E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Fraction irréductible égale à $\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}&=\dfrac{10}{15}-\dfrac{6}{15}\\
    &=\dfrac{4}{15}\end{align*}$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Compléter $\dfrac{14}{3}-\ldots=2$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $2=\dfrac{6}{3}$ on a donc $\dfrac{14}{3}-2=\dfrac{14}{3}-\dfrac{6}{3}=\dfrac{8}{3}$
    Ainsi $\dfrac{14}{3}-\dfrac{8}{3}=2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter $(2x)^3=\ldots x^3$
    $\quad$
    Correction Question 3

    $(2x)^3=2^3x^3=8x^3$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Compléter : Augmenter une quantité de $14\%$ c’est la multiplier par $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 4

    Augmenter une quantité de $14\%$ c’est la multiplier par $1+\dfrac{14}{100}=1,14$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Après augmentation d’un prix de $50\%$ on obtient $36$ €. Quel est ce prix?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ le prix cherché.
    On a donc $x\times \left(1+\dfrac{50}{100}\right)=36$
    Soit $1,5x=36$
    et donc $x=\dfrac{36}{1,5}$
    C’est-à-dire $x=24$ (diviser par $1,5$ revient à diviser par $3$ puis multiplier par $2$)
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Factoriser $3(x+7)-(x+1)(x+7)$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3(x+7)-(x+1)(x+7)&=(x+7)\left[3-(x+1)\right] \\
    &=(x+7)(3-x-1)\\
    &=(x+7)(2-x)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[-1;3]$.

Compléter par lecture graphique.

  1. $f(2)=$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $f(2)=0$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Nombre d’antécédents de $-0,2$ par $f$ :
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement, il semblerait que la droite d’équation $y=-0,2$ coupe $3$ fois la courbe représentant la fonction $f$.
    $-0,2$ semble donc avoir $3$ antécédents par $f$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

On considère la droite $(D)$ ci-dessous.


Compléter par lecture graphique

  1. Équation réduite de $(D)$ : $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 9

    Graphiquement, il semblerait que le coefficient directeur de la droite soit $\dfrac{1}{2}$ et son ordonnée à l’origine $1$.
    Une équation réduite de $(D)$ semble donc être $y=\dfrac{1}{2}x+1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Si $A$ est le point de $(D)$ d’ordonnée $3$, son abscisse est : $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’ordonnée augmente d’une unité quand l’abscisse augmente de deux unités.
    L’abscisse du point $A$ est donc $4$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fixe à chacun de ses employés le mode de rémunération mensuel suivant : un salaire net fixe de $1~300$ € accompagné d’une prime ou d’une pénalité.
Si $𝑥$ est le chiffre d’affaire en millier d’euros réalisé par un employé dans le mois, sa prime ou pénalité exprimée en millier d’euros est de $f(x) = 0,01(x^2-2x)$.
Par exemple, si un employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $1~000$ €, alors $x = 1$ et $f(x) = f(1) = -0,01$. Dans ce cas, l’employé est pénalisé de $0,01$ millier d’euros, c’est-à-dire $10$ €. Son salaire net mensuel est alors de $1~300-10 = 1~290$ €.
De même, si un employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $10~000$ €, alors $x = 10$ et $f(x) = f(10) = 0,8$. Dans ce cas, l’employé perçoit une prime de $0,8$ millier d’euros, c’est-à-dire $800$ €. Son salaire net mensuel est alors de $1~300 + 800 = 2~100$ €.

  1. a. Si l’employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $1~500$ €, aura-t-il une prime ou une pénalité ? De quel montant ? Quel sera alors son salaire net mensuel ?
    $\quad$
    b. Mêmes questions avec un chiffre d’affaire mensuel de $20~000$ €.
    $\quad$
  2. La courbe $C_f$ ci-dessous représente la fonction $f$ dans un repère du plan dont la graduation de l’axe des abscisses a été effacée.

    a. Montrer que $f(x) = 0,01x(x-2)$.
    $\quad$
    b. Donner les abscisses des points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses.
    $\quad$
    c. À partir du graphique estimer le chiffre d’affaire mensuel à réaliser afin d’obtenir un salaire net mensuel de $1~380$ €.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $f(1,5)=0,01(1,5^2-2\times 1,5)=-0,007~5$
    L’employé sera donc pénalisé de $0,007~5$ millier d’euros soit $0,75$ €. Son salaire net mensuel sera alors de $1~300-0,75=1~299,25$ €.
    $\quad$
    b. $f(20)=3,6$
    L’employé reçoit dont une prime de $3,6$ milliers d’euros soit $3~600$ €. Son salaire net mensuel sera alors de $1~300+3~600=4~900$ €.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f(x)&=0,01\left(x^2-2x\right) \\
    &=0,01\left(x\times x-2\times x\right)\\
    &=0,01x(x-2)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Les abscisses des points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation :
    $f(x)=0 \ssi 0,01x(x-2)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $0,01x=0$ ou $x-2=0$ soit $x=0$ ou $x=2$.
    $C_f$ coupe donc l’axe des abscisses aux points d’abscisses $0$ et $2$.
    $\quad$
    b. L’employé reçoit donc une prime de $80$ € soit $0,08$ millier d’euros.
    D’après le graphique cela correspond à un chiffre d’affaire mensuel de $4$ milliers d’euros, c’est-à-dire, $4~000$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

On a observé sur $5$ ans que la note sur $20$, notée $f(x)$, d’un service au bout de $x$ année(s) est donnée par $f(x)=x^3-6x^2+9x$.
Par exemple, puisque $f(4,5)=4,5^3-6\times 4,5^2+9\times 4,5=10,125$, le service obtient au bout de $4$ ans et demi la notre de $10,125$ sur $20$.

