E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Pour les question 1 et 2, on utilisera l’énoncé suivant :

On note $T_F$ la température en degrés Fahrenheit et $T_C$ la température en degrés Celsius.
On a la relation : $T_F=1,8T_C+32$.

Si $T_C=30$, a valeur exacte de $T_F$ est :
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} T_F&=1,8T_C+32\\
&=1,8\times 30+32\\
&=54+32\\
&=86\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Si $T_F=50$, alors $T_C$ est égale à :
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} 50=1,8T_C+32&\ssi 18=1,8T_C\\
&\ssi T_C=10\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un objet coûte $45$ €. Il augmente de $30 \%$. Quel est son nouveau prix ?
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} 45\times \left(1+\dfrac{30}{100}\right)&=45\times 1,3\\
&=58,5\end{align*}$
Après l’augmentation l’article coûte $58,5$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un prix augmente de $10\%$ puis baisse de $30 \%$.
Quelle est l’évolution globale de ce prix ?
$\quad$

Correction Question 4

Le coefficient multiplicateur est :
$\begin{align*} C_M&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
&=1,1\times 0,7\\
&=0,77\\
&=1-\dfrac{23}{100}\end{align*}$
Le prix a donc baissé de $23\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5x+1=4(2x-3)$.
$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} 5x+1=4(2x-3)&\ssi 5x+1=8x-12\\
&\ssi -3x=-13\\
&\ssi x=\dfrac{13}{3}\end{align*}$
La solution de l’équation est $\dfrac{13}{3}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Résoudre l’inéquation $-4x+1<3-2x$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} -4x+1<3-2x&\ssi -2<2x\\
&\ssi -1<x\end{align*}$
L’ensemble solution est donc $]-1;+\infty[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Pour les questions 7 à 10, on utilisera l’énoncé suivant :
Sur le graphique suivant, on a représenté la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$

Lire sur le graphique l’image de $-1$ par $f$.
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement $f(-1)=4$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre $f(x)=-2$ avec la précision que permet le graphique.
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement les solutions de $f(x)=-2$ sont, approximativement $-2,2$ ; $2$ et $2,2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Dresser le tableau de signe de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.
$\quad$

Correction Question 9

$\quad$

[collapse]
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.

Correction Question 10

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un athlète s’entraîne au lancer de javelot. Au moment du lancer, le lanceur tient le javelot de telle manière que la pointe se trouve à la hauteur du sommet de son crâne. Pendant sa course, on considère que les frottements qui s’exercent sur la pointe du javelot sont négligeables, et que le javelot n’est soumis qu’à son poids. La trajectoire de la pointe du javelot est donc modélisée par une parabole.

Lors du premier essai de l’athlète, la trajectoire de la pointe du javelot est donnée par la fonction $f$ telle que $f(x)=-0,01x^2+0,57x+1,8$, où $x$ est la distance au sol en mètres parcourue par la pointe du javelot et $f(x)$ l’altitude, en mètres, de la pointe du javelot quand celle-ci se trouve à une distance au sol de $x$ mètres du lanceur. On donne ci-dessous la représentation graphique de $f$.
a. Calculer $f(0)$. Quelle est la taille de l’athlète ?
$\quad$
b. Vérifier que $f(x)=-0,01(x+3)(x-60)$.
$\quad$
c. Quelle est la distance au sol totale parcourue par le javelot ?
$\quad$
d. Donner le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$. La hauteur maximale atteinte par le javelot dépasse-t-elle $10$ m? Justifier.
$\quad$
Lors du deuxième essai, la pointe du javelot réalise une trajectoire décrite par la fonction $h$ telle que $h(x) = -0,01x^2+0,6x+1,8$, où $x$ est la distance au sol en mètres parcourue par la pointe du javelot et $h(x)$ l’altitude en mètres de la pointe du javelot quand celle-ci se trouve à une distance au sol de $x$ mètres du lanceur.
On a écrit le script suivant en Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{x=60}\\
\text{for i in range(1,6):}\\
\hspace{1cm} \text{print(” x= “,x , “h(x)=”,-0.01*x**2+0.6*x+1.8)}\\
\hspace{1cm} \text{x=60+i}\\
\hline
\end{array}$$
Lorsqu’on l’exécute, on obtient l’affichage suivant :
$\qquad \text{x= 60 h(x)= 1.8}$
$\qquad \text{x= 61 h(x)= 1.1900000000000006}$
$\qquad \text{x= 62 h(x)= 0.559999999999998}$
$\qquad \text{x= 63 h(x)= -0.09000000000000052}$
$\qquad \text{x= 64 h(x)= -0.7600000000000022}$
L’athlète a-t-il amélioré sa performance par rapport à son premier lancer ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. $f(0)=-0,01\times 0^2+0,57\times 0+1,8=1,8$
L’athlète mesure donc $1,8$ m.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} -0,01(x+3)(x-60)&=-0,01\left(x^2-60x+3x-180\right)\\
&=-0,01\left(x^2-57x-180\right)\\
&=-0,01x^2+0,57x+1,8\\
&=f(x)\end{align*}$
$\quad$
c. $f(x)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-60=0$ $\ssi x=-3$ ou $x=60$.
Le javelot touche donc le sol après avoir parcouru $60$ mètres.
$\quad$
d. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-0,01<0$.
Son maximum est atteint en $-\dfrac{b}{2a}=28,5$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :

La hauteur maximale est donc $9,922~5$ m. Elle ne dépasse donc pas $10$ m.
$\quad$
D’après le script $h$ s’annule pour $x\in ]62;63[$.
La distance parcourue par le javelot est donc supérieure à $60$ m.
L’athlète a donc amélioré sa performance par rapport à son premier lancer.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Lorsqu’on conduit une voiture, il est conseillé de laisser entre son propre véhicule et celui qui précède, une distance de sécurité $D$ qui est fonction de la vitesse $v$ à laquelle on roule.
On admet que : $D(v)=0,003v^2+0,3v+8$ où $v$ est exprimée en km/h et $D$ en mètres.
Cette formule est valable pour une vitesse v comprise entre $10$ km/h et $130$ km/h.

