E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. À quelle évolution globale correspond une hausse de $20\%$ suivi d’une baisse de $30\%$ ?
    $\quad$
    Correction Question 1

    Le coefficient multiplicateur est :
    $\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
    &=1,2\times 0,7\\
    &=0,84\\
    &=1-0,16\end{align*}$
    Il s’agit donc, au global, d’une baisse de $16\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Convertir $3,52$ h en heure minute seconde.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $0,52$h $=0,52\times 60$ min $= 31,2$ min
    $0,2$ min $=0,2\times 60$ s $=12$ s.
    Ainsi $3,52$h $=3$h $31$min $12$s
    $\quad$

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    $\quad$
  3. Soit $(d)$ la droite d’équation réduite $y = -3x + 2$.
    Le point $B\left(\dfrac{1}{3};1\right)$ appartient-il à la droite $(d)$ ?
    $\quad$
    Correction Question 3

    $-3\times \dfrac{1}{3}+2=-1+2=1$ donc $B$ appartient à la droite $(d)$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer et réduite l’expression suivante :
    $A(x)=(2x-1)^2+3x+2$
    $\quad$
    Correction Question 4

    $\begin{align*} A(x)&=(2x-1)^2+3x+2 \\
    &=(2x)^2-2\times 2x\times 1+1^2+3x+2\\
    &=4x^2-4x+1+3x+2\\
    &=4x^2-x+3\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Soit $f$ la fonction définie par la représentation graphique ci-dessous :

    Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$

    Correction Question 5

    L’ensemble solution cherché est, graphiquement, $\left\{-3;0;2;4\right\}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $-2x-4\pg x+2$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} -2x-4\pg x+2&\ssi -3x\pg 6\\
    &\ssi x\pp -2 \text{ on divise par $-3$ qui est négatif}\end{align*}$
    L’ensemble solution est donc $]-\infty;-2]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}$?
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*}\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}&=\dfrac{9}{24}+\dfrac{10}{24} \\
    &=\dfrac{19}{24}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. On considère le calcul suivant : $0,003\times 1,5\times 10^8$.
    Donner le résultat en écriture scientifique.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\begin{align*}0,003\times 1,5\times 10^8&=3\times 10^{-3}\times 15\times 10^{-1}\times 10^8 \\
    &=45\times 10^4 \\
    &=4,5\times 10^5\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2+1=13$$
    $\quad$
    Correction Question 9

    $\begin{align*}3x^2+1=13&\ssi 3x^2=12\\
    &\ssi x^2=4\\
    &\ssi x=2 \text{ ou } x=-2\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Les tailles des élèves d’une classe de terminale ont été représentées par l’histogramme ci‐dessous :

    Trois élèves ont une taille inférieure à $160$ cm.
    Déterminer le nombre d’élèves dans cette classe de terminale.
    $\quad$
    Correction Question 10

    $6$ “petits rectangles” représentent donc $3$ élèves.
    Donc $2$ “petits rectangles” représentent $1$ élève.
    Il y a par conséquent $33$ élèves dans cette classe.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

On interroge un groupe de $1~200$ étudiants titulaires d’un baccalauréat STMG et ayant poursuivi leurs études.

Parmi ces étudiants :

  • $60 \%$ de ces étudiants sont des filles, les autres sont des garçons.
  • $55 \%$ ont poursuivi leurs études en BTS.
  • $264$ étudiants sont inscrits à l’université.
  • La moitié des étudiants inscrits à l’université sont des garçons.
  • $45 \%$ des étudiants en BTS sont des garçons.
  1. Compléter, sans justification, le tableau croisé d’effectifs donné en annexe à remettre avec la copie.
    $\quad$
  2. Pour chaque étudiant interrogé les informations sont portées sur une fiche individuelle. On choisit une fiche au hasard parmi les $1~200$ renseignées. Chaque fiche a la même probabilité d’être choisie.
    On définit les évènements suivants :
    $N$ : « la fiche choisie concerne un étudiant de l’université ».
    $G$ : « la fiche choisie est celle d’un garçon ».
    a. Calculer la probabilité de l’évènement $N$ et celle de l’évènement $G$.
    $\quad$
    b. Définir par une phrase l’évènement $N \cap G$ puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
    c. Définir par une phrase l’évènement $N \cup G$ puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
    d. Calculer $P_G(N)$. Interpréter le résultat obtenu par une phrase.
    $\quad$

Annexe : Tableau croisé des effectifs

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&~~~~\textbf{BTS}~~~~&\textbf{Université}&\begin{array}{c}\textbf{Autres}\\\textbf{formations}\end{array}&\textbf{Total}\\
\hline
\textbf{Filles}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&&&&\\
\hline
\textbf{Garçons}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&&&&\\
\hline
\textbf{Total}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&&264&&1~200\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient alors le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~~~~\textbf{BTS}~~~~&\textbf{Université}&\begin{array}{c}\textbf{Autres}\\\textbf{formations}\end{array}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \textbf{Filles}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&363&132&225&720\\
    \hline
    \textbf{Garçons}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&297&132&51&480\\
    \hline
    \textbf{Total}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&660&264&276&1~200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. On a $P(N)=\dfrac{264}{1~200}=0,22$
    $P(G)=1-0,6=0,4$
    $\quad$
    b. $N\cap G$ : « la fiche choisie concerne un garçon étudiant à l’université »
    $P(N\cap G)=\dfrac{132}{1200}=0,11$
    $\quad$
    C. $N\cup G$ : « la fiche choisie concerne un garçon ou un étudiant de l’université »
    $P(N\cup G)=\dfrac{480+132}{1200}=0,51$
    $\quad$
    d. On a donc  :
    $\begin{align*} P_G(N)&=\dfrac{132}{480} \\
    &=0,275\end{align*}$
    La probabilité que la fichée choisie soit celle d’un étudiant de l’université sachant que celle d’un garçon est égale à $0,275$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fabrique et vend des boîtes de petits fours. La production mensuelle varie de $20$ à $150$ centaines de boîtes.
Le chiffre d’affaires en euro, obtenu pour la vente de $x$ centaines de boîtes de petits fours est donnée par la fonction $R$ définie sur l’intervalle $[20; 150]$ par $$R(x)=450x$$
Le coût total de production de $x$ centaines de boîtes de petits fours est donné en euros par la fonction $C$ définie par $$C(x) = 6x^2-246x+5~184$$
On admet dans l’étude qui suit que chaque mois toute la production est vendue.

