E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Exprimer en kilogrammes $\dfrac{5}{6}$ de $360$ kg.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{5}{6}\times 360=5\times 60=300$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Développer $(2x+3)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
    &=4x^2+12x+9\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
    Remarque : Dans l’énoncé original il n’y avait pas le $^2$.
    $\quad$
  3. Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
    $\ssi x=-3$ ou $x=1$
    Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
    $\quad$
    Correction Exercice 4

    $3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
    L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
    Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $f(-2)=4a$
    Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$
  6. Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
    Donner le pourcentage de garçons internes.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
    Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 7 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

 

  1. $f(-5)$ est égal à :
    $\quad$
    Correction Question 7

    D’après le graphique $f(-5)=1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 8

    La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
    L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. L’intervalle des valeurs de $f(x)$ est :
    $\quad$
    Correction Question 9

    D’après le graphique, $f(x)\in[-6;1]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $\quad$
    Correction Question 10

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{0-(-2)}{5-0} \\
    &=\dfrac{2}{5}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Les $150$ salariés d’une entreprise se répartissent de la façon suivante :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&~~\text{Cadres}~~&\text{Employés}&~~\text{TOTAL}~~\\
\hline
\text{Parlent anglais}&20&9&29\\
\hline
\text{Ne parlent pas anglais}&40&81&121\\
\hline
\text{TOTAL}&60&90&150\\
\hline
\end{array}$$

  1. Dans cette première question, les résultats seront arrondis à $0,1\%$.
    a. Calculer le pourcentage des employés qui parlent anglais.
    $\quad$
    b. Calculer le pourcentage des cadres qui ne parlent pas anglais.
    $\quad$
  2. On interroge un salarié au hasard parmi les $150$.
    Tous les salariés ont la même probabilité d’être interrogés.
    On considère les événements suivants :
    $C$ : « le salarié interrogé est un cadre » ;
    $E$ : « le salarié interrogé est un employé » ;
    $A$ : « le salarié interrogé parle anglais » ;
    $\conj{A}$ : « le salarié interrogé ne parle pas anglais ».
    Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductible𝑠.
    a. Traduire par une phrase l’événement $C\cap \conj{A}$.
    $\quad$
    b. Calculer les probabilités $P\left(C\cap \conj{A}\right)$, $P\left(\conj{A}\right)$ et $P(E\cap A)$.
    $\quad$
    c. Calculer $P_A(E)$ et traduire le résultat par une phrase.$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $\dfrac{29}{150}\approx 0,193$
    Ainsi, environ $19,3\%$ des salariés parlent anglais.
    $\quad$
    b. $\dfrac{40}{60}\approx  0,667$
    Environ $66,7\%$ des cadres ne parlent pas anglais.
    $\quad$
  2. a. $C\cap \conj{A}$ : « le salarié interrogé est un cadre qui ne parle pas anglais»
    $\quad$
    b. $P\left(C\cap \conj{A}\right)=\dfrac{40}{150}=\dfrac{4}{15}$
    $P\left(\conj{A}\right)=\dfrac{121}{150}$
    $P(E\cap A)=\dfrac{9}{150}=0,06$
    $\quad$
    c. On a :
    $P_A(E)=\dfrac{9}{29}$
    La probabilité qu’un salarié soit un employé sachant qu’il parle anglais est égale à $\dfrac{9}{29}$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;60~000]$ par $f(x)=-0,01(x-5~000)(x-50~000)$.
Sa représentation graphique est donnée ci-dessous.

  1. a. Développe et réduire $f(x)$.
    $\quad$
    b. En quelle valeur de $x$ le maximum de$f$𝑓 est-il atteint?
    $\quad$
  2. En 2022, une entreprise de l’agroalimentaire bio prévoit de produire $60~ 000$ tonnes d’un nouveau produit et de le vendre $800$ € la tonne. On estime que toute la production sera vendue et que le coût total de production, en euros, de $x$ tonnes de produit est $C(x)=0,01x^2+250x+2~500~000$.
    a. Exprimer la recette en euros pour 𝑥 tonnes de produit vendues.
    $\quad$
    b. En déduire que le bénéfice en euros pour $x$ tonnes de produit fabriquées et vendues est $B(x) = -0,01x^2+550x-2~500~000$, pour tout $x$ de $[0 ; 60~000]$.
    Remarque : Il y avait une coquille dans l’expression de $B(x)$ dans l’énoncé original.
    $\quad$
    c. Quelle quantité de produit l’entreprise doit-elle produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Combien vaut ce bénéfice ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a.
    $\begin{align*} f(x)&=-0,01(x-5~000)(x-50~000)\\
    &=-0,01\left(x^2-50~000x-5~000x+250~000~000\right)\\
    &=-0,01\left(x^2-55~000x+250~000~000\right)\\
    &=-0,01x^2+550x-2~500~000\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le maximum d’une fonction polynôme du second degré est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}$ soit ici pour $x=\dfrac{550}{0,02}=27~500$.
    $\quad$
  2. a. Pour $x$ tonnes de produit vendues la recette est égale à $800x$.
    $\quad$
    b. Le bénéfice est alors :
    $\begin{align*} B(x)&=800x-C(x)\\
    &=800x-0,01x^2-250x-2~500~000\\
    &=-0,01x^2+550x-2~500~000\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a ainsi $B(x)=f(x)$.
    L’entreprise doit donc produire et vendre $27~500$ tonnes de produit pour réaliser un bénéfice maximal.
    De plus $B(27~000)=5~062~500$
    Le bénéfice maximal est alors égale à $5~062~500$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Le chiffre d’affaire en milliers d’euros d’une entreprise en fonction du temps est modélisé par la fonction $f(x) = 3x\left(48x-5x^2\right)$ où $x$ exprimé en années est le temps écoulé depuis le 1$\ier$ janvier 2020.

  1. a. Développer $f(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire $f'(x)$.
    $\quad$
    c. On admet que $f'(x)=-3x(15x-96)$. Dresser le tableau de variation de $f$.
    $\quad$.
    d. En déduire le maximum de $f$ sur $[0;10]$.
    $\quad$
  2. Compléter la ligne $10$ du programme écrit en Python ci-dessous afin qu’en fin d’exécution la variable $\text{M}$ contienne une valeur approchée du chiffre d’affaire maximal exprimé en milliers d’euros.
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
    \hline
    2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
    \hline
    7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=$\ldots$}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} f(x)&=3x\left(48x-5x^2\right) \\
    &=144x^2-15x^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} f'(x)&=144\times 2x-15\times 3x^2 \\
    &=288x-45x^2\end{align*}$
    $\quad$
    c. $-3x=0 \ssi x=0$ et $-3x>0 \ssi x<0$
    $15x-96=0 \ssi 15x=96 \ssi x= 6,4$ et $15x-96>0 \ssi 15x>96 \ssi x>6,4$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    d. D’après le tableau de variations précédent le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;10]$ est $1~966,08$.
    $\quad$
  2. On peut écrire
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
    \hline
    2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
    \hline
    7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=B}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$

[collapse]

$\quad$

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