Sujet 03523 – 1

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Calculer la fraction irréductible égale à $\dfrac{18}{25}\times \dfrac{5}{3}$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{18}{25}\times \dfrac{5}{3}&=\dfrac{3\times 6\times 5}{5\times 5\times 3}\\
    &=\dfrac{6}{5}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Développer $(7-3x)(7+3x)$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*}(7-3x)(7+3x)&=7^2-(3x)^2 \\
    &=49-9x^2\end{align*}$
    $\quad$

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    $\quad$
  3. Calculer l’image de $1$ par $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2-3$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} f(1)&=-2\times 1^2-3\\
    &=-2\times 1-3\\
    &=-2-3\\
    &=-5\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $5x-7=3x-19$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    $\begin{align*}
    5x-7=3x-19&\ssi 5x-3x=-19+7\\
    &\ssi 2x=-12\\
    &\ssi x=-6
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $-6$.
    $\quad$

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    $\quad$
  5. Un article vaut $44$ euros et son prix subit une diminution de $25\%$. Calculer son nouveau prix.
    $\quad$
    Correction Question 5

    Le nouveau prix est :
    $\begin{align*} 44\times \left(1-\dfrac{25}{100}\right) &=44\times \dfrac{75}{100} \\
    &=44\times \dfrac{3}{4} \\
    &=33\end{align*}$
    $\quad$

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    $\quad$$\quad$

La fonction $h$, définie sur $[-6;5]$ est représentée par la courbe ci-dessous.
Par lecture graphique, répondre aux trois questions suivantes.

  1. Les antécédents de $-3$ par $h$ sont :
    $\quad$
    Correction Question 6

    Graphiquement les antécédentes de $-3$ par $h$ sont $-6$, $-2$ et $2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. L’ensemble des solutions de l’inéquation $h(x)\pp 0$ est :
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement l’ensemble solution de l’inéquation $h(x)\pp 0$ est $[-6;-5]\cup[-3;3]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Le tableau de variation de la fonction $h$ sur $[-6;5]$ est :
    $\quad$
    Correction Question 8


    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Calculer le coefficient multiplicateur associé à une diminution de $20\%$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    Le coefficient multiplication est $1-\dfrac{20}{100}=0,8$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Si $30\%$ d’une quantité $Y$ vaut $60$, que vaut $Y$?
    $\quad$
    Correction Question 10

    On a :
    $\begin{align*} \dfrac{30}{100}Y=60&\ssi Y=\dfrac{60\times 100}{30} \\
    &\ssi Y=200\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

 

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2+2x-3$.

  1. Parmi les nombres $a$, $b$ et $c$ suivants, lesquels sont des racines de $f$ ?
    $$a=1 \hspace{2cm}b=2\hspace{2cm} c=-3$$
    $\quad$
  2. Montrer que la forme factorisée de la fonction $f$ est $f(x)=(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
  3. Etudier le signe de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Parmi les trois courbes A, B, et C proposées ci-dessous, déterminer celle représentant la fonction $f$.$\quad$
  5. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $1^2+2\times 1-3=0$ donc $a$ est une racine de $f$.
    $2^2+2\times 2-3=5$ donc $b$ n’est pas une racine de $f$.
    $(-3)^2+2\times (-3)-3=0$ donc $c$ est une racine de $f$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} (x-1)(x+3)&=x^2+3x-x-3\\
    &=x^2+2x-3\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. Les racines du polynôme du second degré $f(x)$ sont $1$ et $-3$.
    Son coefficient principal est $1>0$.
    Par conséquent :
    $\bullet \quad f(x)<0$ sur $]-3;1[$
    $\bullet \quad f(x)=0$ si $x=-3$ ou $x=1$
    $\bullet \quad f(x)>0$ sur $]-\infty;-3[\cup]1;+\infty[$.
    $\quad$
  4. La courbe B est exclue car les racines ne sont pas $1$ et $-3$.
    Le coefficient principal de $f(x)$ est $1>0$. La fonction admet donc un minimum.
    La courbe A représente donc la fonction $f$.
    $\quad$
  5. L’abscisse du minimum est $-\dfrac{b}{2a}=-1$ et $f(-1)=-4$.
    On a donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Géométrie repérée – Janvier 2020

E3C – Géométrie repérée

Séries technologiques

On considère le modèle d’enceinte ci-dessous (Le Haut-Parleur Bluetooth Cube) dont les dimensions en cm sont : $$4,9 \times 4,9 \times 5,5$$
L’objectif est d’étudier le bouton de cette enceinte.

