E3C – Séries technologiques – Suites – Janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

On trouve dans le tableau suivant les quantités de chocolat vendues en France en 2017 et 2018, exprimées en tonnes.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2017&2018\\
\hline
\text{Tonnes de chocolat vendues}&378~850&333~029\\
\hline
\end{array}$$

Quel a été le pourcentage d’évolution de la quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 ? Arrondir le résultat à $1\%$ près.

On s’intéresse maintenant aux années à venir. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de chocolat vendue en France l’année 2018$+n$, exprimée en tonnes. Ainsi, on a $u_0 = 333~029$. On
suppose que le taux d’évolution annuel sera de $-12,1\%$ à partir de 2018.

Calculer les valeurs de $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison.
$\quad$
a. Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de l’algorithme la variable 𝑛 contienne le plus grand entier $n$ tel que $u_n \pp 250~000$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
n\leftarrow 0\\
u\leftarrow 333~029\\
\text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\hspace{0.5cm} u\leftarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\\
\hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. En déduire l’année à partir de laquelle la quantité de chocolat vendue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$\dfrac{333~029-378~850}{378~850}\approx -0,12$
La quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 a donc diminué d’environ $12\%$.
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_0 \\
&=0,879\times 333~029\\
&=292~732,491\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_2&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_1 \\
&=0,879\times 392~732,491\\
&=257~311,859~6\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_n \\
&=0,879\times u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,879$ et de premier terme $u_0=333~029$.
$\quad$
a. On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
n\leftarrow 0\\
u\leftarrow 333~029\\
\text{Tant que }u> 250~000\\
\hspace{0.5cm} u\leftarrow 0,879 \times u\\
\hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On a :
$u_0=333~029$, $u_1 \approx 292~732$, $u_2\approx 257~312$ et $u_3 \approx 229~177$
C’est donc en 2021 que la quantité de chocolat venue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Calculer la fraction irréductible égale à $\dfrac{18}{25}\times \dfrac{5}{3}$.
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{18}{25}\times \dfrac{5}{3}&=\dfrac{3\times 6\times 5}{5\times 5\times 3}\\
&=\dfrac{6}{5}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer $(7-3x)(7+3x)$.
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*}(7-3x)(7+3x)&=7^2-(3x)^2 \\
&=49-9x^2\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Calculer l’image de $1$ par $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2-3$.
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} f(1)&=-2\times 1^2-3\\
&=-2\times 1-3\\
&=-2-3\\
&=-5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5x-7=3x-19$.
$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*}
5x-7=3x-19&\ssi 5x-3x=-19+7\\
&\ssi 2x=-12\\
&\ssi x=-6
\end{align*}$
La solution de l’équation est $-6$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un article vaut $44$ euros et son prix subit une diminution de $25\%$. Calculer son nouveau prix.
$\quad$

Correction Question 5

Le nouveau prix est :
$\begin{align*} 44\times \left(1-\dfrac{25}{100}\right) &=44\times \dfrac{75}{100} \\
&=44\times \dfrac{3}{4} \\
&=33\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$

La fonction $h$, définie sur $[-6;5]$ est représentée par la courbe ci-dessous.
Par lecture graphique, répondre aux trois questions suivantes.

Les antécédents de $-3$ par $h$ sont :
$\quad$

Correction Question 6

Graphiquement les antécédentes de $-3$ par $h$ sont $-6$, $-2$ et $2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des solutions de l’inéquation $h(x)\pp 0$ est :
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement l’ensemble solution de l’inéquation $h(x)\pp 0$ est $[-6;-5]\cup[-3;3]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le tableau de variation de la fonction $h$ sur $[-6;5]$ est :
$\quad$

Correction Question 8

$\quad$

[collapse]

$\quad$
Calculer le coefficient multiplicateur associé à une diminution de $20\%$.
$\quad$

Correction Question 9

Le coefficient multiplication est $1-\dfrac{20}{100}=0,8$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Si $30\%$ d’une quantité $Y$ vaut $60$, que vaut $Y$?
$\quad$

Correction Question 10

On a :
$\begin{align*} \dfrac{30}{100}Y=60&\ssi Y=\dfrac{60\times 100}{30} \\
&\ssi Y=200\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2+2x-3$.

