E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM en 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée, cependant des traces de recherche au brouillon peuvent aider à trouver la bonne réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans le repère orthogonal suivant on a tracé quatre courbes, chacune associée à une fonction de variable réelle $x$ et d’expression $\e^{\lambda x}$ où $\lambda$ est un paramètre réel.

Quelle courbe possède le plus petit paramètre $\lambda$?

a. $\mathcal{C}_f$
b. $\mathcal{C}_g$
c. $\mathcal{C}_h$
d. $\mathcal{C}_i$

$\quad$

Correction Question 1

Le paramètre $\lambda$ est négatif pour les fonctions $f$ et $g$ et positifs pour les fonctions $h$ et $i$.
Pour une abscisse négative donnée, le point de la courbe $\mathcal{C}_g$ associé a une ordonnée supérieure à celle du point de la courbe $\mathcal{C}_f$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On choisit au hasard un couple ayant deux enfants et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de filles du couple. On admet que la probabilité qu’un enfant soit une fille est égale à $0,5$ et qu’il y a indépendance du sexe de l’enfant entre deux naissances.
Déterminer $P(X \pg 1)$.

a. $0,25$
b. $0,5$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $0,75$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-0,5^2\\
&=0,75\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction sinus dans un repère orthogonal.

$A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ sont des points de $\mathcal{C}$ et ils tous la même ordonnée.

Parmi les segments suivants, lequel a pour longueur la période de la fonction sinus?

a. $\left[A_0;A_1\right]$
b. $\left[A_0;A_2\right]$
c. $\left[A_0;A_3\right]$
d. $\left[A_0;A_4\right]$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction sinus est une fonction périodique de période $2\pi$.
Seuls les points $A_0$ et $A_3$ ont des abscisses séparées de $2\pi$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=0,5x^2-2x+1$.
On considère l’équation $f(x)=0$, d’inconnue $x\in \R$. L’ensemble des solutions de cette équation est :

a. $\emptyset$
b. $\left\{2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}\right\}$
c. $\left\{2-\sqrt{6};2+\sqrt{6}\right\}$
d. $\left\{4-2\sqrt{2};4+2\sqrt{2}\right\}$

$\quad$

Correction Question 4

$f(x)$ est un polynôme du second degré dont le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 0,5\times 1 \\
&=2\end{align*}$
Les racines sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{2-\sqrt{2}}{1}\\
&=2-\sqrt{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{2+\sqrt{2}}{1}\\
&=2+\sqrt{2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

$ABC$ est un triangle tel que : $AB = 5$, $BC = 2$, $\widehat{ABC} = 60$°.  La longueur $AC$ est égale à

a. $\sqrt{19}$
b. $\sqrt{21}$
c. $\sqrt{28}$
d. $\sqrt{29}$

$\quad$

Correction Question 5

D’après la formule d’Al-Kashi on a :
$\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2-2AB\times BC\cos \widehat{ABC}\\
&=25+4-20\cos(60)\\
&=19\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On modélise la diffusion dans le sang d’un médicament de $1$ gramme par intraveineuse (fonction $f_1$, courbe représentative $\mathcal{C}_1$) ou par voie orale (fonction $f_2$, courbe représentative $\mathcal{C}_2$) pendant une durée de $10$ heures.
Plus précisément :

  • $f_1(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après injection par intraveineuse ;
  • $f-2(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après administration par voie orale.

Pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 10]$, on admet que $f_1(t)=\e^{-0,57t}$ et $f_2(t)=1,75t\e^{-t}$.
Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ de $f_1$ et $f_2$ sont représentées ci-dessous.

