E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Question 1

On donne ci-dessous la courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$.


Cette courbe a une tangente $T$ au point $A(-3 ; 3)$.
L’équation réduite de cette tangente est :

a. $y=\dfrac{1}{5}x-3,7$
b. $y=\dfrac{1}{5}x+18$
c. $y=5x+18$
d. $y=5x-3,7$

$\quad$

Correction Question 1

D’après le graphique, l’ordonnée à l’origine de la droite $T$ est $18$.
Cette droite passe par les points de coordonnées $(-3;3)$ et $(0;18)$.
Le coefficient directeur est donc :
$\begin{align*} a&=\dfrac{18-3}{0-(-3)}\\
&=5\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On reprend la fonction $f$ de la question précédente. La représentation graphique de sa fonction dérivée est :

$\quad$

Correction Question 2

D’après le graphique, la fonction $f$ est croissante sur les intervalles $]-\infty;-2]$ et $[2;+\infty[$ et décroissante sur l’intervalle $[-2;2]$.
$f'(x)$ est donc positif sur $]-\infty;-2]$ et $[2;+\infty[$ et négatif sur $[-2;2]$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

L’expression $\cos(x+\pi)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à :

a. $-2\cos(x)$
b. $0$
c. $\cos(x)+\sin(x)$
d. $2\cos(x)$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \cos(x+\pi)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)&=-\cos(x)+\cos(x)\\
&=0\end{align*}$

Réponse 0

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2+4x+6$.
Cette fonction est strictement positive sur l’intervalle :

a. $]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[$
b. $]-1;3[$
c. $]-\infty;-3[\cup]1;+\infty[$
d. $]-3;1[$

$\quad$

Correction Question 4

Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times (-2)\times 6\\
&=64\\
&>0\end{align*}$

Les racines sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{64}}{-4}\\
&=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{64}}{-4}\\
&=-1\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-2<0$.
Par conséquent $f(x)>0$ sur l’intervalle $]-1;3[$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(2x-1)\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $h$ est définie sur $\R$ par :

a. $h'(x)=2\e^x$
b. $h'(x)=(2x+1)\e^x$
c. $h'(x)=(2x-1)\e^x$
d. $h'(x)=-\e^x$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $h $est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=2\e^x +(2x-1)\e^x \\
&=(2+2x-1)\e^x\\
&=(2x+1)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un globe-trotter a comme objectif de parcourir $2~000$ km à pied. Il peut parcourir $50$ km en une journée, mais, la fatigue s’accumulant, la distance qu’il parcourt diminue de $2\%$ chaque nouvelle journée.
On note la distance $D_n$ la distance parcourue durant le $n$-ième jour.
Le premier jour de son périple, il parcourt donc $D_1 = 50$ km.

  1. Calculer la distance parcourue le deuxième jour.
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(D_n\right)$ ? Donnez ses éléments caractéristiques.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, déterminer l’expression de $D_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Pour calculer le nombre de jours qu’il faudra au globe-trotter pour atteindre son objectif, on a écrit le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nb_jours:}\\
    \hspace{1cm}\text{j=1}\\
    \hspace{1cm}\text{u=50}\\
    \hspace{1cm}\text{S=50}\\
    \hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots$:}\\
    \hspace{2cm}\text{u=0.98*u}\\
    \hspace{2cm}\text{S=S+u}\\
    \hspace{2cm}\text{j= $\ldots\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{return j}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Compléter les deux lignes incomplètes de ce programme.
    $\quad$
  5. À l’aide de l’extrait de tableur ci-dessous, déterminer
    quand le globe-trotter aura atteint son objectif.

    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le deuxième jour, il a parcouru $50\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=49$ km.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} D_{n+1}&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)D_n\\
    &=0,98D_n\end{align*}$
    La suite $\left(D_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $D_1=50$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $D_n=50\times 50^{n-1}$.
    $\quad$
  4. On obtient le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nb_jours:}\\
    \hspace{1cm}\text{j=1}\\
    \hspace{1cm}\text{u=50}\\
    \hspace{1cm}\text{S=50}\\
    \hspace{1cm}\text{while S<2000:}\\
    \hspace{2cm}\text{u=0.98*u}\\
    \hspace{2cm}\text{S=S+u}\\
    \hspace{2cm}\text{j= j+1}\\
    \hspace{1cm}\text{return j}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. D’après le tableur, le globe-trotter atteindra son objectif au bout de $80$ jours.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Soit $\Oij$ un repère orthonormé.
On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(2 ; 5)$ et de rayon $5$.

