E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point

Question 1

La courbe ci-contre $C_f$ est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction $f$. Les droites $d$ et $d’$ sont respectivement les tangentes à la courbe $C_f$ aux points d’abscisses $1$ et $2$.
Les équations réduites de $d$ et $d’$ sont respectivement :
$d : y = 2x-2$ et $d’ : y = -x+ 2$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $f'(1)=0$
b. $f'(2)=2$
c. $f'(2)=-1$
d. $f'(1)=-2$

$\quad$

Correction Question 1

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $d$ et $f'(2)$ est le coefficient directeur de la droite $d’$.
Ainsi $f(1)=2$ et $f'(2)=-1$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ tel que $\sin x=\dfrac{1}{2}$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
b. $x=\dfrac{\pi}{6}$
c. $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $x=-\dfrac{7\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 2

$x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ ce qui exclut les propositions b. et d.
Cela implique également que $\cos x<0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(3 ; 4)$ et $(4 ; 0)$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $\vect{OA}.\vect{OB}=20$
b. $\sin\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{\sqrt{17}}{5}$
c. $\cos\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{4}{5}$
d. $\sin\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{4}{5}$

$\quad$

Correction Question 3

$\widehat{AOB}=\widehat{AOH}$

Dans le triangle $AOH$, rectangle en $H$ on a :
$\begin{align*} \sin \widehat{AOB}&=\dfrac{AH}{OA}\\
&=\dfrac{4}{5}\end{align*}$

Réponse D

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $d$ une droite dont une équation cartésienne est : $3x + 2y-10 = 0$.
Une équation cartésienne de la droite $d’$ perpendiculaire à la droite $d$ et passant par le point $A$ de coordonnées $(1 ; 2)$ est :

a. $3x+2y-7=0$
b. $2x+3y-8=0$
c. $2x-3y+4=0$
d. $3x-2y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$.
C’est donc un vecteur normal à la droite $d’$. Une équation cartésienne de la droite $d’$ est alors $-2x+3y+c=0$.
Le point $A(1;2)$ appartient à la droite $d’$.
Par conséquent $-2+6+c=0 \ssi c=-4$.
Une équation cartésienne de la droite $d’$ est alors $-2x+3y-4=0$ ou encore $2x-3y+4=0$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(1 ; 2)$ et $(5 ;-2)$.
Une équation cartésienne du cercle $C$ de diamètre $[AB]$ est :

a. $x^2+y^2-8x-2y+7=0$
b. $(x-1)^2+(y-2)^2=32$
c. $x^2+y^2-4x+2y-5=0$
d. $x^2+y^2-6x+1=0$

$\quad$

Correction Question 5

Le diamètre du cercle $C$ est :
$\begin{align*} AB&=\sqrt{(5-1)^2+(-2-2)^2}\\
&=\sqrt{16+16}\\
&=\sqrt{32}\end{align*}$

Le rayon du cercle $C$ est :
$\begin{align*} R&=\dfrac{AB}{2} \\
&=\sqrt{8}\end{align*}$

Le centre du cercle $C$ est le milieu $M$ du segment $[AB]$.
$M$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{2+(-2)}{2}\right)$ soit $(3;0)$.

Une équation cartésienne du cercle $C$ est par conséquent :
$\begin{align*} &(x-3)^2+(y-0)^2=8 \\
\ssi~& x^2-6x+9+y^2-8=0\\
\ssi~&x^2-6x+y^2+1=0\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une balle en caoutchouc est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de $2$ mètres au-dessus du sol.
Le choc n’étant pas parfaitement élastique, la balle rebondit jusqu’à une hauteur de $1,60$ mètre et continue à rebondir, en atteignant après chaque rebond une hauteur égale au $\dfrac{4}{5}$ de la hauteur du rebond précédent.

On modélise les hauteurs atteintes par la balle par une suite $\left(h_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $h_n$ est la hauteur, exprimée en mètres, atteinte par la balle au $n$-ième rebond. On a alors $h_0=2$.

a. Donner $h_1$ et $h_2$ .
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$.
$\quad$
c. En déduire la nature de la suite $\left(h_n\right)$. On précisera sa raison et son premier terme.
$\quad$
d. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(h_n\right)$.
$\quad$
Déterminer le nombre minimal $N$ de rebonds à partir duquel la hauteur atteinte par la balle est inférieure à $20$ cm. Expliquer la démarche employée.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} h_1&=\dfrac{4}{5}h_0 \\
&=0,8\times 2\\
&=1,6\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} h_2&=\dfrac{4}{5}h_1 \\
&=0,8\times 1,6\\
&=1,28\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $h_{n+1}=0,8h_n$.
$\quad$
c. La suite $\left(h_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $h_0=2$.
$\quad$
d. On a $0<0,8<1$ et $h_0>0$.
La suite $\left(h_n\right)$ est donc strictement décroissante.
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $h_n<0,2$.
D’après la question précédente, la suite $\left(h_n\right)$ est donc décroissante.
On a $h_{10}\approx 0,21$ et $h_{11}\approx 0,17$.
Il faut donc au minimum $11$ rebonds pour que la hauteur atteinte par la balle soit inférieure à $20$ cm.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : un assortiment de macarons et une part de tarte tatin. Des études statistiques montrent que :

l’assortiment de macarons est choisi par $50 \%$ des clients ;
la part de tarte tatin, est choisie par $30 \%$ des clients ;
$20 \%$ des clients ne prennent pas de dessert ;
aucun client ne prend plusieurs desserts.

