E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}$?
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{11}{21}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un objet coûte $25$ €. Son prix baisse de $20\%$. Quel est son nouveau prix?
$\quad$

Correction Question 2

$25\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=\dfrac{100}{4}\times \dfrac{80}{100}=20$.
Le nouveau prix est $20$ €.
$\quad$

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$\quad$
Ecrire le nombre suivant sous la forme $a^n$ avec $a,n \in \N$.
$$5^6\times \left(4^3\right)^2$$
$\quad$

Correction Question 3

$5^6\times \left(4^3\right)^2=5^6\times 4^6=20^6$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Donner un ordre de grandeur de $$101\times 99$$
$\quad$

Correction Question 4

Un ordre de grandeur de $101\times 99$ est $100\times 100=10~000$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2-1=48$$
$\quad$

Correction Question 5

$3x^2-1=48 \ssi 3x^2=49 \ssi x^2=\dfrac{49}{3}$.
Les solutions sont donc $-\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$ soit $-\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ et $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $$-2x+1\pp 3$$
$\quad$

Correction Question 6

$-2x+1\pp 3 \ssi -2x \pp 2 \ssi x\pg -1$
L’ensemble solution est $[-1;+\infty[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Factoriser $9x^2-30x+25$
$\quad$

Correction Question 7

$9x^2-30x+25=(3x)^2-2\times 3x\times 5+5^2=(3x-5)^2$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)(-2x+4)$.
Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
$\quad$

Correction Question 8

$-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$
$-2x+4=0 \ssi -2x=-4 \ssi x=2$ et $-2x+4>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$
On obtient donc le tableau de signes suivant :$\quad$

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$\quad$
$\quad$
En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-3;2]$ donnée ci-dessous, résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
$\quad$

Correction Question 9

L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\pg 0$ est $[-2;1]$.
$\quad$

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$\quad$
Par lecture graphique donner l’équation réduite de la droite d représentée ci-dessus.
$\quad$

Correction Question 10

L’équation réduite de la droite $d$ est : $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Information chiffrée – Janvier 2020

E3C – Informations chiffrées

Séries technologiques

Depuis l’an 2000, l’Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d’azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2015, la norme tolérée était fixée à $130$ milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L’objectif de l’Union Européenne est d’atteindre une émission de polluants inférieure à $60$ milligramme par kilomètre.
La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2015, sa baisse est de $5,1\%$ par an.

a. Justifier que la norme tolérée était d’environ 123 milligrammes par kilomètre en 2016.
$\quad$
b. Un véhicule émettait $120$ milligrammes par kilomètre en 2017.
Indiquer, en justifiant, s’il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
$\quad$
Dans le cadre d’une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l’Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé
l’algorithme ci-dessous programmé sous Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0} \\
\text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{130} \\
\\
\textcolor{blue}{\textbf{while}}\fbox{$\phantom{12345}$}\textcolor{Mahogany}{:} \\
\hspace{1cm} \text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\text{n}\textcolor{Mahogany}{+}\textcolor{Emerald}{1} \\
\hspace{1cm} \text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0.949}\textcolor{Mahogany}{*}\text{p}\\
\textcolor{blue}{\text{print}}\textcolor{Mahogany}{(}\fbox{$\phantom{1}$}\textcolor{Mahogany}{)}\\
\hline
\end{array}$$
a. Expliquer l’instruction “p=0.949 * p”.
$\quad$
b. Deux lignes de l’algorithme comportent des cases vides. Recopier ces lignes et les compéter afin de permettre à Louise de déterminer l’année recherchée.
$\quad$
Grâce à son algorithme, Louise a conclu qu’à partir de 2030 l’objectif de l’Union Européenne serait atteint. Vérifier à l’aide d’un calcul qu’elle a raison.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. $130\times \left(1-\dfrac{5,1}{100}\right)=123,37$
La norme tolérée était d’environ $123$ milligrammes par kilomètre en 2016.
$\quad$
b. $123,37\times \left(1-\dfrac{5,1}{100}\right)\approx 117,08<120$
Le véhicule ne respectait pas la norme tolérée en 2017.
$\quad$
a. $1-\dfrac{5,1}{100}=0,949$
L’instruction permet donc de calculer la norme tolérée l’année suivante.
$\quad$
b. On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0} \\
\text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{130} \\
\\
\textcolor{blue}{\textbf{while}}\fbox{p>60}\textcolor{Mahogany}{:} \\
\hspace{1cm} \text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\text{n}\textcolor{Mahogany}{+}\textcolor{Emerald}{1} \\
\hspace{1cm} \text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0.949}\textcolor{Mahogany}{*}\text{p}\\
\textcolor{blue}{\text{print}}\textcolor{Mahogany}{(}\fbox{n}\textcolor{Mahogany}{)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
$130\times 0,949^{14}\approx 62,47>60$.
$130\times 0,949^{15}\approx 59,28<60$.
À partir de 2030 l’objectif est donc atteint.

