Sujet 03527 – 5

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Pour un coefficient multiplicateur de $1,33$ le taux d’évolution en pourcentage est :
    $\quad$
    Correction Question 1

    $1,33=1+\dfrac{33}{100}$
    Le taux d’évolution est donc de $33\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Après une hausse de $120 \%$ un produit coûte $1~200$ €.
    Quel était son prix initial ?
    $\quad$
    Correction Question 2

    On appelle $P$ le prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*}
    P\left(1+\dfrac{120}{100}\right)=1~200 &\ssi 2,2P=1~200\\
    &\ssi P=\dfrac{1~200}{2,2}
    \end{align*}$
    $P$ n’admet pas d’écriture décimale. Une écriture sous la forme d’une fraction irréductible est $P=\dfrac{6~000}{11}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Écrire sous la forme décimale le résultat du calcul suivant $3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} &3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}\\=&3\times 1~000+6\times 100+4+5\times 0,1\\
    =&3~604,5\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $5-2x=0$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    $5-2x=0 \ssi 2x=5\ssi x=\dfrac{5}{2}$.
    La solution de l’équation est $\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

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    $\quad$
  5. L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x+6>0$ est
    $\quad$
    Correction Question 5

    $-3x+6>0\ssi -3x>-6\ssi x<2$
    L’ensemble des solutions est $]-\infty;2[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Factoriser $3x(x+5)-(x+5)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3x(x+5)-(x+5)^2&=(x+5)\left[3-(x+5)\right] \\
    &=(x+5)(3x-x-5)\\
    &=(x+5)(2x-5)\end{align*}$
    $\quad$

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    $\quad$
  7. $x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $6-2x\pp 4y$.
    Isoler $x$ dans cette inégalité.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $6-2x\pp 4y \ssi -2x\pp 4y-6 \ssi x\pg 3-2y$
    $\quad$

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    $\quad$
  8. $f(x)=x^2-3$
    Calculer l’image de $\sqrt{2}$ par cette fonction.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\begin{align*} f\left(\sqrt{2}\right)&=\sqrt{2}^2-3\\
    &=2-3\\
    &=-1\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont
    $\quad$
    Correction Question 9

    $3x+2=0\ssi 3x=-2 \ssi x=-\dfrac{2}{3}$
    Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont $\left(-\dfrac{2}{3};0\right)$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Donner l’équation réduite de la droite $(D)$ représentée ci-dessous
    $\quad$
    Correction Question 10

    On lit que l’ordonnée à l’origine est $-1$ et que le coefficient directeur est $\dfrac{1}{2}$ (on “monte” de $1$ unité quand on se déplace de $2$ unités vers la droite).
    L’équation réduite de $(D)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x-1$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Géométrie repérée – Janvier 2020

E3C – Géométrie repérée

Séries technologiques

La figure donnée en annexe à rendre avec la copie représente une pièce d’une maison.

On considère le repère orthonormé $( O , I , J , K )$ avec $OI = OJ = OK = 1$ unité de longueur $= 35$ cm.

  1. Déterminer la superficie au sol de cette pièce en cm$^2$.
    $\quad$
  2. Le mur $(OIK)$ contient une fenêtre carrée $MNPQ$ avec $M( 6 ; 0 ; 3 )$.
    Donner les coordonnées des points $N$, $P$ et $Q$.
    $\quad$
  3. On place dans cette pièce un bureau contre le mur $(OJK)$ dont le plateau est un rectangle de sommet $A ( 0 ; 6 ; 2 )$ , $B ( 0 ; 10 ; 2 )$ , $C ( 2 ; 10 ; 2 )$ et $D ( 2 ; 6 ; 2 )$.
    Dessiner le plateau de ce bureau sur la figure.
    $\quad$
  4. Le point $E ( 1 ; 8 ; 6 )$ matérialise l’emplacement d’un éclairage.
    Cet éclairage est-il situé au-dessus du centre de la table ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  5. Des rayons lumineux traversent la fenêtre jusqu’au sol.
    Le point $q$ représente le projeté sur le sol du point $Q$ parallèlement au rayon lumineux $(Qq)$.
    Construire les projetés des points $M$, $N$ et $P$ sur le sol puis tracer l’ombre de la fenêtre au sol.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La surface au sol est :
    $\begin{align*} S&=(8\times 35) \times (12\times 35)\\
    &=117~600 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $N(3;0;3)$, $P(3;0;6)$ et $Q(6,0,6)$.
    $\quad$
  3. Voir figure plus bas
    Pour placer le point $D$ on trace la parallèle à $(OI)$ et on reporte la longueur $2OI$. On procède de la même manière pour placer le point $C$.
    $\quad$
  4. Le centre de la table est le milieu de $[AC]$.
    Il a pour coordonnées $\left(\dfrac{0+2}{2};\dfrac{6+10}{2};\dfrac{2+2}{2}\right)$ soit $(1;8;2)$.
    Les deux premières coordonnées du point $E$ et du milieu de la table sont donc égales.
    Ainsi l’éclairage est bien situé au-dessus du centre de la table.
    $\quad$
  5. On obtient la figure suivante:

    On utilise le fait que les points de la droite $(OI)$ sont leur propre ombre. On trace ensuite la droite $(Qq)$, sa parallèle passant par $M$. L’image de la droite $(QM)$ passe par le projeté de $Q$ sur $(OI)$ et par $q$. On obtient ainsi le point $m$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

En 2021, une entreprise compte produire au plus $60~000$ téléphones portables pour la France et les vendre $800$ € l’unité. On suppose que tous les téléphones produits sont vendus.

Le coût de production, en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur $[0 ; 60~000]$ par : $$C(x) = 0,01x^2 + 250x + 2~500~000$$
où $x$ représente le nombre de téléphones fabriqués et vendus.

  1. a. Calculer $C(7~500)$. Interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
    b. Calculer le montant de la recette, en euros, que rapporte la vente de $7~500$ téléphones.
    En déduire le montant du bénéfice, en euros, pour $7~500$ téléphones vendus.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout $x\in [0 ; 60~000]$, le bénéfice, en euros, est défini par : $$B(x) = -0,01𝑥^2 + 550𝑥-2~ 500~000$$
    où $x$ représente le nombre de téléphone fabriqués et vendus.
    $\quad$
  3. a. Étudier les variations de la fonction $B$ sur $[0 ; 60~000]$.
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de téléphone que l’entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice maximal. Donner la valeur ce bénéfice en euros.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $C(7~500)=4~967~500$
    Le coût de production de $7~500$ téléphones s’élèvent à $4~967~500$ €.
    $\quad$
    b. La recette est alors $7~500\times 800=6~000~000$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in[0;60~0000]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=800x-C(x)\\
    &=800x-0,01x^2-250x-2~500~000\\
    &=-0,01x^2+550x-2~500~000\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-0,01<0$.
    Le maximum est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=27~500$.
    Ainsi la fonction $B$ est strictement croissante sur $[0;27~500]$ et strictement décroissante sur $[27~500;60~000]$.
    $\quad$
    b. Le bénéfice maximal est donc réalisé quand l’entreprise produit et vend $27~500$ téléphones.
    Le bénéfice maximal vaut alors $B(27~500)=5~062~500$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Lors d’une épidémie observée sur une période de onze jours, un institut de veille sanitaire a étudié l’évolution du nombre de personnes malades.
La durée, écoulée à partir du début de la période, est exprimée en jours. Elle est notée $t$.
On modélise le nombre de cas grâce à la fonction $f$, où $f(t)$ représente le nombre personnes malades, en milliers, à l’instant $t$.
Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Le nombre $f'(t)$ représente la vitesse d’évolution de la maladie, $t$ jours après l’apparition des premiers cas.

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$, définie sur l’intervalle $[0 ; 11]$. La droite $\mathcal{T}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$ et passe par le point $A$ de coordonnées $(4 ; 45)$.

  1. a. Déterminer par lecture graphique $f'(0)$.
    $\quad$
    b. En déduire l’équation réduite de la tangente $\mathscr{T}$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0 ; 11]$ par :
    $$f(t)=-t^3+\dfrac{21}{2}t^2+\dfrac{45}{4}t$$
    a. Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ dans l’intervalle $[0 ; 11]$.
    $\quad$
    b. On admet que , pour tout $t$ dans l’intervalle $[0 ; 11]$,
    $$f'(t)=-3\left(t+\dfrac{1}{2}\right)\left(t-\dfrac{15}{2}\right)$$
    Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0 ; 11]$.
    $\quad$
    c. Retrouver par le calcul l’équation réduite de la tangente $\mathscr{T}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $f'(0)$ est le coefficient directeur de $\mathcal{T}$.
    Ainsi $f'(0)=\dfrac{45-0}{4-0}=11,25$.
    $\quad$
    b. Une équation de $\mathscr{T}$ est $y=11,25x$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $t\in[0;11]$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=-3t^2+\dfrac{21}{2}\times 2t+\dfrac{45}{4}\\
    &=-3t^2+21t+\dfrac{45}{4}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Sur $[0;11]$ on a $t+\dfrac{1}{2}>0$
    $t-\dfrac{15}{2}=0\ssi t=\dfrac{15}{2}$ et $t-\dfrac{15}{2}>0\ssi t>\dfrac{15}{2}$
    On obtient ainsi le tableau de signes et de variations suivant :
    $\quad$
    c. $f'(0)=\dfrac{45}{4}$ et $f(0)=0$
    L’équation réduite de $\mathcal{T}$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ soit donc $y=\dfrac{45}{4}x$ ou encore $y=11,25x$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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