E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Soit $B=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}\times \dfrac{4}{5}$.
    Donner la valeur de $B$ sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*} B&=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}\times \dfrac{4}{5}\\
    &=\dfrac{5}{3}-\dfrac{28}{15}\\
    &=\dfrac{25}{15}-\dfrac{28}{15}\\
    &=-\dfrac{3}{15}\\
    &=-\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Un prix est multiplié par $0,84$. Quel est le taux d’évolution de ce prix ?
    $\quad$
    Correction Question 2

    $0,84=1-0,16$.
    Il s’agit donc d’une baisse de $16\%$. Le taux d’évolution est donc $-16\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Un prix augmente de $20\%$ puis baisse de $30 \%$. Quelle est l’évolution globale de ce prix ?
    $\quad$
    Correction Question 3

    Le coefficient multiplicateur est :
    $\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
    &=1,2\times 0,7\\
    &=0,84\\
    &=1-0,16\end{align*}$
    Le prix a subi une baisse de $16\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Dans le repère ci-dessous, tracer la droite d’équation $y=3x-2$.
    $\quad$
    Correction Question 4


    Son ordonnée à l’origine est $-2$ et son coefficient directeur est $3$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $5x+1=4$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $5x+1=4\ssi 5x=3\ssi x=\dfrac{3}{5}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Résoudre l’équation $3x^2=12$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $3x^2=12\ssi x^2=4\ssi x=2$ ou $x=-2$
    Les solutions de l’équation sont $-2$ et $2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Développer l’expression $A=(2x-1)^2-x^2$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*} A&=(2x-1)^2-x^2\\
    &=(2x)^2-2\times 2x\times 1+1^2-x^2\\
    &=4x^2-4x+1-x^2\\
    &=3x^2-4x+1\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Voici la répartition des notes sur $5$ d’une classe de première :

  1. L’effectif total de la classe est :
    $\quad$
    Correction Question 8

    $4+8+7+5+1=25$
    Il y a donc $25$ élèves dans la classe.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Quel est le pourcentage de la classe qui a eu $4$ sur $5$ ?
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\dfrac{5}{25}=0,2$.
    $20\%$ des élèves ont donc eu $4$ sur $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Quel est le pourcentage d’élèves de la classe qui ont eu la moyenne ?
    $\quad$
    Correction Question 8

    $7+5+1=13$
    $\dfrac{13}{25}=\dfrac{52}{100}$
    $52\%$ des élèves ont eu la moyenne
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un skateur se lance sur une rampe d’un skate park. On assimile le skateur à un point et on note $\left(x;h(x)\right)$ les coordonnées du skateur sur la rampe dans le repère ci-dessous :

La fonction $h$ est définie sur l’intervalle $[0;7]$ par $h(x)=0,5x^2-4,5x+7$, où $h(x)$ sont exprimés en mètres.

  1. À quelle hauteur le skateur se lance-t-il sur la rampe ?
    $\quad$
  2. a. Sans justification, donner la valeur de $h(2)$.
    $\quad$
    b. Calculer $h(7)$. En déduire la forme factorisée de $h(x)$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le skateur est en dessous de son point d’arrivée.
    $\quad$
  4. Déterminer le minimum de $h$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $h(0)=7$.
    Le skateur se lance sur la rampe à une hauteur de $7$ mètres.
    $\quad$
  2. a. $h(2)=0$ (on peut le lire sur le graphique ou le calculer avec l’expression de $h(x)$).
    $\quad$
    b. $h(7)=0,5\times 7^2-4,5\times 7+7=0$
    Ainsi $2$ et $7$ sont les racines du polynôme du second degré $h(x)$ dont le coefficient principal est $0,5$.
    Par conséquent $h(x)=0,5(x-2)(x-7)$.
    $\quad$
  3. On veut donc résoudre $h(x)<0$.
    $0,5>0$ par conséquent $h(x)<0$ sur $]2;7[$.
    $\quad$
  4. Le minimum est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=4,5$.
    $h(4,5)=-3,125$.
    Le minimum de $h$ est donc $-3,125$.
    La position la plus basse du skateur est donc $3,125$ mètres en dessous de son point d’arrivée.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise produit et vend des courgettes. Elle a la capacité de produire entre $0$ et $16$ tonnes.
On note $C(x)$ le coût de production, exprimé en euros, de $x$ tonnes de courgettes.
La fonction $C$ est donc définie sur $[0 ; 16]$ et elle est donnée par : $$C(x)=x^3-15x^2+78x-650$$

Chaque tonne de courgettes est vendue $150$ euros.

