Sujet 03526 – 4

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Calculer $\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}$. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}&=\dfrac{8}{10}+\dfrac{5}{10} \\
    &=\dfrac{13}{10}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Compléter avec les exposants qui conviennent :
    $$2^3\times 10^5=2^{\ldots}\times 5^{\ldots}$$
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} 2^3\times 10^5&=2^3\times (2\times 5)^5 \\
    &=2^{3+5}\times 5^5 \\
    &=2^8\times 5^5\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter :
    Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $\ldots\ldots$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $1+\dfrac{3}{100}=1,03$
    Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $1,03$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Une table coûte $289$ €. Quel est son prix après une remise de $20 \%$ ?
    $\quad$
    Correction Question 4

    Montant de la remise : $289\times \dfrac{20}{100}=57,8$
    Nouveau prix : $289-57,8=231,2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Un canapé coûte $405,30$ € après une remise de $30 \%$. Quel était son prix avant la remise ?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ le prix avant remise.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=405,30&\ssi 0,7P=405,30 \\
    &\ssi P=\dfrac{405,3}{0,7}\\
    &\ssi P=579\end{align*}$
    Le canapé coûtait $579$ € avant la remise.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Comparer $0,75$ et $\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{3}{5}=0,6<0,75$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre l’équation $x^2=2$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $x^2=2\ssi x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$
    Les solutions de l’équation sont donc $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Compléter le tableau de signes de $(2-x)(3x+1)$.

    $\quad$
    Correction Question 8

    $2-x=0 \ssi x=2$ et $2-x>0 \ssi x<2$
    $3x+1=0\ssi 3x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{3}$ et $3x+1>0\ssi 3x>-1\ssi x>-\dfrac{1}{3}$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Déterminer l’équation réduite de la droite passant par les points $A(1 ; 3)$ et $B(5 ; 5)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{5-3}{5-1}=\dfrac{1}{2}$
    Une équation de $(AB)$ est donc de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
    $A(1;3)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Ainsi $3=\dfrac{1}{2}\times 1+b \ssi b=\dfrac{5}{2}$
    L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Factoriser l’expression : $(x-5)(x+1)-3(x-5)$.
    $\quad$
    Correction Question 10

    $\begin{align*} (x-5)(x+1)-3(x-5)&=(x-5)\left[(x+1)-3\right] \\
    &=(x-5)(x+1-3)\\
    &=(x-5)(x-2)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Suite à une épidémie dans une région, le nombre de personnes malades $t$ jours après l’apparition des premiers cas est modélisé par $f(t)=45t^2-t^3$ pour tout $t$ appartenant à
$[0 ; 45]$.

  1. Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de $20$ jours.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout ? appartenant à $[0 ; 45]$, $f'(t)=3t(30-t)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0 ; 45]$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 45]$.
    $\quad$
  5. Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de $45$ jours et préciser le nombre de personnes malades ce jour-là.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(20)=45\times 20^2-20^3=10~000$
    Au bout de $20$ jours il y aura donc $10~000$ malades selon ce modèle.
    $\quad$
  2. Pour tout $t\in [0;45]$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=45\times 2t-3t^2\\
    &=90t-3t^2\\
    &=3t(30-t)\end{align*}$
    $\quad$
  3. $3t=0 \ssi t=0$ et $3t>0 \ssi t>0$
    $30-t=0\ssi t=30$ et $30-t>0 \ssi t<30$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
  4. Voir tableau précédent
    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son maximum pour $t=30$.
    Le nombre de malades est maximal au bout de $30$ jours. Il y a alors $13~500$ malades ce jour-là.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2 ; 6]$ dont la
courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.

On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2 ; 6]$.

On considère les points $A(0 ; 30)$, $B(2 ; 14)$, $D(4 ; -10)$
et $E(4 ; -2)$. $A$, $B$ et $E$ sont trois points de la courbe $C_f$.

La droite $(BD)$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$.

Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points $A$ et $E$ sont parallèles à l’axe des abscisses.

  1. À l’aide des informations précédentes, recopier sur votre feuille le tableau ci-dessous en le complétant :
    $\quad$
  2. Donner le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$
  3. Lire graphiquement la valeur de $f'(2)$.
    $\quad$
  4. Parmi les courbes suivantes, une seule représente la fonction dérivée $f’$. Laquelle ? Justifier la réponse.