  1. On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous deux courbes $C_1$ et $C_2$.
    L’une est la représentation graphique de $R$ et l’autre celle de $C$ mais on ne sait pas dans quel ordre.a.Préciser la courbe représentant la fonction $R$ et la courbe représentant la fonction $C$.
    $\quad$
    b. Déterminer avec la précision permise par le graphique dans quel intervalle doit se situer le nombre de centaines de boîtes vendues pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
    $\quad$
  2. Le résultat de l’entreprise en euro, c’est-à-dire le bénéfice ou le déficit de l’entreprise selon que le résultat est positif ou négatif, est donné par la fonction $D$ définie sur l’intervalle $[20; 150]$ par : $$D(x)=-6x^2+696x-5~184$$
    On note $D’$ la fonction dérivée de la fonction $D$.
    a. Calculer $D'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe de $D'(x)$ sur l’intervalle $[20; 150]$.
    $\quad$
    c. En déduire le tableau de variation de la fonction $D$ et le nombre de boîtes que l’entreprise doit produire et vendre pour obtenir un bénéfice maximal.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Le fonction $R$ est une fonction linéaire. Elle est donc représentée par une droite.
    Ainsi la courbe $C_2$ représente la fonction $R$ et la courbe $C_1$ la fonction $C$.
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise un bénéfice si $R(x)\pg C(x)$.
    Graphiquement, il faut donc que l’entreprise vendent entre $2~000$ et $10~700$ (environ) boîtes.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x\in [20;150]$ on a $D'(x)=-12x+696$.
    $\quad$
    b. $-12x+696=0 \ssi -12x=-696 \ssi x=58$
    $-12x+696>0\ssi -12x>-696 \ssi x<58$
    Ainsi :
    – $D'(x)>0$ sur $[20;58[$
    – $D'(58)=0$
    – $D'(x)<0$ sur $]58;150[$
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Le bénéfice est donc maximal quand l’entreprise produit $5~800$ boîtes.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $$g(x) = 0,5(x + 1)(x-3)$$

  1. a. Quelle est la nature de la fonction $g$ et celle de sa représentation graphique ?
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation $g(x) = 0$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur pour laquelle $g$ admet un extremum.
    On précisera si cet extremum est un maximum ou un minimum en argumentant et on calculera sa valeur.
    $\quad$
  2. On a tracé en annexe la représentation graphique de la fonction $g$.
    Résoudre graphiquement l’équation $g(x) = 2$. On laissera sur le graphique les traces de raisonnement.
    $\quad$
  3. On appelle $x_1$ la solution de l’équation $g(x) = 2$ appartenant à l’intervalle $[-2; -1]$ et $x_2$ la solution appartenant à l’intervalle $[3; 4]$. On cherche à déterminer un encadrement de $x_2$ d’amplitude $10^{-n}$.
    Pour cela on a écrit l’algorithme ci-contre en langage Python
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{g}}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{):} \\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Emerald}{0.5}\textcolor{Maroon}{*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Maroon}{)*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\textcolor{Emerald}{3}\textcolor{Maroon}{)}\\\\
    \textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{balayage}}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{):} \\
    \hspace{1cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
    \hspace{1cm} \text{pas}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{10}\textcolor{Maroon}{**(-}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\textbf{while }} \text{g}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{)<}\textcolor{Emerald}{2}\textcolor{Maroon}{:} \\
    \hspace{2cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\text{pas}\\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\text{pas}\textcolor{Maroon}{,}\text{x}\textcolor{Maroon}{)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Que faut-il taper dans la console pour obtenir un encadrement de $x_2$ d’amplitude $0,001$ ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} g(x)&=0,5(x+1)(x-3)\\
    &=0,5\left(x^2-3x+x-3\right)\\
    &=0,5\left(x^2-2x-3\right)\\
    &=0,5x^2-x-1,5\end{align*}$
    $g$ est donc une fonction du second degré et sa représentation graphique est une parabole.
    $\quad$
    b. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $g(x)=0 \ssi x+1=0$ ou $x-3=0$ $\ssi x=-1$ ou $x=3$.
    Les solutions de l’équation $g(x)=0$ sont donc $-1$ et $3$.
    $\quad$
    c. L’extremum est donc atteint pour $x=\dfrac{-1+3}{2}=1$.
    Le coefficient principal est $a=0,5>0$. Il s’agit donc d’un minimum.
    $g(1)=-2$.
    $\quad$
  2. À l’aide du graphique suivant

    on en déduit que, graphiquement, les solutions de l’équation $f(x)=2$ sont environ $-1,8$ et $3,8$.
    $\quad$
  3. Il faut saisir $\text{balayage(0.001)}$.
    $\quad$

[collapse]

 

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence