E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Fraction irréductible égale à $\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}$.
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}&=\dfrac{10}{15}-\dfrac{6}{15}\\
&=\dfrac{4}{15}\end{align*}$

[collapse]

$\quad$
Compléter $\dfrac{14}{3}-\ldots=2$.
$\quad$

Correction Question 2

$2=\dfrac{6}{3}$ on a donc $\dfrac{14}{3}-2=\dfrac{14}{3}-\dfrac{6}{3}=\dfrac{8}{3}$
Ainsi $\dfrac{14}{3}-\dfrac{8}{3}=2$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter $(2x)^3=\ldots x^3$
$\quad$

Correction Question 3

$(2x)^3=2^3x^3=8x^3$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter : Augmenter une quantité de $14\%$ c’est la multiplier par $\ldots$
$\quad$

Correction Question 4

Augmenter une quantité de $14\%$ c’est la multiplier par $1+\dfrac{14}{100}=1,14$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Après augmentation d’un prix de $50\%$ on obtient $36$ €. Quel est ce prix?
$\quad$

Correction Question 5

On appelle $P$ le prix cherché.
On a donc $x\times \left(1+\dfrac{50}{100}\right)=36$
Soit $1,5x=36$
et donc $x=\dfrac{36}{1,5}$
C’est-à-dire $x=24$ (diviser par $1,5$ revient à diviser par $3$ puis multiplier par $2$)
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Factoriser $3(x+7)-(x+1)(x+7)$
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} 3(x+7)-(x+1)(x+7)&=(x+7)\left[3-(x+1)\right] \\
&=(x+7)(3-x-1)\\
&=(x+7)(2-x)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[-1;3]$.

Compléter par lecture graphique.

$f(2)=$
$\quad$

Correction Question 7

$f(2)=0$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Nombre d’antécédents de $-0,2$ par $f$ :
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement, il semblerait que la droite d’équation $y=-0,2$ coupe $3$ fois la courbe représentant la fonction $f$.
$-0,2$ semble donc avoir $3$ antécédents par $f$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

On considère la droite $(D)$ ci-dessous.

Compléter par lecture graphique

Équation réduite de $(D)$ : $\ldots$
$\quad$

Correction Question 9

Graphiquement, il semblerait que le coefficient directeur de la droite soit $\dfrac{1}{2}$ et son ordonnée à l’origine $1$.
Une équation réduite de $(D)$ semble donc être $y=\dfrac{1}{2}x+1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Si $A$ est le point de $(D)$ d’ordonnée $3$, son abscisse est : $\ldots$
$\quad$

Correction Question 10

L’ordonnée augmente d’une unité quand l’abscisse augmente de deux unités.
L’abscisse du point $A$ est donc $4$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fixe à chacun de ses employés le mode de rémunération mensuel suivant : un salaire net fixe de $1~300$ € accompagné d’une prime ou d’une pénalité.
Si $?$ est le chiffre d’affaire en millier d’euros réalisé par un employé dans le mois, sa prime ou pénalité exprimée en millier d’euros est de $f(x) = 0,01(x^2-2x)$.
Par exemple, si un employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $1~000$ €, alors $x = 1$ et $f(x) = f(1) = -0,01$. Dans ce cas, l’employé est pénalisé de $0,01$ millier d’euros, c’est-à-dire $10$ €. Son salaire net mensuel est alors de $1~300-10 = 1~290$ €.
De même, si un employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $10~000$ €, alors $x = 10$ et $f(x) = f(10) = 0,8$. Dans ce cas, l’employé perçoit une prime de $0,8$ millier d’euros, c’est-à-dire $800$ €. Son salaire net mensuel est alors de $1~300 + 800 = 2~100$ €.

a. Si l’employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $1~500$ €, aura-t-il une prime ou une pénalité ? De quel montant ? Quel sera alors son salaire net mensuel ?
$\quad$
b. Mêmes questions avec un chiffre d’affaire mensuel de $20~000$ €.
$\quad$
La courbe $C_f$ ci-dessous représente la fonction $f$ dans un repère du plan dont la graduation de l’axe des abscisses a été effacée.
a. Montrer que $f(x) = 0,01x(x-2)$.
$\quad$
b. Donner les abscisses des points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses.
$\quad$
c. À partir du graphique estimer le chiffre d’affaire mensuel à réaliser afin d’obtenir un salaire net mensuel de $1~380$ €.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. $f(1,5)=0,01(1,5^2-2\times 1,5)=-0,007~5$
L’employé sera donc pénalisé de $0,007~5$ millier d’euros soit $0,75$ €. Son salaire net mensuel sera alors de $1~300-0,75=1~299,25$ €.
$\quad$
b. $f(20)=3,6$
L’employé reçoit dont une prime de $3,6$ milliers d’euros soit $3~600$ €. Son salaire net mensuel sera alors de $1~300+3~600=4~900$ €.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ positif on a :
$\begin{align*} f(x)&=0,01\left(x^2-2x\right) \\
&=0,01\left(x\times x-2\times x\right)\\
&=0,01x(x-2)\end{align*}$
$\quad$
b. Les abscisses des points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation :
$f(x)=0 \ssi 0,01x(x-2)=0$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $0,01x=0$ ou $x-2=0$ soit $x=0$ ou $x=2$.
$C_f$ coupe donc l’axe des abscisses aux points d’abscisses $0$ et $2$.
$\quad$
b. L’employé reçoit donc une prime de $80$ € soit $0,08$ millier d’euros.
D’après le graphique cela correspond à un chiffre d’affaire mensuel de $4$ milliers d’euros, c’est-à-dire, $4~000$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