    $\quad$
  5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $5$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  2. La courbe coupe $3$ fois l’axe des abscisses.
    L’équation $f(x)=0$ possède donc $3$ solutions.
    $\quad$
  3. $f'(2)$ est le coefficient directeur de la droite $(BD)$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} f'(2)&=\dfrac{-10-14}{4-2}\\
    &=-12\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le tableau de signe de $f'(x)$ n’est pas cohérent avec la proposition 2.
    D’après la question précédente $f'(2)=-12$.
    C’est la courbe de la proposition 1 qui représente la fonction $f’$.
    $\quad$
  5. D’après la courbe représentant la fonction $f’$ on lit $f'(5)=15$.
    D’après la courbe représentant la fonction $f$ on lit $f(5)=5$.
    Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $5$ est $y=15(x-5)+5$ soit $y=15x-70$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Plusieurs fois par jour, un auxiliaire de puériculture change le nourrisson dont il a la charge en choisissant une couche au hasard, puis prépare un biberon, en utilisant un lait qu’il choisit au hasard également. Le stock de couches est composé de :

  • $50 \%$ de couches de la marque Nouvonez à $0,25$ € l’unité ;
  • $30 \%$ de couches de la marque Supersec à $0,35$ € l’unité ;
  • $20 \%$ de couches de la marque distributeur à $0,15$ € l’unité.

Dans le placard de la cuisine, l’auxiliaire de puériculture dispose de :

  • $60 \%$ de lait Vitamax (le coût du biberon est alors de $0,10$ €) ;
  • $40 \%$ de lait Grandivit (le coût du biberon est alors de $0,15$ €).

Dans tout l’exercice, on appelle séquence l’action de changer le nourrisson, puis de lui donner un biberon.

  1. Construire un arbre illustrant cette séquence.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que, lors d’une séquence, l’auxiliaire de puériculture utilise une couche Nouvonez et le lait Grandivit. Quel est alors le coût d’une telle
    séquence ?
    $\quad$

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque séquence, associe son coût en euro.

  1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
  2. Calculer l’espérance de ? et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

On admet que la probabilité que l’auxiliaire de puériculture utilise la séquence la moins chère est égale à $0,12$. L’auxiliaire de puériculture change et nourrit le nourrisson quatre fois au cours d’une même journée.

  1. Quelle est la probabilité qu’au cours d’une journée l’auxiliaire de puériculture utilise quatre fois la séquence la moins chère pour ce nourrisson ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On considère les événements :
    – $N$ « la couche est de la marque Nouvonez »
    – $S$ « la couche est de la marque Supersec »
    – $D$ « la couche est de la marque distributeur »
    – $V$ « le lait est de la marque Vitamax »
    On obtient alors l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(N \cap \conj{V}\right)&=P(N)\times P_N\left(\conj{V}\right)\\
    &=0,5\times 0,4\\
    &=0,2\end{align*}$
    La probabilité que, lors d’une séquence, l’auxiliaire de puériculture utilise une couche Nouvonez et le lait Grandivit est égale à $0,2$.
    $\quad$
    Le coût est alors égal à $0,25+0,15=0,40$ €.
    $\quad$
  3. $X$ peut prendre les $0,25;0,3;0,35;0,4;0,45;0,5$.
    $P(X=0,25)=P(D\cap V)=0,2\times 0,6=0,12$
    $P(X=0,3)=P\left(D\cap \conj{V}\right)=0,2\times 0,4=0,08$
    $P(X=0,35)=P(N\cap V)=0,5\times 0,6=0,3$
    $P(X=0,4)=P\left(N\cap \conj{V}\right)=0,5\times 0,4=0,2$
    $P(X=0,45)=P(S\cap V)=0,3\times 0,6=0,18$
    $P(X=0,5)=P\left(S\cap \conj{V}\right)=0,3\times 0,4=0,12$
    $\quad$
  4. L’espérance est :
    $\begin{align*} E(X)&=0,25\times 0,12+0,3\times 0,08+0,35\times 0,3\\
    &\phantom{=}+0,4\times 0,2+0,45\times 0,18+0,5\times 0,12 \\
    &=0,38\end{align*}$
    En moyenne une séquence coûte $0,38$ €.
    $\quad$
  5. La probabilité que l’auxiliaire de puériculture utilise quatre fois la séquence la moins chère est : $p=0,12^4=0,000~207~36$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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