E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. $0,5\%$ de $12~641$ €
    $\quad$
    Correction Question 1

    $1\%$ de $12~641$ est égale à $126,41$€
    Donc $0,5\%$ de $12~641$ est égale à $63,205$
    $\quad$

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    $\quad$
  2. Développer $(2x+3)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
    &=4x^2+12x+9\end{align*}$
    $\quad$

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    $\quad$
  3. Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
    $\ssi x=-3$ ou $x=1$
    Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
    $\quad$

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    $\quad$
  4. Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
    $\quad$
    Correction Exercice 4

    $3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
    L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
    $\quad$

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    $\quad$
  5. Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
    Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $f(-2)=4a$
    Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$
  6. Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
    Donner le pourcentage de garçons internes.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
    Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
    $\quad$

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    $\quad$
  7. La population d’une ville de $1~520$ habitants baisse chaque année de $10\ %$.
    Donner l’arrondi à l’unité du nombre d’habitants au bout de $3$ ans.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Au bout d’un an la population a baissé de $152$ habitants. Il reste donc $1~368$ habitants.
    La deuxième année la population a baissé d’environ $137$ habitants. Il reste donc $1231$ habitants
    La troisième année la population a baisse d’environ $123$ habitants. Il reste donc $1~108$ habitants
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 8 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

 

  1. $f(-5)$ est égal à :
    $\quad$
    Correction Question 8

    D’après le graphique $f(-5)=1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 9

    La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
    L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. $f$ est décroissante sur les intervalles :
    $\quad$
    Correction Question 10

    D’après le graphique, $f$ est décroissante sur les intervalles $[-5;-2]$ et $[5;9]$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Les 500 élèves de Première d’un lycée se répartissent de la façon suivante : $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Filles}&\text{Garçons}&\text{TOTAL}\\
\hline
\text{Externes}&70&110&180\\
\hline
\text{Demi-pensionnaires}&180&120&300\\
\hline
\text{Internes}&10&10&20\\
\hline
\text{TOTAL}&260&240&500\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Calculer le pourcentage d’internes.
    $\quad$
    b. Calculer le pourcentage de filles demi-pensionnaires.
    $\quad$
  2. On interroge un élève au hasard parmi les $500$.
    Tous les élèves ont la même probabilité d’être interrogés.
    On considère les événements suivants :
    $F$ : « l’élève interrogé est une fille » ;
    $E$ : « l’élève interrogé est externe » ;
    $D$ : « l’élève interrogé est demi-pensionnaire » ;
    $I$ : « l’élève interrogé est interne ».
    Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
    a. Traduire par une phrase l’événement $D\cap \conj{F}$.
    $\quad$
    b. Calculer les probabilités $P\left(D\cap \conj{F}\right)$, $P\left(\conj{F}\right)$ et $P(E \cap F)$.
    $\quad$
    c. Calculer $P_E(F)$ et traduire le résultat par une phrase.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $\dfrac{20}{500}=0,04$
    Les internes représentent donc $4\%$ du nombre d’élèves de Première.
    $\quad$
    b. $\dfrac{180}{500}=0,36$
    Les filles demi-pensionnaires représentent donc $36\%$ du nombre d’élèves de Première.
    $\quad$
  2. a. $D\cap \conj{F}$ : « l’élève interrogé est un garçon demi-pensionnaire».
    $\quad$
    b. $P\left(D\cap \conj{F}\right)=\dfrac{120}{500}=\dfrac{6}{25}$
    $P\left(\conj{F}\right)=\dfrac{240}{500}=\dfrac{12}{25}$
    $P(E \cap F)=\dfrac{70}{500}=\dfrac{7}{50}$
    $\quad$
    c. $P_E(F)=\dfrac{70}{180}=\dfrac{7}{18}$
    La probabilité que l’élève interrogé soit une fille sachant qu’elle est externe est égale à $\dfrac{7}{18}$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fabrique et commercialise des trottinettes. La capacité maximale de production de l’entreprise est de $21$ trottinettes.
Le coût total de fabrication (en euros) de $x$ trottinettes est modélisé par la fonction $C$ définie par : $$C(x) = 2x^3-50x^2+452x$$
Le prix de vente est de $200$ € par trottinette.