On a observé sur $5$ ans que la note sur $20$, notée $f(x)$, d’un service au bout de $x$ année(s) est donnée par $f(x)=x^3-6x^2+9x$.
Par exemple, puisque $f(4,5)=4,5^3-6\times 4,5^2+9\times 4,5=10,125$, le service obtient au bout de $4$ ans et demi la notre de $10,125$ sur $20$.

a. Quelle note le service obtient-il au bout d’une année ?
$\quad$
b. Justifier que le service donne pleine satisfaction au bout des $5$ années.
$\quad$
a. Calculer $f'(x)$ sous forme développée.
$\quad$
b. Montrer que $f'(x)=3(x-1)(x-3)$.
$\quad$
c. Dresser, sans justifier, le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a $f(1)=1-6+9=4$.
Le service obtient au bout d’une année la note de $4$ sur $20$.
$\quad$
b. $f(5)=5^3-6\times 5^2+9\times 5=20$.
Le service donne pleine satisfaction au bout des $5$ années.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ positif on a :
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2-6\times 2x+9x\\
&=3x^2-12x+9x\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ positif on a :
$\begin{align*} 3(x-1)(x-3)&=3\left(x^2-3x-x+3\right)\\
&=3\left(x^2-4x+3\right)\\
&=3x^2-12x+9\\
&=f'(x)\end{align*}$
$\quad$
c. On a $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
$x-3=0 \ssi x=3$ et $x-3>0 \ssi x>3$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Dans une administration de $320$ personnes, on distingue $3$ catégories d’employés : A, B et C.
On y dénombre exactement globalement $3/5$ de femmes. La catégorie A compte $80$ employés dont $40 \%$ de femmes. Les catégories B et C ont le même nombre d’employés.
Dans la catégorie C, il y a exactement $50$ femmes.

Remplir le tableau croisé d’effectifs fourni en annexe. L’annexe est à rendre avec la copie.
$\quad$
Dans cette administration, quelle est la fréquence des hommes de catégorie C ? Quelle est celle des hommes dans l’ensemble du personnel de catégorie C ?
$\quad$
Une loterie est réalisée en fin d’année. On y choisit au hasard la fiche d’un membre du personnel. Ce dernier gagne alors un chèque de $100$ €, tandis que tous les autres membres du personnel perçoivent un chèque de consolation de $10$ €.
a. Quelle est la somme des montants de l’ensemble des chèques ?
$\quad$
b. On considère les événements suivants :
$A$ : « Le gagnant de $100$ € est de catégorie A » ; $H$ : « Le gagnant de $100$ € est un homme »
Calculer $P(A)$, $P(A\cap H)$ et $P_A(H)$.
$\quad$
L’administration a des frais annuels de fonctionnement de $670~000$ €.
Elle souhaite les réduire de $5 \%$ chaque année jusqu’à passer en dessous de la barre des $500~000$ €.
Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous de sorte qu’après exécution la variable $\text{N}$ contienne le nombre d’années à partir duquel l’objectif sera atteint.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{N}\leftarrow 0\\
\text{S}\leftarrow 670~000\\
\text{Tant Que } \ldots\\
\hspace{1cm} \text{S}\leftarrow \ldots\\
\hspace{1cm} \text{N}\leftarrow \text{N}+1\\
\text{Fin Tant Que}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories A}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories B}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de} \\\text{catégories C}\end{array}& \hspace{0.8cm}\text{Total}\hspace{0.8cm}\\
\hline
\begin{array}{c} \text{Nombre}\\\text{d’hommes}\end{array}&&&&\\
\hline
\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\\text{femmes}\end{array}&&&&\\
\hline
\text{Total}&&&&320\rule[-8pt]{0pt}{23pt}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories A}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories B}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de} \\\text{catégories C}\end{array}& \hspace{0.8cm}\text{Total}\hspace{0.8cm}\\
\hline
\begin{array}{c} \text{Nombre}\\\text{d’hommes}\end{array}&48&10&70&128\\
\hline
\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\\text{femmes}\end{array}&32&110&50&192\\
\hline
\text{Total}&80&120&120&320\rule[-8pt]{0pt}{23pt}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
La fréquence des hommes de catégorie C est $\dfrac{70}{320}=\dfrac{7}{32}$.
La fréquence des hommes dans l’ensemble du personnel de catégorie C est $\dfrac{70}{120}=\dfrac{7}{12}$.
$\quad$
a. $319$ personnes perçoivent un chèque de $10$ € et une personne gagne un chèque de $100$ €.
Le montant de l’ensemble des chèque est donc $319\times 10+100=3~290$ €.
$\quad$
b. $P(A)=\dfrac{80}{320}=\dfrac{1}{4}=0,25$
$P(A\cap H)=\dfrac{48}{320}=0,15$
$P_A(H)=\dfrac{48}{80}=0,6$
$\quad$
On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{N}\leftarrow 0\\
\text{S}\leftarrow 670~000\\
\text{Tant Que } \text{S} >500~000\\
\hspace{1cm} \text{S}\leftarrow \text{S}\times 0,95\\
\hspace{1cm} \text{N}\leftarrow \text{N}+1\\
\text{Fin Tant Que}\\
\hline
\end{array}$$

[collapse]

$\quad$

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