de $2\%$. La ville A avait $4~600$ habitants en 2010.
La population d’une ville B augmente de $110$ habitants par année. La ville B avait $5~100$ habitants en 2010.

Pour tout entier $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants de la ville A et $v_n$ le nombre d’habitants de la ville B à la fin de l’année 2010 $+n$.

Calculer le nombre d’habitants de la ville A et le nombre d’habitants de la ville B à la fin de l’année 2011.
$\quad$
Quelle est la nature des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ?
$\quad$
Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville A en 2020.
$\quad$
Donner l’expression de $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville B en 2020.
$\quad$
Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-dessous qui permet de déterminer au bout de combien d’années la population de la ville A dépasse celle de la ville B.
$$\begin{array}{l}
\text{def année ():}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=4600}\\
\hspace{0.5cm}\text{v=5100}\\
\hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while $\ldots$:}\\
\hspace{1cm}\text{u=$\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{v=$\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{n=$\ldots$}\\
\hspace{0.5cm}\text{return n}
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En 2011, le nombre d’habitants de la ville A est :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_0\\
&=1,02\times 4~600\\
&=4~692\end{align*}$
et celui de la ville B est :
$\begin{align*} v_1&=v_0+110\\
&=5~100+110\\
&=5~210\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_n\\
&=1,02u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=4~600$.
$v_{n+1}=v_n+110$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $110$ et de premier terme $v_0=5~100$.
$\quad$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=4~600\times 1,02^n$
En 2020, on a $n=10$
$u_{10}=4~600\times 1,02^{10} \approx 5~607$.
En 2020, la ville A compte $5~607$ habitants.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=5~100+110n$
$v_{10}=5~100+110\times 10=6~200$
En 2020, la ville B compte $6~200$ habitants.
$\quad$
On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{l}
\text{def année ():}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=4600}\\
\hspace{0.5cm}\text{v=5100}\\
\hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while u<=v :}\\
\hspace{1cm}\text{u=1.02*u}\\
\hspace{1cm}\text{v=v+110}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
\hspace{0.5cm}\text{return n}
\end{array}$$
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $h$ la fonction définie sur $[0 ; 26]$ par : $h(x)=-x^3+30x^2-108x-490$.

Soit $h’$ la fonction dérivée de $h$. Exprimer $h'(x)$ en fonction de $x$.
$\quad$
On note $C$ la courbe représentative de $h$ et $C’$ celle de $h’$.
a. Identifier $C$ et $C’$ sur le graphique orthogonal ci-dessous parmi les trois courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ proposées.
$\quad$
b. Justifier le choix pour $C’$.$\quad$
Soit $(T)$ la tangente à $C$ au point $A$ d’abscisse $0$. Déterminer son équation réduite.
$\quad$
Étudier le signe de $h'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $h$ sur $[0; 26]$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La fonction $h$ est dérivable sur $[0;26]$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;26]$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=-3x^2+30\times 2x-108 \\
&=-3x^2+60x-108\end{align*}$
$\quad$
a. et b. On a $h(0)=-490$.
C’est par conséquent la courbe $C_2$ qui représente la fonction $h$.
Le coefficient principal de $h'(x)$ est $a=-3<0$. $h’$ est donc représentée par la courbe $C_1$.
$\quad$
Remarque : La fonction $h$ est définie sur $[0;26]$ alors que les courbes laissent supposer qu’elles représentent des fonctions définies sur $\R$!
$\quad$
Une équation de la la droite $(T)$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
Or $f(0)=-490$ et $f'(0)=-108$
Une équation de $(T)$ est donc $y=-108x-490$.
$\quad$
On étudie le signe de $-3x^2+60x-108$.
C’est un polynôme du second degré donc le coefficient principal est $a=-3$.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=60^2-4\times (-3)\times (-108)\\
&=2~304\\
&>0\end{align*}$
Il possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-60-\sqrt{2~304}}{-6} \\
&=18\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-60+\sqrt{2~304}}{-6} \\
&=2\end{align*}$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
Remarque : L’énoncé original demander d’étudier la fonction sur l’intervalle $[0;30]$ !
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise qui fabrique des aiguilles dispose de deux sites de production, le site A et le site B. Le site A produit les trois-quarts des aiguilles, le site B l’autre quart. Certaines aiguilles peuvent présenter un défaut. Une étude de contrôle de qualité a révélé que :

$2\%$ des aiguilles du site A sont défectueuses ;
$4\%$ des aiguilles du site B sont défectueuses.

Les aiguilles provenant des deux sites sont mélangées et vendues ensemble par lots.
On choisit une aiguille au hasard dans un lot et on considère les événements suivants :

$A$ : l’aiguille provient du site A ;
$B$ : l’aiguille provient du site B ;
$D$ : l’aiguille présente un défaut.

L’événement contraire de $D$ est noté $\conj{D}$.

D’après les données de l’énoncé, donner la valeur de la probabilité de l’événement $A$ que l’on notera $P(A)$.
$\quad$
Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilités ci-dessous en indiquant les probabilités sur les branches.
$\quad$
Quelle est la probabilité que l’aiguille ait un défaut et provienne du site A ?
$\quad$
Montrer que $P(D) = 0,025$.
$\quad$
Après inspection, l’aiguille choisie se révèle défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle ait été produite sur le site A ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

D’après l’énoncé, on a $P(A)=0,75$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(A\cap D)&=P(A)\times P_A(D)\\
&=0,75\times 0,02 \\
&=0,015\end{align*}$
La probabilité que l’aiguille ait un défaut et provienne du site A est égale à $0,015$.
$\quad$
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D)\\
&=0,015+0,25\times 0,04 \\
&=0,025\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_D(A)&=\dfrac{P(D\cap A)}{P(D)}\\
&=\dfrac{0,015}{0,025}\\
&=0,6\end{align*}$
La probabilité que l’aiguille choisie ait été produite sur le site A sachant qu’elle se révèle défectueuse est égale à $0,6$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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