  1. Calculer, pour $12$ objets fabriqués et vendus, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice.
    $\quad$
  2. On note $R(x)$ et $B(x)$ la recette et le bénéfice pour $x$ trottinettes vendues.
    a. Exprimer $R(x)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le bénéfice réalisé pour $x$ trottinettes vendues est : $$B(x)=-2x^3+50x^2-252x$$
    $\quad$
  3. a. Montrer que $B(x)=-2x(x-7)(x-18)$.
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $B(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 21]$ et interpréter le signe de $B(x)$ dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le coût de fabrication est $C(12)=1~680$ €.
    La recette est $200\times 12 = 2~400$ €.
    Le bénéfice est $2~400-1~680=720$ €
    $\quad$
  2. a. On a $R(x)=200x$.
    $\quad$
    b. Le bénéfice réalisé pour $x$ trottinettes vendues est :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=200x-\left(2x^3-50x^2+452x\right) \\
    &=200x-2x^3+50x^2-452x\\
    &=-2x^3+50x^2-252x\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} -2x(x-7)(x-18)&=-2x\left(x^2-18x-7x+126\right) \\
    &=-2x\left(x^2-25x+126\right)\\
    &=-2x^3+50x^2-252x\\
    &=B(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $2x=0 \ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
    $x-7=0\ssi x=7$ et $x-7>0\ssi x>7$
    $x-18=0\ssi x=18$ et $x-18>0 \ssi x>18$
    On obtient alors le tableau de signes suivant :L’entreprise réalise donc un bénéfice si elle produit et vend entre $7$ et $18$ trottinettes.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise reconditionne des téléphones portables. Cette entreprise reconditionne entre $1~000$ et $6~000$ téléphones portables par mois. On note $x$ le nombre de téléphones sur un mois. Le bénéfice $B$ en euro réalisé par la vente de $x$ téléphones reconditionnés est donné par la fonction $B$ représentée ci-après.

On admet que $B(x) = -0,003x^2+30x-48~000$.

  1. . La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1~000 ; 6~000]$.

    a. Pourquoi peut-on dire que cette courbe est portée par une parabole ? Justifier.
    $\quad$
    b. Déterminer graphiquement une valeur approchée du bénéfice maximal.
    $\quad$
  2. a. On désigne par $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1~000 ; 6~000]$.
    $\quad$
    c. Recopier sur votre copie la fonction donnée ci-dessous et compléter la ligne $10$ de cette fonction afin qu’elle retourne la valeur exprimée en euros du bénéfice maximal.
    $\quad$

$$\begin{array}{|c|l|}
\hline
1 &\text{def beneficemax():}\\
\hline
2 &\hspace{1cm}\text{x=1 000}\\
\hline
4 &\hspace{1cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
\hline
5 &\hspace{1cm}\text{M = B}\\
\hline
6 &\hspace{1cm}\text{for x in range(1001, 6001):}\\
\hline
8 &\hspace{2cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
\hline
9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
\hline
10 &\hspace{3cm}\text{M=$\ldots$}\\
\hline
12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $B$ est une fonction du second degré. Sa courbe représentative est donc portée par une parabole.
    $\quad$
    b. Graphiquement, le bénéfice maximal est environ égal à $27~000$€.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} B'(x)&=-0,003\times 2x+30 \\
    &=-0,006x+30\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-0,006x+30=0 \ssi -0,006x=-30 \ssi x=5~000$
    $-0,006x+30>0  \ssi -0,006x>-30 \ssi x<5~000$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    c. On obtient le code programme suivant :
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def beneficemax():}\\
    \hline
    2 &\hspace{1cm}\text{x=1 000}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M = B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for x in range(1001, 6001):}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=B}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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