Parmi les nombres $a$, $b$ et $c$ suivants, lesquels sont des racines de $f$ ?
$$a=1 \hspace{2cm}b=2\hspace{2cm} c=-3$$
$\quad$
Montrer que la forme factorisée de la fonction $f$ est $f(x)=(x-1)(x+3)$.
$\quad$
Etudier le signe de la fonction $f$.
$\quad$
Parmi les trois courbes A, B, et C proposées ci-dessous, déterminer celle représentant la fonction $f$.$\quad$
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$1^2+2\times 1-3=0$ donc $a$ est une racine de $f$.
$2^2+2\times 2-3=5$ donc $b$ n’est pas une racine de $f$.
$(-3)^2+2\times (-3)-3=0$ donc $c$ est une racine de $f$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} (x-1)(x+3)&=x^2+3x-x-3\\
&=x^2+2x-3\\
&=f(x)\end{align*}$
$\quad$
Les racines du polynôme du second degré $f(x)$ sont $1$ et $-3$.
Son coefficient principal est $1>0$.
Par conséquent :
$\bullet \quad f(x)<0$ sur $]-3;1[$
$\bullet \quad f(x)=0$ si $x=-3$ ou $x=1$
$\bullet \quad f(x)>0$ sur $]-\infty;-3[\cup]1;+\infty[$.
$\quad$
La courbe B est exclue car les racines ne sont pas $1$ et $-3$.
Le coefficient principal de $f(x)$ est $1>0$. La fonction admet donc un minimum.
La courbe A représente donc la fonction $f$.
$\quad$
L’abscisse du minimum est $-\dfrac{b}{2a}=-1$ et $f(-1)=-4$.
On a donc le tableau de variations suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une agence a lancé une campagne de publicité afin de faire connaître un nouveau produit. Elle a réalisé un sondage dans une zone géographique déterminée afin de connaître l’impact de cette campagne.

$28\%$ des personnes interrogées ont plus de 60 ans. Parmi elles, $40\%$ ont déclaré connaitre le produit.
$42 \%$ des personnes interrogées ont entre 25 et 60 ans. Parmi elles, $55\%$ ont déclaré connaitre le produit.
Parmi les personnes de moins de 25 ans, $75\%$ ont déclaré connaitre le produit.

On choisit au hasard une personne interrogée par l’agence de publicité et on considère les événements suivants :

$S$ : « la personne interrogée a plus de 60 ans » ;
$M$ ∶ « la personne interrogée a entre 25 et 60 ans » ;
$J$ ∶ « la personne interrogée a moins de 25 ans » ;
$C$ ∶ « la personne interrogée déclare connaitre le produit ».

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
$\quad$
Calculer la probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit.
$\quad$
a. Calculer la probabilité de l’événement $S\cap C$
$\quad$
b. Calculer la probabilité de l’évènement $C$.
$\quad$
Calculer la probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit. Arrondir le résultat au millième.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P\left(S\cap \conj{C}\right)&=P(S)\times P_S\left(\conj{C}\right) \\
&=0,28\times 0,6\\
&=0,168\end{align*}$
La probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit est égale à $0,168$.
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} P(S\cap C)&=P(S)\times P_S(C)\\
&=0,28\times 0,4\\
&=0,112\end{align*}$
$\quad$
b. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(C)&=P(S\cap C)+P(M\cap C)+P(J\cap C)\\
&=0,112+0,42\times 0,55+0,3\times 0,75\\
&=0,568\end{align*}$
La probabilité de l’événement $C$ est égale à $0,568$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_C(S)&=\dfrac{P(C\cap S)}{P(C)} \\
&=\dfrac{0,112}{0,568}\\
&\approx 0,197\end{align*}$
La probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit est environ égale à $0,197$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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