Le restaurateur a remarqué que :

parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, $80 \%$ prennent un café ;
parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, $60 \%$ prennent un café ;
parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, $90 \%$ prennent un café.

On interroge au hasard un client de ce restaurant.
On note les événements suivants :

$M$ : « Le client prend un assortiment de macarons » ;
$T$ : « Le client prend une part de tarte tatin » ;
$P$ : « Le client ne prend pas de dessert » ;
$C$ : « Le client prend un café » et $\conj{C}$ l’événement contraire de $C$.

En utilisant les données de l’énoncé, préciser la valeur de $P(T)$ probabilité de $T$ et celle de $P_T(C)$ probabilité de l’évènement $C$ sachant que $T$ est réalisé.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre ci-dessous :
$\quad$
a. Exprimer par une phrase ce que représente l’évènement $M \cap C$ puis calculer $P(M \cap C)$.
$\quad$
b. Montrer que $P(C) = 0,76$.
$\quad$
Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu’il prend un café? (On donnera le résultat arrondi au centième).
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $P(T)=0,3$ et $P_T(C)=0,6$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
a. $M\cap C$ est l’événement « Le client prend un assortiment de macarons et un café ».
$\begin{align*} P(M\cap C)&=P(M)\times P_M(C)\\
&=0,5\times 0,8\\
&=0,4\end{align*}$
$\quad$
b. $M$, $T$ et $P$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(C)&=P(M\cap C)+P(T\cap C)+P(P\cap C)\\
&=0,4+0,3\times 0,6+0,2\times 0,9\\
&=0,76\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_C(M)&=\dfrac{P(C\cap M)}{P(C)}\\
&=\dfrac{0,4}{0,76}\\
&\approx 0,53\end{align*}$
La probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu’il prend un café est environ égale à $0,53$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise vend des smartphones d’un seul modèle « haut de gamme ».
Le service marketing modélise le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par trimestre en fonction du prix de vente $x$ par la fonction $N$ définie par $N(x)=100\e^{-2x}$ où :

$x$ est le prix de vente en milliers d’euros d’un smartphone modèle « haut de gamme ». Le prix du smartphone modèle « haut de gamme » est compris entre $400$€ et $2~000$€ ; on a donc $x\in [0,4 ; 2]$.
$N(x)$ est le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus trimestriellement en millions d’unités.

Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à $1~000$ €, quel sera le nombre de smartphones vendus trimestriellement ?
On arrondira le résultat à mille unités.
$\quad$

La recette trimestrielle $R(x)$ est obtenue en multipliant le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par le prix de vente. On obtient $R(x) = x \times N(x)$ en milliards d’euros.
Le coût de production en milliards d’euros en fonction du nombre de smartphones modèle « haut de gamme » fabriqués est modélisé par la fonction $C$ définie par $C(x)= 0,4 \times N(x)$ où $x$ est le prix de vente en milliers d’euros.
Le bénéfice est obtenu en calculant la différence entre la recette et le coût de production.

Vérifier que le bénéfice trimestriel peut être estimé à 8,120 milliards d’euros pour un prix de vente $1~000$ €.
$\quad$
Montrer que le bénéfice trimestriel s’exprime en milliards d’euros en fonction du prix de vente $x$ en milliers d’euros par : $B(x)=(100x-40)\e^{-2x}$.
$\quad$
On admet que pour tout réel $x\in [0,4 ; 2]$, $B'(x)=(180-200x)\e^{-2x}$.
Étudier les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0,4 ; 2]$.
$\quad$
À quel prix faut-il vendre ces smartphones pour assurer un bénéfice maximal ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $N(1)=100\e^{-2} \approx 13,534$
Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à $1~000$ €, l’entreprise vendra environ $13,534$ millions de smartphone par trimestre.
$\quad$
On a $R(x)=1\times N(1)$ et $C(1)=0,4\times N(1)$
Le bénéfice est alors
$\begin{align*} B&=R(1)-C(1) \\
&=N(1)-0,4N(1)\\
&=0,6N(1) \\
&\approx 8,120\end{align*}$
Le bénéfice trimestriel peut être estimé à 8,120 milliards d’euros pour un prix de vente $1~000$ €.
$\quad$
Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0,4;2]$ on a :
$\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
&=100x\e^{-2x}-40\e^{-2x}\\
&=(100x-40)\e^{-2x}\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $B'(x)$ ne dépend donc que de celui de $180-200x$.
Or $180-200x=0 \ssi 200x=180 \ssi x=0,9$
et $180-200x>0 \ssi -200x>-180 \ssi x<0,9$
Par conséquent :
$\bullet$ $B'(x)>0$ sur $[0,4;0,9[$
$\bullet$ $B(0,9)=0$
$\bullet$ $B'(x)<0$ sur $]0,9;2]$
La fonction $B$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0,4;0,9]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[0,9;2]$.
$\quad$
La fonction $B$ atteint son maximum pour $x=0,9$.
Le bénéfice est donc maximal quand les smartphones sont vendus $900$€.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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