On rappelle que le bénéfice correspond à la différence entre la recette et le coût de production.

  1. Vérifier que le bénéfice $B(x)$ s’exprime par : $B(x)=-x^3+15x^2+72x+650$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $B$ est dérivable sur $[0; 16]$ et on note $B’$ sa dérivée.
    Déterminer $B'(x)$.
    $\quad$
  3. Montrer que $B'(x)=-3(x+2)(x-12)$ pour $x$ appartenant à $[0 ; 16]$.
    $\quad$
  4. À l’aide d’un tableau de signes, étudier le signe de $B'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 16]$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur $[0 ; 16]$.
    $\quad$
  5. Quelle quantité de courgettes l’entreprise doit-elle produire et vendre pour avoir un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout $x\in[0;16]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=150x-C(x)\\
    &=150x-x^3+15x^2-78x+650\\
    &=-x^3+15x^2+72x+650\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in[0;16]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-3x^2+15\times 2x+72\\
    &=-3x^2+30x+72\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout $x\in[0;16]$
    $\begin{align*} -3(x+2)(x-12)&=-3\left(x^2-12x+2x-24\right)\\
    &=-3\left(x^2-10x-24\right)\\
    &=-3x^2+30x+72\\
    &=B'(x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $x+2>0$ sur $[0;16]$
    $x-12=0\ssi x=12$ et $x-12>0\ssi x>12$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau précédent, l’entreprise soit produire et vendre $12$ tonnes de courgettes pour réaliser un bénéfice maximal qui est $1~946$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une enquête est effectuée dans un établissement de $1~550$ élèves afin de connaitre leur groupe sanguin ; les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{1cm}\textbf{A}\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\textbf{B}\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\textbf{O}\hspace{1cm}\\
\hline
~~\textbf{Garçons}~~&217&47&536\\
\hline
\textbf{Filles}&295&21&434\\
\hline
\end{array}$$

  1. On choisit au hasard un des élèves parmi les $1~550$ élèves de l’établissement.
    On considère :
    $\bullet$ L’événement $F$ : « l’élève choisi est une fille ».
    $\bullet$ L’événement $M$ : « L’élève choisi est du groupe B ».
    On note $\conj{F}$ l’évènement contraire de l’évènement $F$.
    a. Montrer que $P(F)=\dfrac{15}{31}$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’événement $M$. Le résultat sera arrondi à $10^{-1}$.
    $\quad$
    c. Définir par une phrase les événements $\conj{F}\cap M$ et $F\cup M$.
    $\quad$
    d. Calculer la probabilité de l’événement $F\cup M$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un élève du groupe B. Calculer alors la probabilité que l’élève choisi soit un garçon. Le résultat sera arrondi à $10^{-1}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a.
    $\begin{align*} P(F)&=\dfrac{295+21+434}{1~550}\\
    &=\dfrac{750}{~1550}\\
    &=\dfrac{15}{31}\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P(M)&=\dfrac{47+21}{1~550}\\
    &=\dfrac{68}{1~550}\\
    &\approx 0\end{align*}$
    Remarque : $P(M)\approx 0,044$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
    c. $\conj{F}\cap M$ : « l’élève choisi est un garçon du groupe B »
    $F\cup M$ : « l’élève choisi est une fille ou est du groupe B »
    $\quad$
    d.
    $\begin{align*} P(F\cup M)&=\dfrac{295+21+434+47}{1~550}\\
    &=\dfrac{797}{1~550}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M\left(\conj{F}\right)&=\dfrac{P\left(M\cap \conj{F}\right)}{P(M)}\\
    &=\dfrac{47}{47+21}\\
    &\approx 0,7\end{align*}$
    La probabilité que l’élève choisi soit un garçon sachant qu’il est du groupe B est environ égale à $0,7$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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