Cette enceinte est modélisée par un pavé droit $ABCDEFGH$ représenté sur la figure ci-dessus et tel que $\boldsymbol{AB=4,9, AD=4,9}$ et $\boldsymbol{AE=5,5}$.

On considère alors les points $I$, $J$ et $K$ respectivement situés sur les arêtes $[AB], [AD]$ et $[AE]$ tels que $AI=AJ=AK=1$. On munit ainsi l’espace d’un repère orthonormé $\left(A,\vect{AI},\vect{AJ},\vect{AK}\right)$, repère représenté dans l’Annexe 1 à joindre avec la copie.
Le bouton étudié y est représenté par le triangle $MNP$ de coordonnées $M(4,9; 3,7; 5,5)$, $N(3,7; 4,9; 5,5)$ et $P(4,9; 4,9; 4,4)$.

  1. Placer $M$, $N$ et $P$ sur la figure et colorier en rouge la section du cube par $MNP$.
    $\quad$
  2. Le bouton est conforme si chacune de ses dimensions mesure au moins $1$ cm.
    a. Calculer les longueurs $MN$, $MP$ et $NP$.
    $\quad$
    b. Le bouton est-il conforme ?
    $\quad$
  3. On considère un autre modèle d’enceinte constituée :
    – d’un cube de $8,1$cm de côté ;
    – d’un bouton en forme de croix, centrée sur la face supérieure, constituée de $2$ rectangles dont les côtés sont parallèles aux axes et mesurent chacun $2,2 \times 6,6$ cm ;
    – de hauts parleurs sur les faces latérales, représentées par des cercles de rayon $3,3$ cm, centrés sur chacune des faces.
    L’objectif de cette partie est de compléter la représentation en perspective parallèle de l’enceinte, représentation commencée dans l’Annexe 2 et à rendre avec la copie.
    Terminer la construction de la croix sur la face supérieure.
    $\quad$
  4. Un des hauts parleurs est représenté en Annexe 2. Représenter le haut-parleur de la
    deuxième face latérale visible. (On a déjà représenté un carré circonscrit au cercle).
    $\quad$

Annexe 1

Annexe 2

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} MN&=\sqrt{(3,7-4,9)^2+(4,9-3,7)^2+(5,5-5,5)^2}\\
    &=\sqrt{2,88}\\
    &>1\end{align*}$
    $\begin{align*} MP&=\sqrt{(4,9-4,9)^2+(4,9-3,7)^2+(5,5-4,4)^2} \\
    &=\sqrt{2,65}\\
    &>1\end{align*}$
    $\begin{align*} NP&=\sqrt{(4,9-3,7)^2+(4,9-4,9)^2+(4,4-5,5)^2}\\
    &=\sqrt{2,65}\\
    &>1\end{align*}$
    $\quad$
    b Les trois longueurs sont bien supérieures à $1$ cm.
    Le bouton est donc conforme.
    $\quad$
  3. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
  4. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une agence a lancé une campagne de publicité afin de faire connaître un nouveau produit. Elle a réalisé un sondage dans une zone géographique déterminée afin de connaître l’impact de cette campagne.

  • $28\%$ des personnes interrogées ont plus de 60 ans. Parmi elles, $40\%$ ont déclaré connaitre le produit.
  • $42 \%$ des personnes interrogées ont entre 25 et 60 ans. Parmi elles, $55\%$ ont déclaré connaitre le produit.
  • Parmi les personnes de moins de 25 ans, $75\%$ ont déclaré connaitre le produit.

On choisit au hasard une personne interrogée par l’agence de publicité et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « la personne interrogée a plus de 60 ans » ;
  • $M$ ∶ « la personne interrogée a entre 25 et 60 ans » ;
  • $J$ ∶ « la personne interrogée a moins de 25 ans » ;
  • $C$ ∶ « la personne interrogée déclare connaitre le produit ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

    $\quad$

  2. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit.
    $\quad$
  3. a. Calculer la probabilité de l’événement $S\cap C$
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’évènement $C$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit. Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(S\cap \conj{C}\right)&=P(S)\times P_S\left(\conj{C}\right) \\
    &=0,28\times 0,6\\
    &=0,168\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit est égale à $0,168$.
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*} P(S\cap C)&=P(S)\times P_S(C)\\
    &=0,28\times 0,4\\
    &=0,112\end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(S\cap C)+P(M\cap C)+P(J\cap C)\\
    &=0,112+0,42\times 0,55+0,3\times 0,75\\
    &=0,568\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $C$ est égale à $0,568$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C(S)&=\dfrac{P(C\cap S)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,112}{0,568}\\
    &\approx 0,197\end{align*}$
    La probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit est environ égale à $0,197$.
    $\quad$

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$\quad$

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