  1. Injection par voie intraveineuse
    a. Déterminer le sens de variation de la fonction $f_1$.
    $\quad$
    b. Résoudre graphiquement $f_1(t) < 0,1$. Interpréter la réponse dans le contexte.
    $\quad$
  2. Administration par voie orale
    On note $f_2’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
    a. Montrer que, pour tout $t$ de $[0 ; 1]$, $f_2′(t)=1,75(1-t)\e^{-t}$
    $\quad$
    b. Construire le tableau de variations de la fonction $f_2$.
    $\quad$
    c. À quel instant 𝑡 la proportion de médicament dans le sang est-elle la plus élevée ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f_1$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que composée de la fonction exponentielle et d’une fonction affine.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;10]$ on a : $f_1′(t)=-0,57\e^{-0,57t}$
    Ainsi $f'(t)<0$ sur $[0;10]$.
    La fonction $f_1$ est donc strictement décroissante sur $[0;10]$.
    $\quad$
    b. Graphiquement $f_1(t)<0,1$ si $t$ appartient à l’intervalle $]4;10]$ (valeur approchée pour $4$).
    La proportion de médicament est inférieure à $0,1$ à partir de $4$ heures.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f_2$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel de l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f_2′(t)&=1,75\e^{-t}+1,75t\times \left(-\e^{-t}\right)\\
    &=1,75(1-t)\e^{-t}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f_2′(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-t$.
    $1-t=0\ssi t=1$ et $1-t>0\ssi t<1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. La proportion de médicament dans le sang est la plus élevée au bout d’une heure.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Dans un pays, le nombre de créations d’entreprise augmente $1,5\%$ par mois.
En janvier 2018 on compte $50~000$ créations d’entreprise.
On modélise le nombre de créations d’entreprise au $n$-ième mois par une suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_{n+1}=u_n\times 1,015$ et $u_0=50$, $u_n$ est exprimé en milliers d’euros.

  1. a. Calculer $u_1$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
    b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Un journaliste annonce qu’au total dans l’année 2018, près de $652~ 000$ entreprises se sont créées. Donner un calcul permettant de justifier les propos du journaliste.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $u_1=1,015\times 50=50,75$
    $\quad$
    b. En février 2018 on compte donc $50~750$ créations d’entreprise.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,015u_n$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,015$ et de premier terme $u_0=50$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=50\times 1,015^n$.
    $\quad$
    c. On calcule :
    $\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots +u_{11} \\
    &=50\times \dfrac{1-1,015^{12}}{1-1,015} \\
    &\approx 652\end{align*}$
    Il y a donc bien eu environ $652~000$ créations d’entreprise en 2018.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

$\Oij$ est un repère orthonormé du plan.
On considère les points $A,B$ et $C$ de coordonnées respectives $(-2 ; 0)$, $(6 ; 0)$ et $(0 ; 6)$.
Les points $A’$, $B’$ et $C’$ milieux respectifs des segments $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.
Le cercle $\Gamma$ passant par les points $A’$, $B’$ et $C’$ a pour centre le point $I$ de coordonnées $(1 ; 2)$.

  1. a. Calculer le rayon de ce cercle.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation du cercle $\Gamma$ est $(x-1)^2+(y-2)^2=5$
    $\quad$
  2. Propriété des hauteurs du triangle $ABC$
    a. On admet que $O$ est le pied de la hauteur issue de $C$. Montrer que le point $O$ est sur le cercle $\Gamma$.
    $\quad$
    b. Soit $H_A$ le pied de la hauteur issue de $A$. Montrer que $H_A$ a pour coordonnées $(2 ; 4)$.
    $\quad$
    c. Justifier que la point $H_A$ est sur le cercle $\Gamma$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Le point $A’$, milieu de $[BC]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{6+0}{2};\dfrac{0+6}{2}\right)$ soit $(3;3)$.
    Ainsi le rayon du cercle de centre $I$ et passant par $A’$ est :
    $\begin{align*} R&=\sqrt{(3-1)^2+(3-2)^2}\\
    &=\sqrt{2^2+1^2}\\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Une équation du cercle $\Gamma$ est donc $(x-1)^2+(y-2)^2=\sqrt{5}^2$ soit $(x-1)^2+(y-2)^2=5$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $(0-1)^2+(0-2)^2=1+4=5$
    Donc $O(0;0)$ appartient à $\Gamma$.
    $\quad$
    b. Montrons tout d’abord que le point $H$ de coordonnées $(2;4)$ appartient à la droite $(BC)$.
    On a $\vect{BC}\begin{pmatrix} -6\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{BH}\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{BH}=\dfrac{2}{3}\vect{BC}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires et donc le point $H$ appartient à la droite $(BC)$.
    $\quad$
    $\vect{AH}\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$
    $\begin{align*}\vect{AH}.\vect{BC}&=-6\times 4+6\times 4\\
    &=0\end{align*}$
    Ainsi $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
    Par conséquent $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.
    Donc $H_A$ a bien pour coordonnées $(2;4)$.
    $\quad$
    c. On a $(2-1)^2+(4-2)^2=1+4=5$
    Donc $H_A$ est sur le cercle $\Gamma$.
    $\quad$

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$\quad$

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