  1. a. Quelle note le service obtient-il au bout d’une année ?
    $\quad$
    b. Justifier que le service donne pleine satisfaction au bout des $5$ années.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f'(x)$ sous forme développée.
    $\quad$
    b. Montrer que $f'(x)=3(x-1)(x-3)$.
    $\quad$
    c. Dresser, sans justifier, le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $f(1)=1-6+9=4$.
    Le service obtient au bout d’une année la note de $4$ sur $20$.
    $\quad$
    b. $f(5)=5^3-6\times 5^2+9\times 5=20$.
    Le service donne pleine satisfaction au bout des $5$ années.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-6\times 2x+9x\\
    &=3x^2-12x+9x\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} 3(x-1)(x-3)&=3\left(x^2-3x-x+3\right)\\
    &=3\left(x^2-4x+3\right)\\
    &=3x^2-12x+9\\
    &=f'(x)\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x-3=0 \ssi x=3$ et $x-3>0 \ssi x>3$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Dans une administration de $320$ personnes, on distingue $3$ catégories d’employés : A, B et C.
On y dénombre exactement globalement $3/5$ de femmes. La catégorie A compte $80$ employés dont $40 \%$ de femmes. Les catégories B et C ont le même nombre d’employés.
Dans la catégorie C, il y a exactement $50$ femmes.

  1. Remplir le tableau croisé d’effectifs fourni en annexe. L’annexe est à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Dans cette administration, quelle est la fréquence des hommes de catégorie C ? Quelle est celle des hommes dans l’ensemble du personnel de catégorie C ?
    $\quad$
  3. Une loterie est réalisée en fin d’année. On y choisit au hasard la fiche d’un membre du personnel. Ce dernier gagne alors un chèque de $100$ €, tandis que tous les autres membres du personnel perçoivent un chèque de consolation de $10$ €.
    a. Quelle est la somme des montants de l’ensemble des chèques ?
    $\quad$
    b. On considère les événements suivants :
    $A$ : « Le gagnant de $100$ € est de catégorie A » ; $H$ : « Le gagnant de $100$ € est un homme »
    Calculer $P(A)$, $P(A\cap H)$ et $P_A(H)$.
    $\quad$
  4. L’administration a des frais annuels de fonctionnement de $670~000$ €.
    Elle souhaite les réduire de $5 \%$ chaque année jusqu’à passer en dessous de la barre des $500~000$ €.
    Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous de sorte qu’après exécution la variable $\text{N}$ contienne le nombre d’années à partir duquel l’objectif sera atteint.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{N}\leftarrow 0\\
    \text{S}\leftarrow 670~000\\
    \text{Tant Que } \ldots\\
    \hspace{1cm} \text{S}\leftarrow \ldots\\
    \hspace{1cm} \text{N}\leftarrow \text{N}+1\\
    \text{Fin Tant Que}\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories A}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories B}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de} \\\text{catégories C}\end{array}& \hspace{0.8cm}\text{Total}\hspace{0.8cm}\\
\hline
\begin{array}{c} \text{Nombre}\\\text{d’hommes}\end{array}&&&&\\
\hline
\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\\text{femmes}\end{array}&&&&\\
\hline
\text{Total}&&&&320\rule[-8pt]{0pt}{23pt}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories A}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories B}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de} \\\text{catégories C}\end{array}& \hspace{0.8cm}\text{Total}\hspace{0.8cm}\\
    \hline
    \begin{array}{c} \text{Nombre}\\\text{d’hommes}\end{array}&48&10&70&128\\
    \hline
    \begin{array}{c} \text{Nombre de}\\\text{femmes}\end{array}&32&110&50&192\\
    \hline
    \text{Total}&80&120&120&320\rule[-8pt]{0pt}{23pt}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. La fréquence des hommes de catégorie C est $\dfrac{70}{320}=\dfrac{7}{32}$.
    La fréquence des hommes dans l’ensemble du personnel de catégorie C est $\dfrac{70}{120}=\dfrac{7}{12}$.
    $\quad$
  3. a. $319$ personnes perçoivent un chèque  de $10$ € et une personne gagne un chèque de $100$ €.
    Le montant de l’ensemble des chèque est donc $319\times 10+100=3~290$ €.
    $\quad$
    b. $P(A)=\dfrac{80}{320}=\dfrac{1}{4}=0,25$
    $P(A\cap H)=\dfrac{48}{320}=0,15$
    $P_A(H)=\dfrac{48}{80}=0,6$
    $\quad$
  4. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{N}\leftarrow 0\\
    \text{S}\leftarrow 670~000\\
    \text{Tant Que } \text{S} >500~000\\
    \hspace{1cm} \text{S}\leftarrow \text{S}\times 0,95\\
    \hspace{1cm} \text{N}\leftarrow \text{N}+1\\
    \text{Fin Tant Que}\\
    \hline
    \end{array}$$

[collapse]

$\quad$

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