. Calculer, arrondies au mètre près, les distances à respecter pour des vitesses de $50$ km/h et $130$ km/h.
$\quad$
La distance de sécurité est-elle proportionnelle à la vitesse ? Justifier votre réponse.
$\quad$
On admet que la fonction $D$ est dérivable sur $[10 ; 130]$ et on note $D’$ sa dérivée.
On admet que :
$$D'(v) = 0,006v + 0,3$$
En déduire que la fonction $D$ est strictement croissante sur l’intervalle $[10 ; 130]$.
$\quad$
Un tableur permet d’obtenir le tableau de valeurs suivant, dans lequel les valeurs de $D(v)$ sont données à l’unité près :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\boldsymbol{v}&20&40&60&80&100&120\\
\hline
\boldsymbol{D(v)}&15&25&37&51&68&87\\
\hline
\end{array}$$
Quelle est la vitesse à ne pas dépasser si on suit un véhicule à $51$ m ?
$\quad$
La société d’autoroute installe des panneaux de signalisation pour sensibiliser les conducteurs : « Un trait : danger, deux traits : sécurité ».
Sachant qu’un trait mesure $38$ m et que l’intervalle séparant deux traits mesure $19$ m, que pensez-vous de cette consigne pour une voiture roulant à $130$ km/h ?
Justifier votre réponse.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$D(50)=30,5$ et $D(130)=97,7$
La distance à respecter pour une vitesse de $50$ km/h est environ égale à $31$ m et celle à respecter pour une vitesse de $130$ km/h est environ égale à $98$ m.
$\quad$
$\dfrac{30,5}{50}=0,61$ et $\dfrac{97,7}{130}\approx 0,75$
Les quotients ne sont pas égaux. Il n’y a donc pas proportionnalité.
$\quad$
Sur $[10;130]$, on a $0,006v+0,3>0$ (somme de termes positifs).
La fonction $D$ est donc strictement positive sur l’intervalle $[10;30]$.
$\quad$
D’après le tableau, il ne faut pas dépasser $80$ km/h.
$\quad$
$D(130)=97,7$ m
Distance de sécurité d’après le panneau de signalisation : $38\times 2+19=95$ m
L’indication du panneau est donc une approximation légèrement inférieure à la valeur donnée par la formule pour une vitesse de $130$ km/h.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une entreprise pharmaceutique souhaite commercialiser un test de dépistage d’une maladie infectieuse. Elle réalise une étude portant sur un échantillon représentatif de $2~000$ personnes ayant subi le test et qui vivent dans un territoire victime d’une épidémie de cette maladie.

Les résultats de cette étude sont les suivants :

$15\%$ des tests sont positifs
$85\%$ des tests sont négatifs.

Parmi les personnes qui ont un test positif, $98\%$ développent la maladie et $2\%$ sont sains.

Parmi les personnes dont le test est négatif, $1\%$ développe la maladie et $99\%$ sont sains.

Montrer que la proportion de personnes de l’échantillon dont le test est positif et qui sont sains est égale à $\dfrac{3}{1~000}$.
$\quad$
a. Vérifier qu’au total, $311$ personnes de l’échantillon ont développé la maladie.
$\quad$
b. En déduire la proportion des personnes qui sont effectivement malades dans cet échantillon.
$\quad$
En utilisant les questions précédentes, recopier et compléter le tableau à double entrée suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
&\text{Test positif (en %)}&\text{Test négatif (en %)}&~~\text{Total}~~\\
\hline
\text{Malade (en %)}&&&15,55\\
\hline
\text{Sain (en %)}&&&\\
\hline
\text{Total(en %)}&15&85&100\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On choisit une personne au hasard parmi les individus de l’échantillon. Calculer la probabilité que cette personne ait obtenu un test positif sachant qu’elle est effectivement malade.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La proportion de personnes de l’échantillon dont le test est positif et qui sont sains est égale à $\dfrac{15}{100}\times \dfrac{2}{100}=\dfrac{3}{1~000}$.
$\quad$
a. Nombre de personnes ayant un test positif et malades : $2~000\times \dfrac{15}{100}\times \dfrac{98}{100}=294$
Nombre de personnes ayant un test négatif et malades : $2~000\times \dfrac{85}{100}\times \dfrac{1}{100}=17$
Par conséquent $294+17=311$ sont malades.
$\quad$
b. La proportion des personnes effectivement malades dans cet échantillon est $\dfrac{311}{2~000}=0,155~5$ soit $15,55\%$.
$\quad$
On obtient donc le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
&\text{Test positif (en %)}&\text{Test négatif (en %)}&~~\text{Total}~~\\
\hline
\text{Malade (en %)}&14,7&0,85&15,55\\
\hline
\text{Sain (en %)}&0,3&84,15&84,45\\
\hline
\text{Total(en %)}&15&85&100\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
$\dfrac{14,7}{15,55}=\dfrac{294}{311}$
La probabilité que cette personne ait obtenu un test positif sachant qu’elle est effectivement malade est égale à $\dfrac{294}{311}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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