  1. Montrer qu’une équation du cercle $\mathcal{C}$ est : $x^2+y^2-4x-10y=-4$.
    $\quad$
  2. Vérifier que le point $B(5; 9)$ appartient à ce cercle.
    $\quad$
  3. Que peut-on dire de la tangente au cercle au point $B$ et de la droite $(AB)$ ?
    $\quad$
  4. Déterminer une équation de la tangente au cercle au point $B$.
    $\quad$
  5. Calculer les coordonnées des points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Une équation du cercle $\mathcal{C}$ est :
    $\begin{align*} &(x-2)^2+(y-5)^2=5^2 \\
    \ssi~&x^2-4x+4+y^2-10x+25=25\\
    \ssi~&x^2-4x+y^2-10x=-4\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=5$ et $y=9$ alors
    $\begin{align*} x^2-4x+y^2-10x=25-20+81-90 \\
    &=-4\end{align*}$
    Donc $B$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
    $\quad$
  3. $[AB]$ est un rayon du cercle $\mathcal{C}$.
    Par conséquent la tangente au cercle au point $B$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
    $\quad$
  4. Le vecteur $\vect{AB}$ est donc normal à la tangente $(d)$ au cercle au point $B$.
    $\vect{AB}\begin{pmatrix} 3\\4\end{pmatrix}$.
    Une équation de $(d)$ est alors d la forme $3x+4y+c=0$
    Le point $B(5;9)$ appartient à cette droite.
    Par conséquent $15+36+c=0 \ssi c=-51$.
    Une équation de $(d)$ est $3x+4y-51=0$.
    $\quad$
  5. Les points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées ont une abscisse nulle.
    Ainsi leur ordonnées sont solution de l’équation $y^2-10y+4=0$.
    Le discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-10)^2-4\times 1\times 4 \\
    &=84\\
    &>0\end{align*}$
    Les racines sont donc :
    $\begin{align*} y_1&=\dfrac{10-\sqrt{84}}{2}\\
    &=5-\sqrt{21}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} y_1&=\dfrac{10+\sqrt{84}}{2}\\
    &=5+\sqrt{21}\end{align*}$
    Ainsi les points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées ont pour coordonnées $\left(0;5-\sqrt{21}\right)$ et $\left(0;5+\sqrt{21}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Lors des journées classées « rouges » selon Bison Futé, l’autoroute qui relie Paris à Limoges en passant par Orléans est surchargée.
Lors de ces journées classées « rouges », on a pu observer le comportement des automobilistes faisant le trajet de Paris à Limoges en passant par Orléans.

  • Pour le trajet de Paris à Orléans, $30 \%$ d’entre eux prennent la route nationale, les autres prennent l’autoroute.
  • Pour le trajet d’Orléans à Limoges :
    • parmi les automobilistes ayant pris la route nationale entre Paris et Orléans, $40 \%$ prennent la route départementale, les autres prennent l’autoroute ;
    • parmi les automobilistes n’ayant pas pris la route nationale entre Paris et Orléans, $45 \%$ prennent la route départementale , les autres prennent l’autoroute.

On choisit un automobiliste au hasard parmi ceux effectuant, en journée classée rouge, le trajet Paris – Limoges en passant par Orléans.

On note $N$ l’événement « l’automobiliste prend la route nationale entre Paris et Orléans » et $D$ l’événement « l’automobiliste prend la route départementale entre Orléans et Limoges ».
Si $A$ est un évènement, on note $\conj{A}$ l’évènement contraire de $A$.

  1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre ci-dessous.$\quad$
  2. Calculer $P\left(𝑁̅ \cap \conj{D}\right)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’automobiliste ne choisisse pas la Route Départementale entre Orléans et Limoges est $0,565$.
    $\quad$
    Lors de ces journées classées « rouges », on donne les temps de parcours suivants :
    Paris – Orléans, par autoroute : $3$ heures ;
    Paris – Orléans, par nationale : $2$ heures ;
    Orléans – Limoges, par autoroute : $4$ heures ;
    Orléans – Limoges, par départementale : $3$ heures et demie.
    $\quad$
  4. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, qui donne pour chaque trajet, le temps en heure et la probabilité :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Évènement}&N\cap D&N\cap \conj{D}&\conj{N}\cap D&\conj{N}\cap \conj{D}\\
    \hline
    \text{Temps en heure}&5,5&&&\\
    \hline
    \text{Probabilité}&0,12&&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Calculer l’espérance de la variable aléatoire qui donne la durée du trajet en heure et en donner une interprétation.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{N}\cap \conj{D}\right)&=P\left(\conj{N}\right)\times P_{\conj{N}}\left(\conj{D}\right) \\
    &=0,7\times 0,55\\
    &=0,385\end{align*}$
    La probabilité pour que l’automobiliste n’ait pris ni la route nationale ni la route départementale est égale à $0,385$.
    $\quad$
  3. $N$ et $\conj{N}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{D}\right)&=P\left(N\cap \conj{D}\right)+P\left(\conj{N}\cap \conj{D}\right)\\
    &=0,3\times 0,6+0,385\\
    &=0,565\end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Évènement}&N\cap D&N\cap \conj{D}&\conj{N}\cap D&\conj{N}\cap \conj{D}\\
    \hline
    \text{Temps en heure}&5,5&6&6,5&7\\
    \hline
    \text{Probabilité}&0,12&0,18&0,315&0,385\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne la durée du trajet en heure.
    On a ainsi $P(X=5,5)=0,12$, $P(X=6)=0,18$, $P(X=6,5)=0,315$ et $P(X=7)=0,385$.
    Ainsi l’espérance mathématique de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=5,5\times 0,12+6\times 0,18+6,5\times 0,315+7\times 0,385\\
    &=6,482~5\end{align*}$
    En moyenne, la durée du trajet est d’environ $6,5$ heures.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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