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un architecte a conçu un bassin aquatique comportant trois marches.
Le contour du bassin, représenté ci-contre dans une « vue du dessus », est constitué d’un demi-cercle de diamètre $[TO]$, de deux segments $[OV]$ et $[VW]$ et d’une courbe $\mathcal{C}$, reliant $T$ à $W$.
Les parties grisées figurent l’emplacement des trois marches.

La situation est représentée en annexe dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, dans lequel :

$V$, $W$ et $T$ sont les points de coordonnées respectives $(6,0)$, $(6,4)$ et $(0,8)$
$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 6]$ par $$f(x)=\dfrac{1}{27}x^3-\dfrac{1}{3}x^2+8$$

On note $f’$ la dérivée de $f$. Montrer que pour tout réel $x$ de $[0;6]$, $f'(x) =\dfrac{1}{9}x(x-6)$.
$\quad$
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 6]$.
$\quad$
Déterminer les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$. Que pouvez-vous en déduire graphiquement ?
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $3$.
$\quad$
Tracer dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, fourni en annexe (à remettre avec la copie) les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ respectivement au point $T$, au point $W$ et au point d’abscisse $3$ puis tracer l’allure de la courbe $\mathcal{C}$.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout réel $x\in[0;6]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{27}\times 3x^2-\dfrac{1}{3}\times 2x \\
&=\dfrac{1}{9}x^2-\dfrac{2}{3}x\\
&=\dfrac{1}{9}x(x-6)\end{align*}$
$\quad$
Pour tout $x\in[0;6]$ on a donc $x\pg 0$ et $x-6\pp 0$. Ainsi $f'(x)\pp 0$.
La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;6]$.
$\quad$
$f'(0)=0$ et $f'(6)=0$.
Ainsi les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$ sont tous les deux nuls.
Ces tangentes sont par conséquent parallèles à l’axe des abscisses.
$\quad$
On a $f'(3)=-1$ et $f(3)=6$.
Ainsi une équation de $\mathscr{D}$ est $y=-1(x-3)+6$ soit $y=-x+9$.
$\quad$
On obtient le graphique suivant :$\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Antoine désire partir en vacances et consulte le catalogue d’une agence de voyage.

Le catalogue comprend $400$ références différentes.
$60 \%$ comprennent un forfait « voyage + séjour », les autres ne comprenant que le séjour sur place.
$45 \%$ des références proposant le forfait « voyage + séjour » sont à destination d’un pays d’Amérique du Sud.
Parmi les références incluant uniquement le séjour, $55$ sont à destination d’un pays d’Amérique du Sud, $85$ sont à destination d’un pays d’Asie.
Aucune référence correspondant à une destination en Asie ne propose le forfait « voyage + séjour ».

Compléter le tableau croisé d’effectifs donné en annexe à remettre avec la copie.
$\quad$

Dans la suite de l’exercice, on choisit une référence au hasard et on admet que la répartition du tableau est conservée. Si A est un évènement, on notera $p(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ ;
Les résultats seront arrondis au dix millième.

Soit $V$ l’évènement « la référence comprend un forfait « voyage+séjour » » et $A$ l’évènement « la référence correspond à un pays d’Amérique du Sud ».
Calculer $p(A)$ et $p(V)$.
$\quad$
Décrire à l’aide d’une phrase l’événement $V \cap A$ puis déterminer sa
probabilité.
$\quad$
Calculer $p_A(V)$ et interpréter le résultat avec une phrase.
$\quad$
Traduire à l’aide d’une probabilité la phrase : « $45\%$ des références comprenant un forfait « voyage + séjour » correspondent à un pays d’Amérique du Sud ».
$\quad$

Annexe

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Voyage + séjour}&\textbf{Séjour uniquement}&\textbf{Total}\\
\hline
\textbf{Amérique du Sud}&&&\\
\hline
\textbf{Asie}&&&\\
\hline
\textbf{Autres destinations}&&&\\
\hline
\textbf{Total}&&&400\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient le tableau suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Voyage + séjour}&\textbf{Séjour uniquement}&\textbf{Total}\\
\hline
\textbf{Amérique du Sud}&108&55&163\\
\hline
\textbf{Asie}&132&85&217\\
\hline
\textbf{Autres destinations}&0&20&20\\
\hline
\textbf{Total}&240&160&400\\
\hline
\end{array}$$\quad$

$\quad$
$p(A)=\dfrac{163}{400}=0,407~5$
$p(V)=0,6$ d’après l’énoncé
$\quad$
$V\cap A$ est l’événement « la référence comprend un forfait « voyage+séjour » et correspond à un pays d’Amérique du Sud».
$p(V\cap A)=\dfrac{108}{400}=0,27$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} p_A(V)&=\dfrac{p(A\cap V)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,27}{0,407~5}\\
&\approx 0,662~6\end{align*}$
La probabilité que la référence corresponde à un forfait « voyage+séjour » sachant qu’elle correspond à un pays d’Amérique du Sud est environ égale à $ 0,662~6$.
$\quad$
On a donc $p_V(A)=0,45$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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